河南省开封市五校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

河南省开封市五校联考2024-2025学年高二上学期期末数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.若经过两点A（3，y＋1）、B（2，－1）的直线的倾斜角为，则y等于（）A.－1 B.2 C.0 D.－3【答案】D【解析】【分析】根据直线的倾斜角和两点坐标求出直线的斜率，列出方程，解之即可.【详解】由题意知，直线的斜率为，又，所以，解得.故选：D.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程，得到双曲线的焦点在轴上，且，即可求解双曲线的渐近线方程．【详解】由双曲线，可知双曲线的焦点在轴上，且，所以其渐近线方程为.故选：B．3.等差数列中的前项和分别为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意直接根据等差数列前项和公式得到，进一步代入数据即可得解.【详解】等差数列中的前项和分别为，．故选：B．4.点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可.【详解】点关于平面对称的点的坐标是.故选：B5.已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可.【详解】如图所示，设，由题意知，且三向量两两夹角均为，，．故选：B.6.如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，当水位下降1米后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为米.故选：D.7.已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出点轨迹，再求出点轨迹，利用圆与圆的位置关系结合两点间距离公式求出的取值范围．【详解】直线，整理得，则直线恒过定点，同理，整理得，则直线恒过定点，，，点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径，点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点．圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示，连接，，线段是动弦，为中点，，点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为，圆心距，剔除点，则，即．故选：D．8.已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意可作图如下：由图可知：，由平分，则，所以，由，则解得，由是关于直线的对称点，则共线，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化简可得：，所以其离心率.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分）9.已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断.【详解】根据题意，等差数列中，，，可得，解得，由于，A正确；，B错误；，所以，C正确；，D正确.故选：ACD10.已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（）A. B.的周长为12C.面积的最大值为4 D.的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确.【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆，可得，则，则可得，解得，，所以A正确；对于B，由A得椭圆的方程为，可得，又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确；对于C，由面积为，因为，所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值，可得面积的最大值为，所以C错误；对于D，设点的坐标为，其中，则，所以，因为，可得，则，因为，可得，即取值范围为，所以D正确.故选：ABD.11.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A.空间中所有的单位向量的模都相等B.空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同C.若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线D.设是空间中任意一点，若，则，，，四点共面【答案】ACD【解析】【分析】结合空间向量的基本概念依次判断即可．【详解】对于A项，空间中所有的单位向量的模都为1，故A项正确；对于B项，若两个非零向量方向相同且长度相等则它们相等向量，但它们的起点与终点可以不相同，故B项错误；对于C项，若两个非零向量，不共线，则它们可以确定一个平面，此时一定可以找到一个向量不在此平面内，使得，，不共面，从而构成空间的一个基底，这与题设“与任何一个向量都不能构成空间一个基底”矛盾，故假设不成立，所以，共线，故C项正确；对于D项，因为，所以，，，四点共面，故D项正确．故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知为等差数列，，则________．【答案】2【解析】【分析】直接利用等差数列的下标性质求解即可.【详解】因为是等差数列且，所以，由等差数列的性质可得,故答案为2.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属容易题．等差数列的性质:若，则．13.已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为_____.【答案】##【解析】【分析】根据直线平行求得，根据两平行直线之间距离公式求得正确答案.【详解】由于直线和直线平行，所以，解得，所以两条直线之间的距离为.故答案为：14.已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为.由抛物线定义得，所以，故，即线段中点的纵坐标为2.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知在中，，，，记的外接圆为圆.（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切的直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程；方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.（2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程.【小问1详解】（方法一）直线的方程为，、的中点为，所以线段的中垂线方程为，直线的方程为，、的中点为，线段的中垂线方程为.直线与直线的交点为，即圆的圆心为.点与点的距离为，即圆的半径为，所以圆的标准方程为.（方法二）设圆的标准方程为，则，解得故圆的标准方程为【小问2详解】圆的圆心为，，直线的斜率为，所以切线斜率为，所求切线方程为，整理得.16.已知等差数列，其中，.（1）求的通项公式；（2）求的值.【答案】（1）（2）-50【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得；（2）利用等差数列的求和公式即得．【小问1详解】设等差数列的公差为d，因为，所以，所以，，所以.【小问2详解】因为是等差数列，所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，.17.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线定义求解；（2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可.【小问1详解】根据抛物线的定义可知，，即，解得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）知，抛物线焦点为,若直线l的斜率不存在，则,则，不满足题意，所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则，设，联立，消去可得，，所以，因为，解得，所以直线的方程为.18.在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，（1）计算；（2）设数列满足，，求的通项公式；（3）设排列（，）满足（），（），，求，【答案】（1）5（2）（3）【解析】【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数，从而得解；（2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解；（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解.【小问1详解】在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以.【小问2详解】由（1）中的方法，同理可得，又，所以，设，得，所以，解得，则，因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.【小问3详解】因为（），所以，所以，所以.【点睛】知识点点睛：新定义题型，弄清题意是关键.第二问考查了构造等比数列求数列的通项公式，第三问考查了裂项相消法.19.如图所示，已知四棱锥中，，.（1）求证:平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形全等及三线合一证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）先通过二面角定义作出