九年级数学下册练习al阶段拔尖专训2 巧用垂径定理解决问题_第1页
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文档简介

阶段拔尖专训2巧用垂径定理解决问题1．几何模型：条件：如图①，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则此时，PA＋PB＝A′B，PA＋PB的值最小(不必证明)．模型应用：(1)如图①，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是__________；(2)如图②，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值；【解】如图①所示，作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，连接AP，则PA＋PC的最小值为A′C的长．(3)如图③，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．【解】如图②，连接OA，OB，OC，BC，作CH⊥AB于H.2．根据以下素材，探索完成任务.如何确定拱桥形状？

问题背景右图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似．为了定量的确定拱桥形状，九(8)班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次活动.

素材一小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距离(记为x)，进而确定形状．经过测量，数学组绘制了图①，并得到水面宽AB为16m，拱顶离水面的距离CD为4m.

素材二科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测距法测量x.其测量流程如下：1.在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜(焦距f＝20cm)，并在一侧的同一高度放置一支激光笔．另一端盖上盒盖(半径r＝12cm)；

素材二2.让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大镜光心(即圆心B)，再在盒盖上形成一个光斑(记为点E)；

素材二

问题解决任务一若拱桥呈圆形，且小晨测得x＝2m，求他到点D的距离.【解】根据素材一可得AD＝AB＝8m，CD＝4m，如图①所示，设点O为圆心，MN＝x＝2m，过点M作MS⊥OC交OC于点S，连接OM，OA，设OD＝am，则CO＝AO＝(a＋4)m，在Rt△AOD中，AD2＋DO2＝AO2，即82＋a2＝(a＋4)2，解得a＝6，即OD＝6m，∴OM＝OA＝OC＝10m，OS＝OD＋DS＝OD＋MN＝8m，在Rt△MSO中，OM2＝MS2＋SO2，即102＝MS2＋82，解得MS＝6m，即ND＝6m，∴小晨到点D的距离为6m.任务二请在测量示意图(图②)中，画出光的传播路径，并写出公式的获得原理.任务三【解】如图③所示，以点A为原点，AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，作PQ⊥AD于点Q，项目复盘小组在实际操作时发现，激光三角测距法

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