新编经济数学 课件 第二章 极限与连续

第二章

极限与连续微积分是经济数学的主要研究内容，而极限理论是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，所以掌握并运用好极限方法是学好经济数学的关键。本章介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，并讨论连续函数的性质。2.1极限的概念2.2无穷小与无穷大2.3极限的运算法则2.4两个重要极限2.5函数的连续性极限的概念极限的思想是由于求某些实际问题的精确解而产生的。例如魏晋时期的数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用；又如春秋战国时期的哲学家庄子对“截杖问题”有一段名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也隐含了极限思想。定义

按正整数1，2，3，……编号依次排列的一列数称为一个无穷数列，简称数列。其中的每一个数称为数列的一个项，xn称为数列的通项或一般项。通项为xn

的数列可以简记为数列{xn}。x1，x2，x3，……，xn，……数列{xn}可以看成自变量为正整数的函数：例2-1数列举例：在几何上，数列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2，x3，……，xn，……

（1）一般项是

（2）一般项是

（3）一般项是

（4）一般项是对于数列，当n无限增大时，它能否无限趋向于一个常数，如果能的话，这个常数又是什么，如何求出？定义

设有数列{xn}，如果存在常数a，当n

无限增大时，xn无限趋近于a

，则称数列{xn}以a为极限，或称数列{xn}收敛于a

，记作如果这样的常数a不存在，则称数列{xn}发散。或（

）例2-2观察数列{xn}的极限：

（1）由前面例子中列举数列各项观察可知：

（2）由前面例子中列举数列各项观察可知：

（3）由前面例子中列举数列各项观察可知，当n→∞时数列的极限不存在，即发散；各项依次为：

（4）所以当n→∞时数列的极限发散，

（5）且无限增大；各项依次为：于是可知：为了方便起见，有时也将当n→∞

时|

xn|

无限增大的情况说成是数列{xn}趋向于∞，或称其极限为∞（但这不表示数列是收敛的），记作或（）如果当n足够大时能够限定xn的正负，且当n→∞

时|

xn|

无限增大，则可记作或（）例如收敛数列具有下面基本性质：性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限是唯一的。性质2（收敛数列的有界性）收敛数列一定有界。推论

无界数列一定是发散的。注意：数列有界数列收敛的必要而非充分条件。如数列{(–1)n+1}有界，但却是散数列。

数列是定义在正整数集合上的函数，它的极限只是一种特殊的整标函数的极限。现在我们讨论定义在实数集合上的一般的函数的极限。1.

x→∞时函数的极限首先讨论自变量

x

的绝对值

|x|无限增大或者说趋于无穷大（记作x→∞）时，对应函数值

f(x)的总的变化趋势。考虑函数，当|x|

无限增大时，它所对应的函数值y就无限的趋近于0，我们称当x趋于无穷大时，函数以0

为极限。定义

设函数f(x)

的在|x|>M（M为某一正数）时有定义，如果存在常数A，当|x|

无限增大时，对应的函数值f(x)无限的接近于A，则称A为函数

f(x)当x→∞时的极限，或简称为f(x)在无穷大处的极限，记作或（）如果这样的常数A不存在，则称当x→∞时函数f(x)没有极限（或称极限不存在）。或称为f(x)在正无穷大处或负无穷大处的极限。如果定义中限制

x只取正值或者只取负值，我们就分别记为对于一些简单函数，通过观察函数值或图形就可以得到函数当

x→∞时的极限，如：由定义容易得到：

定理如果（或），则直线

y=A就是函数y=

f(x)的图像的水平渐近线。再来讨论自变量

x

无限接近于有限值

x0

或者说趋于有限值x0（记作x→x0）时，对应函数值

f(x)的总的变化趋势。2.

x→x0

时函数的极限注意：定义不要求f(x)

的在点

x0

有定义，因为当x→x0时x≠x0

。定义

设函数f(x)

