大学物理（上册）课件 第4章.机械振动

第四章机械振动西安电子科技大学第4章机械振动§4.1简谐振动§4.2简谐振动的合成§4.3阻尼振动受迫振动共振什么是振动？一个物理量（如位置、电量、电流、电压、电场、磁场、温度……）在某一确定值附近随时间作周期性的变化，则该物理量的运动形式称为振动。机械振动电磁振动微观振动受迫振动自由振动共振振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动(简谐振动）振动分类物体离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦函数(或正弦函数)的规律变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动。§4.1简谐振动4.1.1简谐振动的定义01用动力学方程定义02用运动学方程定义或——振动方程二者关系？4.1.1简谐振动的定义说明上述方程对于非机械振动也成立。例

电磁振荡电路014.1.1简谐振动的定义说明从运动学方程物体所受的力与位移成正比而反向。024.1.1简谐振动的定义说明03简谐振动的特点等幅性周期性4.1.2简谐振动的描述02A——振幅最大位移，恒为正，表征系统的能量。——振动的强弱03Tνω——周期和频率——固有周期和频率Tων的大小由振动系统本身性质决定01x

——位移描述位置的物理量，广义上，指振动的物理量。03（ωt＋φ）——t时刻的相位（位相）（1）数学上，相位是一个角度；物理上，相位是描写振动状态的一个参量。4.1.2简谐振动的描述

txOA-A

=2

（2）用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的周期性。（3）φ——初相，（取决于时间零点的选择）4.1.2简谐振动的描述4.1.2简谐振动的描述4.1.2简谐振动的描述振动三要素：振幅周期相位ω

由振动系统本身决定弹簧振子：单摆：4.1.2简谐振动的描述A，φ由初始条件决定4.1.2简谐振动的描述例解物体沿x轴作简谐振动，平衡位置在坐标原点O，已知振幅为0.02m，周期为0.5s，起始时刻物体在0.01m处，且向x轴正方向运动，（1）求物体的简谐振动方程；方程的形式一定为：由初始条件：①②振动方程：由①可得：再由②可得：例解物体沿x轴作简谐振动，平衡位置在坐标原点O，已知振幅为0.02m，周期为0.5s，起始时刻物体在0.01m处，且向x轴正方向运动，（2）若以物体在平衡位置，且向x轴负方向运动的时刻开始计时，试写出物体的振动方程。由初始条件：①②振动方程：由①可得：再由②可得：用匀速圆周运动几何地描述简谐振动。规定端点在x轴上的投影式：逆时针旋转以角速度

t+

oxtt=0

··谐振动旋转矢量转动角速度ω

——谐振动的角频率旋转矢量和参考方向的夹角φ——相位旋转矢量的大小A——振幅x4.1.3简谐振动的旋转矢量表示法一弹簧振子，已知A、ω，试写出振动方程。例解开始时物体运动到正向最大位移处；(2)开始时物体在A/2处，向x正方向运动。4.1.3简谐振动的旋转矢量表示法一质量为0.1kg的物体沿x轴作简谐振动，平衡位置在坐标原点O。已知振幅为0.1m，周期为2s。起始时刻物体在x=0.05m处，向x轴负方向运动，如图所示，试求：（1）物体第一次经过平衡位置时的速度；例解ωt=0t先求振动方程（1）一质量为0.1kg的物体沿x轴作简谐振动，平衡位置在坐标原点O。已知振幅为0.1m，周期为2s。起始时刻物体在x=0.05m处，向x轴负方向运动，如图所示，试求：（2）物体第一次在x=-0.05m处的加速度；（3）物体从x=0.05m处运动到x=-0.05m处所需的最短时间。例解（2）ωt=0ttω（3）已知某简谐振动的振动曲线如图所示。请写出此简谐振动的振动方程。例设振动方程为12-2t=0t=1O解相位差利用相位差可描述两个同频简谐振动的步调关系（初相差）同方向、同频率振动4.1.3简谐振动的旋转矢量表示法利用旋转矢量可以表示两个简谐振动的相位差超前和落后若

=

2-

1>0,则x2比x1早

达到正最大,称x2比x1超前

(或x1比x2落后

)。014.1.3简谐振动的旋转矢量表示法同相02两振动步调相同4.1.3简谐振动的旋转矢量表示法反相03两振动步调相反4.1.3简谐振动的旋转矢量表示法比较谐振动的x、υ、a的相位可见，速度υ

比位移x相位超前π/2；加速度a比速度v相位超前π/2；加速度a与位移x反相。4.1.3简谐振动的旋转矢量表示法用正弦函数形式表示简谐振动4.1.3简谐振动的旋转矢量表示法yoyoA-At某交流电路的正弦电流如图所示，已知振荡频率ν=50Hz，求此正弦电流解析表达式以及t=0.1s时的瞬时值。例设振动方程为解i/Ao0.5-0.5t/syo一轻弹簧（k），下端挂一重物m，用手拉物向下至x处，然后无初速度释放。试写出振动方程。例解原点取在原长建立坐标O'x如图,分析小球受力，可得：（不是谐振动）建立Ox轴原点取在平衡位置4.1.4简谐振动的实例推论若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位置，而坐标原点须取在新的平衡位置上。4.1.4简谐振动的实例4.1.4简谐振动的实例4.1.4简谐振动的实例4.1.4简谐振动的实例01单摆由转动定理当θ<5º时，sinθ≈θ(简谐振动)由牛二律角振幅角位移设刚体对轴的转动惯量为J

