成人高考专升本高等数学(一)考试辅导复习资料【全】

第一节函数xyDx∈Dy

f(x)=x,g(x)=2)=（2）y=x+3+1=0。x，yxy y

f

x 1：凑配法 x∈D，(x±l)∈Df(x)为周期函数，lf(x)的周期。332l2l232f(xXy

1[f(x)2

f(x)

的定义域为(-

,+

)，则函数在其定义域上是（ y=f(xxxWyxyx=−1(yy=2x−32y=1(x+32 yloga (a0,a1)a，ylnlogamloganloga

nloga(n logmnnlog

= ．上才/10．上才/10|』r冗了

-=I=-n冗十2L =LX- X-=I=-n正割函数y= y==yX………大时，数列{A2xf(xAx→∞时函f(xAA趋于0时，函数f(xAx0时，f(x)的右极限A。趋于0时，函数f(xAx0时，f(x)的左极限A。A3设limu(x)存在，c为常数，n为正整数，则有： 0。3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。推论常数与无穷小量的乘积是无穷小。 定理在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零注意1.求极限lim1.求极限lim11）f(xU(0最后解关于a的方程。解答如下：例例例 例例求无穷间断点的类型通常是一类与分式相关的问题，解答时只需直接令函数式中所0（0），再解方程得到无穷间断点。1例定义：如果x。使f(x。)＝0,则x。称为函数f(x)的零点定理2（零点定理设函数f(x。)在闭区间[a,b]上连续，且 (a)与 (b)异（即 · <O)，那么在开区间(a,b)内至少有函f(x)的—个零点，即至少有—点l;(a</;<h)，使/(/;) 即方程(x)=O在(a,b)内至少存在一个几何解释连续曲线弧y=f(x)的

x3—4x2+l=O在区间(0,1)内 证令f(x)=x3—4矿＋1,则f(x)在[0,1]又 f(l)=—2< 由零点定3E(a,b)，使f(.=0，即g3—42+1=．．．方程x3—4x2+1=0在(0,1)内至少有一 证明：方程x-Zsinx=0在区间（冗）证设f(x)=x-汀(x)在闭区间［1,2冗 冗又八—)＝—-2sin—=——2<0,f位）＝冗—sin兀＝斤 冗2即方程在区间（2定理4（介值定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a) =A及f(b) =B,那么，对千A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点{,使得f({)=C(a< {<b)。几何解释：连续曲线弧y=j(x)与水平直线y=Cyoo1(1求函数的改变量yfxxfx(2)yf(xx)f((3)y yx0x3改变到3xyyf(3x)f(3)(3x)2396xx26xx6xx6x0 xf(3) ylim(6x)例题设f(x)x2,求f(x f(0 f(0)（1）y

f(x

x)

f(x

(x

x)2x2

x

x

y2xx

x

2x 真题在线：1.用导数的定义求极限或用极限求导数设函数f(xx=0处可导，且f(x03

f(x2x0)f(x0)

f(x2x0)

f(x02

f(x2x0)

f(x0)2f(x0由已知条件可得f(x00

f(x2x0)

f(x0)

f(x0)6,f(x)

f(x03x)f(x0)3

f(x03x)f(x0) 3f(x0)f(x0)

f(1x)f

f`（1）=（B. C. D.

解:

f(x0)

x

f(

x)

f(x0f(1)

limx

f(1

x)x

flimxlimx

f(1f(11

x)x)x

2ff(1)2f(1)2 C1例例例例1 如例例y=f(xΔyx0取得增量ΔxAΔA，即ΔA20Δx如果函数y=f(x)在xf(x)在xy=f(x)x例例解1f(x(x-1)(x-2)(x-3)f（x）=0f(x(a,bf(x(a,b2f(xg(x(a,bX∈（a,b）f（x）g定理洛必达法则（一定理定理洛必达法则（二例例lim.xIn (o.oo型刮X刮解：lim_xlnx=

In +．`． 0X=

(- 21-X21-X-1例lim(1X)六(OO0型l．｀ll解 (1+)lX今＋

石职x+l1l石职x+l1le)x+n1e型竺X->型竺limIn(1+8e8酮竺 酮竺8e·`«>x8例 xX(00型X今

1ee1e解 X今

limelnX今limexlnX今In.\'.0+eXe (- e．｀= = 1.极值的定义8（极值的第一充分条件）1f(x)在某一区间上的图象是一条连续光滑曲线，若曲线上任一点的切线总1MMLL C.有水平渐近线也有铅直渐近线D

1f(x)是定义在区间(a,bF(x，则称)是f(x)在区间DDF(x)，x∈DF′(x)=f(x)，即连续函数必定存在原函数。f(xDF(xC，有[F(x)+C]′=F′(x)=f(xF(x)+Cf(xD例 I