在点

x0

的附近有定义，若存在常数A，当x无限趋向于x0时，对应的函数值f(x)无限的接近于A，则称A为函数f(x)当x→x0

时的极限，记作或（）如果这样的常数A不存在，则称当x→x0

时函数f(x)没有极限（或称极限

不存在）。例2-3对于一些简单的函数，可以根据观察判断出它的极限：（1）（C为常数）；（2）；（3）

（4）（x→1

时x≠1）

前面给出的x→

x0

时函数f(x)的极限，自变量x是从左右两侧趋近于的，但有时我们只能或只需考虑x是仅从左侧趋近于x0（即x<

x0

）的情形，或是仅从右侧趋近于x0（即x>

x0

）的情形，为此，通常将

x<

x0

时，x→

x0

时的情况记作

x>

x0

时，x→

x0

时的情况记作定义

设函数f(x)

在点

x0

的左侧附近有定义，若存在常数A，使得当x从左侧无限趋向于x0时，对应的函数值f(x)无限的接近于A，则称A为函数f(x)当x趋于x0

时的左极限，记作类似可以定义右极限为左极限与右极限统称为单侧极限。右极限为解设左极限为例2-4设，求，所以定理

当x→x0时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在点x0处的左、右极限存在且都等于

A，即1Oxy因此；又由于例2-5设，讨论x→0

时及x→1

时f(x)的极限。解由于，所以x→1

时f(x)的极限不存在，或称不存在。性质（函数极限的唯一性）若函数的极限存在，则极限唯一。无穷小与无穷大定义在自变量x的某个变化过程中，若函数

f(x)的极限为零，则称f(x)在该变化过程中为无穷小量，简称无穷小。例2-6无穷小举例：（1）因为，所以函数是当x→∞时的无穷小。（2）因为，所以函数(x–

2)是当x→2

时的无穷小。（3）因为，所以函数sinx

是当x→0

时的无穷小。注意：不要把无穷小与绝对值很小的数混为一谈，无穷小是一个以0为极限的函数，能作为无穷小的常数只有0，其它任何常数，无论其绝对值多么小，也不是无穷小。由无穷小的定义，容易理解无穷小的下列性质：

注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小；两个无穷小的商不一定是无穷小。性质1

有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论

常数与无穷小的乘积是无穷小。性质3

有限个无穷小的乘积是无穷小。例2-7求极限解由于，，所以两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但无穷小的商就不易确定了。可见两个无穷小的商，可以是无穷小，可以是无穷大，也可以是常数或极限为常数的变量，这是因为无穷小在趋于零的过程中快慢不同。例如，当x→0

时，x，3x，x2，x3，x

+2x2都是无穷小，而此时为了比较无穷小，我们引入无穷小的阶的概念。定义

设f(x)及g(x)是自变量x

同一变化过程中的无穷小，且g(x)

≠0，则

（1）如果，则称f(x)

是比g(x)高阶的无穷小，记作f(x)=o(g(x))；

（2）如果，则称f(x)是比g(x)低阶的无穷小；

（3）如果，则称f(x)与g(x)是同阶的无穷小；

（4）如果，则称f(x)与g(x)是等价无穷小，记作f(x)

~

g(x)。显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。由定义可见，当x→0

时，x2是x的高阶无穷小，即x2=o(x)

，而x2是x3的低阶无穷小，x与3x是同阶无穷小。关于等价无穷小，有下面定理：定理

在自变量同一变化过程中，如果，，且存在，则定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代换。求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替；在求分式的极限时，分子及分母中的无穷小因子也可以用等价无穷小来代替。如果用来代替的无穷小选取适当的话，可以使计算简化。在后面的极限计算中我们会遇到利用等价无穷小代换来求极限的例子。需要注意的是，当分子或分母是若干项的和或差时，一般不能对其中某一项作等价无穷小的代换。（1）limf(x)=∞并不表示f(x)有极限，“∞”不是数，只是一个符号；

（2）无穷大是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大；

（3）无穷大是一个绝对值无限大的变量，任何绝对值很大的常数都不是无穷大。定义在自变量x的某个变化过程中，若函数

f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)在该变化过程中为无穷大量，简称无穷大，可以记作limf(x)=∞。例如，当x→0