由转动定理(简谐振动)令可得可见，单摆是复摆的特例。4.1.4简谐振动的实例02复摆（物理摆）4.1.4简谐振动的实例03扭摆设圆盘对轴的转动惯量为J

圆盘所受力矩(简谐振动)4.1.4简谐振动的实例04LC电磁振荡由基尔霍夫电压定律

电流定义(简谐振动)LKCi+q-q（以弹簧振子为例）01动能02势能03机械能（简谐振动系统机械能守恒）4.1.5简谐振动的能量（以弹簧振子为例）ExO结论1系统的动能、势能都随t作周期性变化，但系统总能量不变，且与振幅平方成正比。结论2系统作一次全振动，能量转换2

次。即能量转化的周期＝振动的周期的一半。4.1.5简谐振动的能量结论3无摩擦时，物体在稳定平衡位置附近的小幅振动是简谐振动。一质量为3m的L形均质细杆，水平部分杆长为

l，竖直部分杆长为2l，细杆可绕直角顶点处的固定轴O

无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为k的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。求杆作微小摆动时的周期。例解一质量为3m的L形均质细杆，水平部分杆长为

l，竖直部分杆长为2l，细杆可绕直角顶点处的固定轴O

无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为k的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。求杆作微小摆动时的周期。例解能量的方法(t时刻系统的能量)∵系统能量守恒§4.2简谐振动的合成同方向、同频率简谐振动的合成

同方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成与李萨如图4.2.1同方向同频率简谐振动的合成结论：合振动x

仍是简谐振动。振动频率仍是

。讨论(1)若两个分振动同相,即

2

1=

2k

(k=0,1,2,…)则A=A1+A2,两分振动相互加强。（同相合成）4.2.1同方向同频率简谐振动的合成讨论(2)两个分振动反相,即

2

1=

(2k+1)

(k=0,1,2,…)则A=|A1

A2|,两分振动相互减弱;当A1=A2时,A=0。（反相合成）4.2.1同方向同频率简谐振动的合成例解

。若

x3＝0.03cos(ωt＋φ3)，φ3

取何值时x1＋x3振幅最大？φ3

取何值时x2＋x3振幅最小？

x1＋x3振幅最大，同相合成。

x1

x2

xOx3

x2＋x3振幅最小，反相合成。x34.2.1同方向同频率简谐振动的合成4.2.2同方向不同频率简谐振动的合成当时,当时，合振动振幅的频率为:A有最大值A有最小值分振动:合振动:结论合振动x不再是简谐振动。分振动:合振动:结论合振动

x可看作是振幅缓变的简谐振动。当

2

1时,

2-

1

2+

1，随

t

缓变随

t快变4.2.2同方向不同频率简谐振动的合成拍的现象xx2x1tttOOO4.2.2同方向不同频率简谐振动的合成拍频单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即拍的现象4.2.2同方向不同频率简谐振动的合成4.2.3垂直方向同频率简谐振动的合成即合成的一般结果是椭圆。任意时刻质点离开平衡位置的位移r

：

分振动:

合振动轨迹:∴合振动是谐振动xyA1A2O3.（顺时针）（逆时针）4.质点运动轨迹为斜椭圆∴合振动仍是谐振动xyA1A2OxyA1A2O4.2.3垂直方向同频率简谐振动的合成

=0

=

/2

=

=3

/2

=

/4

=3

/4

=5

/4

=7

/44.2.3垂直方向同频率简谐振动的合成例用旋矢法作图顺时针4.2.3垂直方向同频率简谐振动的合成4.2.4垂直方向不同频率简谐振动的合成有理数闭合曲线周期性运动无理数非闭合曲线非周期性运动频率之比轨迹周期性频率比是简单的正整数合成轨迹为稳定的闭合曲线—李萨如图yxA1A2O-A2-A1

例如左图：应用：测定未知频率达到最大的次数达到最大的次数4.2.4垂直方向不同频率简谐振动的合成小结（简谐振动的合成）同方向、同频率同方向、不同频率垂直方向、同频率垂直方向、不同频率谐振动（振向、频率均不变）拍

2-

1

2+

1

拍频轨迹一般为椭圆直线（谐振动）正椭圆（旋转方向不同）取其它值时，斜椭圆李萨如图谐振分析

把一个复杂的振动分解为一系列不同频率的简谐振动

（傅氏分解）例如：方波59小结（简谐振动的合成）Avv03v05v0方波频谱图7v0O1.方波可分解为v0

，3v0

，5v0

等谐振动的叠加。2.谐频次数越高的项振幅越小。60谐振分析小结（简谐振动的合成）v03v05v0（基频为v0）x1+x3+x5方波OOOOO61方波的分解图小结（简谐振动的合成）北京大钟寺内的巨钟的频谱图0100200300400500v(Hz)62小结（简谐振动的合成）阻尼振动受迫振动与共振§4.3阻尼振动受迫振动共振4.3.1阻尼振动动力学方程：解的形式？固有角频率：阻力系数对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式物体作振幅A减小的振动。欠阻尼振动01欠阻尼振动方程的形式是在谐振动的基础上乘上一衰减因子。4.3