XI+X

=＝ = l+e1+e

eI』=I』1+

=fdx—I d(l+1+=X—h1(1+ex1+例求fsm22解：Jsin2xdx=JI—cos2x2 ¼dx—}cos2xd(2 =———

2x+例 \/

解I 二 `= d（`a—= —a

说明例1求fxsin21解：令u=x把sin2xdx凑成dv1sm2 =d(——cos2x)=ff ffIxsin2 xd(——COS2I dx2s1-41-+dx2s1-41-+丿.c＋.c＋＋-解：设u=x,dv=e一入，Jxe-,dx=J (-e-

=d(—e六），

V=—=—xe-x—e-x+C=—e飞例3求fx2e-解I正e-·'dx=fx2d(—尸）＝—x2e-x—f—e-,d=—x2e-x+fxe-这里，积分Jxe-xdx仍需继续利用分部积分法求解，I正e- =—x2e-x—2e-"'(x+1)+=—(x2+2x+2)e-x+例4求fln解：这里选u=lnx，心就等于心，即v=x则fIn lnx—f =xlnx-JXX 例4求JIn(x解：这里选u=ln(x2),dv就等于心，即v=x则fln(x+2)dx=xln(x+2)—fxd[In(x+2)=Xln(X+2)—x+2InIx+2I+压(X+2)心＝Xl.t1(X+2)—jxd[I.ti(x+例5求 解：Jarctanxdx=xarctanx—fxd(arctan=x=x=x

X2II X—寸 21+1X—In(1+X2)21y=f(x)在[a,by=f(x)在[a,b]上可积，否则称函数1f(x)在[a,bf(x)在[a,b]上可积。初等函数在其定义域中的任何有限区间2f(x)在[a,bf(x)在[a,b]上可积。y=f(xx=a，x=b(a<bxxxx=a，x=b(a<bxJ:ldx为高度取1\长度为b-a的矩形（如图6-7) =Jb G1 b GyaaX图6—fa石二dx为半径取a的四分之一圆（如图6—8) j”;二dx二！万4ya 图6—函数f(x)在[-a,a] =奇函数关于原点对称（如图6—9)，面积代数和为零X图6—uvu，v，利用（2）式更方便。L1L22

Sl17%，25

定义2设二元函数z=f(x,y)在点P。(x。,y。)的某邻域（点氏可除外）有定义，若当点p(x,y)-+点P。(x。,Yo)时，对应的函数值f(x,y)无限接近于常数A，则称A为函数f(x,y)当X-+x。`y-+y。XX极限，记 Innf(x,y)XXyy或令p=（x-x。)z+(y-y。)2,limf y)=p

yy例求x丑 X分y分

Slll入y

lim y今

Slll入 .． xy· X今 X今 X今limarcsinx-y一解：liinX---1y---12

1X2==

l-2l-冗6例X- y-xy+1-解：原式＝xy（

—l-言:l-y---说明定义中P二元函数的极限运算法则与—元函数类似思若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向千点(x。,y。)时，函数f(x,y)都趋向于A,能否断定 m ./(x, y) =A?(x,y)(xo,Y。不能例 X6x2+ P(x,y)沿直线y二kX趋千0(00)

＝

缸

kk X今0 y

+

X今yx3y-

卢oI+k2 例(x,y)•co.o)f(x,Y)=（解取y=

f(x,kx)

(x2+k飞

—·`0分但 f(x,y)不存在(x,y)1-y61-X=

f(yz,y)

分(y4+3 3例证明X分x6+y2不存在y今Xy证 kx3XyX今y今

X3yy

X今

.kx x +k2X 1+k

二元函数zfx,y)的全微分dzzdxz三元函数ufx,yz)的全微分duudxudyu设函数z3xy2,则dz

2则dz

zdx

dy3dx2

zf(x,

的偏导数

在点x,

连续，则该函数在点x,y)zz xdxydy则u

fx(x

y,z)dx

fy(x

y,z)dy

fz(x

y,z)dz解 2 2y (2 2yzeyz) yz设二元函数z

fx,y)xylnx,求全微分zyxy1lnxxy1ylnx1)xy1

xyln2 则dzzdxzdyylnx1)xy1dxxyln2 定 如果函

及v(t

都在点t可导，函数zf在对应点

具有连续偏导数，则复合函数z

tdzzduz u v定理

设函数

(x

y)、

(x

y在点

(x,y有偏导数，函数z

f(u,v在对应点

(u,v处可微，则复合函数z

f((x

y),(x

y)在点(x,y)的偏导数存在，且z

zzuv

z z

z

z

v例 设

e

v，u

xy，v

xy，

， z

z

eu

v

eu(

v)eu(

vsinvexy[

xy)

xyz

z

eu

v

eu(

v)