时，

，cotx

都是无穷大；当x→0+

时，

，lnx

都是无穷大；当x→+∞

时，x3，ex

，lnx

都是无穷大。注意：定义如果（或），则直线

x=x0是函数y=

f(x)的图象的铅直渐近线。例2-8因为，所以直线x=1是曲线的铅直渐近线。无穷大与无穷小有如下关系：定理

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小且f(x)≠0，则为无穷大。例2-9当x→0

时，x3是无穷小，而是无穷大。例2-10当x→∞

时，x

+1是无穷大，而是无穷小。极限的运算法则在下面的讨论中，极限过程的自变量的趋向没有标出，表示对任何一个自变量的变化过程都成立，只要在同一问题中自变量的趋向相同即可。并且这些运算法则对于数列的极限也是同样适用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推广到有限个函数的情形，但不可应用到无穷多个函数的情形。定理

如果，，则

（1）

（2）

（3）当B≠0时，由定理中的（2）可得下面推论：推论如果limf(x)存在，c为常数，n为正整数，则

（1）

（2）例2-11求解1.当x→x0

时有理分式函数的极限由上例可以看出，求多项式函数当x→x0时的极限，只要用x0

代替函数中的x即可（代入法），即例2-12求解例2-13求解这里分母的极限不为零，于是可见，求有理分式函数（其中P(x)，Q(x)都是多项式函数）当x→x0时的极限，如果Q(x0)≠0，也只需用x0

代替函数中的x即可（代入法），即显然，如果Q(x0)=0，则不能使用上述方法。例2-14求解这里分母的极限不为零，于是例2-15求解x→3时，分子分母的极限都为零，不能分别取极限再求商，注意到分子分母都具有公因子x–3，而x→3

时x≠3，可以消去公因子后再求极限，于是注意：对于这种Q(x0)=0且P(x0)=0的有理分式函数，在求当x→x0时的极限时，分子分母一定都具有公因子(x–x0)，由于当x→x0时x≠x0，所以分子分母可以消去不为零的公因子(x–x0)后再求极限。例2-16求解例2-17求解当x→2

时，分母的极限为零，分子的极限为5，不能用商的极限运算法则，但由于于是由无穷小与无穷大的关系可得例2-18求解由于注意：对于Q(x0)=0且P(x0)≠0的有理分式函数，求当x→x0时的极限时，可以先求其倒数的极限，再利用无穷小与无穷大的关系得到结果。，所以2.当x→∞

时有理分式函数的极限例2-19求解由于分子分母的极限都是∞，所以不能用商的极限运算法则。做适当变形，即分子分母同时除以它们的最高次幂x3，然后取极限，得例2-20求解分子分母同时除以它们的最高次幂x3，然后取极限，得例2-21求解由上例，以及无穷小与无穷大的关系可得一般地，对于当x→∞

时有理分式函数的极限，当a0≠0，b0≠0，m，n为非负整数时有以下结论：对于多项式函数和有理分式函数f(x)，只要f(x)在点x0处有定义，则当

x→x0时f(x)的极限值就是f(x)在点x0处的函数值。这里我们不加证明的指出，一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都具有这样的性质，即如果f(x)是基本初等函数，定义域为D，而x0∈D，则例如，f(x)=sinx是基本初等函数，而点在它的定义域内，所以下面给出一个复合函数求极限的定理。定理

设函数u=

φ(x)当x→x0时的极限等于a，即，而函数y=f(u)在点u=a

处有定义且，则复合函数y=f[φ(x)]当x→x0时的极限存在且等于f(a)，即定理表明，满足定理条件的情况下，函数符号可以和极限符号交换次序。例2-22求解例2-23求解例2-24求解此题相减的两项都是趋于无穷大的，因此需要通分后再计算。两个重要极限考察函数

在

x=0附近的一些函数值，如下表所示：x-1-0.5-0.1-0.01……0.010.10.510.841470.958850.998330.99998……0.999980.998330.958850.84147由此可以得到第一个重要极限：对于第一个重要极限，其一般形式为：例2-25求解例2-26求解例2-27求解例2-28求解由第一个重要极限，以及上面几个例子，可以得到一些常用的等价无穷小：（x→0）（x→0）（x→0）例2-29求解由于当x→0

时，sin4x~4x，tan6x~6x，所以例2-30求解由于当x→0

时，sin3x~3x，tanx~x，所以下表列出了函数

当

x

取正值或负值且绝对值无限增大时的一些函数值：x2310100100010000100000……2.252.370372.593742.704812.716922.718142.71827……x-2-3-10-100-1000-10000-100000……43.3752.867972.7322.719642.718422.7183……由此可以得到第二个重要极限：无理数e的值为2.71828182845904523536……利用变量代换，令，则当x→∞

时，z→0，于是可得对于第二个重要极限，其一般形式为：例2-31求解例2-32求解例2-33求解例2-34求解例2-35求解例2-36求解令

u=ex–1，即x=ln(1+u)，则当x→0

时，u→0，于是由上面两例，我们又得到了常用的等价无穷小：（x→0），（x→0）例2-36（银行连续复利）银行存款年利率为

r，本金为

A，按年计算复利，则

t

年后本利和为

，求：（1）若每月计息一次，t

年后本利和为多少？（2）若采用连续复利（即每时每刻都在计息），t

年后本利和为多少？解（1）若每月计息一次，则月利率为

，

t年共计息12t

次，则

t年后本利和为（2）若每年计息

n

次，则每次利率为

，

t年共计息nt

次，则

t年后本利和为当

n→∞时，即得连续复利时

t年后本利和为函数的连续性自然界中有许多现象都是连续变化的，如气温的变化，行星的运动，植物的生长等，都是连续变化的。这种现象反映在数学上就是函数的连续性。我们先引入改变量的概念，设变量u从初值u1

改变到终值u2，终值与初值的差u2

–u1就叫做变量u的改变量（也叫增量），记作注意：∆u是一个整体记号，是变量u的改变量，它可以是正的，也可以是负的。但自变量的改变量不能为零。下面讨论函数的连续性。定义

设函数y=

f(x)

在点

x0

的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量∆x=x–x0趋于零时，对应函数的增量∆y=f(x0+∆x)

–f(x0)也趋于零，即则称函数y=

f(x)

在点

x0

处连续。如果记x=x0+∆x，则f(x0+∆x)

=f(x)，而∆x→0

等价于x→x0，∆y→0（即f(x)

–f(x0)

→0）等价于f(x)

→f(x0)

，因此函数y=

f(x)

在点

x0

处连续的定义也可叙述如下：或则称函数y=

f(x)

在点

x0

处连续。定义

设函数y=

f(x)

在点

x0

的某邻域内有定义，若函数f(x)当x→x0

时的极限存在，且此极限值等于它在点x0处的函数值，即由定义可知，函数f(x)

在点

x0

处连续则f(x)

在点

x0

处必有极限，但f(x)

在点

x0

处有极限时不一定在点

x0

处连续，甚至f(x)

在点

x0

处可能没有定义。相应于函数左、右极限的概念，给出函数左、右连续的概念。则称函数y=

f(x)

在点

x0

处左（右）连续。如果函数f(x)

在点

x0处及其左（右）侧附近有定义，且满足显然可见，函数在一点处连续的充要条件为函数在该点既是左连续的，又是右连续的。在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，则函数在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。现在此结论可以表述为：在前面我们曾指出，基本初等函数f(x)

在其定义域内的任何一点

x0处都满足基本初等函数在其定义域内的每点处都是连续的。也就是说，基本初等函数在其定义域内是连续的。如果函数在一点不连续，那么该点也叫做间断点。定义

如果函数f(x)

在点

x0不连续，则称函数f(x)在点x0间断。相应的点x0称为函数f(x)的间断点。由函数在某点连续的概念可知，设函数f(x)

在点

x0的某邻域内（至多除了点x0本身）有定义，如果f(x)

在点

x0处有下列情形之一，则点x0是f(x)的一个间断点。（1）在点

x0处没有定义，即f(x0)不存在；通常把f(x)

在点

x0的左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点，除第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。（2）不存在；（3）在点

x0处有定义，且存在，但是。定理

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。例2-38求解例2-39求解