(1eu(xcosvsinvexy[x

xy)

xy例 设

2euv

u

x,v

x3求

du

dv2ve

x2e

3x2eu(vcosx3x22e

x(x3

x3x2

xy2

、 1 设z1

u，u

1u2

y2

y1x2y dz1u 2 2 1x2y z zuvetu(sint)cosetcostetsintcoset tsint)coszvy

x

yxlnx2y 2x4y由方程F(x,y)=0有连续的偏导数，且(000,(000,则连续且具有连续导数的函数(),它满足条件0=y 有

F(x,y)=0

y

设函数z

f(x,

在点x0y0

x0,y0)的点x,y)fx,y

f(x0,y0

，则称函数在x0y0

f(x,y)

f(x0,y0

，则称函数在x0y0

柱体体积=底面积×高D 函数，任意将D划分为n个小区域AGl,AG2,．A6,I在每个小区域A6」上任取一点（女，T/己），作乘积f（作 2f（女如果当这些小区域的直径的最大值入趋千0时，上式极限总存在，则称函数f(x,y)在区域D上可积，此极限值称为函数f(x,y)在区域D上的二重IIf(x,D积分和乒面积元素上被积表达积分和乒面积元素上被积表达式积分呈被积函数分区域6Aiif]在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域y．矩形闭区域设长为AXi，宽为y．则,1ui=L1x;x则面积元素为da=xfff(x,y)da

=a=abab如果积分区域为：c＜y<d，免（y)SXS<p2yy[Y—型yy f y)da- C中DY型区域的特点：穿过区域且平行千x不多于两个交点。例1II《ydxdy其中D是由曲线y=x2与直线y=1圉成的 ，如图所示按x型计算原式[x2dxL2ydy=[1x2dx(fy2)11,2—— ——

＝寸(x2—2J-=j(x2—＝产—巨l4

- D:—I<x<1,I<y<按yy凳区域写积分区间的办法：从图中纵向找最大蛊小，横向找左边界，右边界。y·:D:0<y<I,-J;<x< x2yclxdy,[y2--= D:O<y<l,—3例 计算II(2.xy+y2)dxdy其中D为矩形区域：0::;X::;3,1::;y::;3DIf(2xy+.Y2) =f311-31-+2311-31-+2-9+x[93(厂汀

r(2.xy+ 62x8＇＋ l62x8＇＋

=30x330x32xu＋ Y-1-1 X原式＝

吐1-

计算由曲面z＝占了5团皮＝x2+y2所围成的立体的体积（要求利用二重积分计算）解：记D:x2+y2S1,V=JI［卢－（x2+D －沁pdpd(J=I:冗d8J:(p2-D1－6由曲线所围成的平面图杉D的面积计算般表达 = （被积函数l(x,y)=D直角坐标系 D极坐标系 III=x= y=rsin D* y=X,y= X=1所围成的平面图形的面只yy直角坐标系

解如图所示D={(x,y)I0:5x:51,S=IDl=JfD=fxCxdxlx。＝丛2『=!。 m=ff =ffµ(x, mff例设平面薄片D是由x+y=2及y=x'和｀4密度叭．X,y=x24解：M=ffu(x,D

=l。1dy厂(x28%，12

。aq11=a+aq+aq2+ -- =I:0)的收敛性解：如果lql 1s,, aq+aq-2+···+aq11-a—1—

1— 1—当

<1时，·．. lims,，＝ 收 正 lims,，= 发“如｝l-当q=1时，s,ia 当q二一1时，级数变为a-a+a-a:.lims,？不存 发敛散收发时时＜＞敛散收发时时＜＞当当上综'1qa8V'-。例2判别无穷级数L22n31—"的收敛性解：-.-u,,22'31_"=4-厂）＇3公比大千．． 性质1如果级数2凡收敛，则Lkun亦收敛 结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数，敛散性不变 性质2设两收敛级数S＝区Un,a=〉 则级数L(Un::!心）收敛，其和为S士结论：收敛级数可以逐项相加与逐项相减的敛散性匕

的部分 ＝二，则下列常数项级数中l ]l ]c＂了＋ ＋

3A．区 B．区（Un+Un-

D．区［Un+（—I＂ I＂n解析：l皿玩＝l皿汇言＝1，可知；；因是收敛的 L如＋Un-1) 3儿何级数，q=3/5< 所以区[un+(t]收敛 区—是调和级数，是发散的，所以L(un+—)也是发散的n=l 定理 当n无限增大时，它的一般项Un趋于零，级数收 limun=n今意王I意王I1－2_例 －+--…+（－1)九－1+…发 必要条件不充分例如调和级数1+1+1＿．．．＋．．

limun=0 n-由定义若Sns'当limun*0It

例判定正项级数 的敛散性例解因为J尸了飞一<J产了了了 解 $<J沪＝所以 >—n

因为调和级数1n n

发散1例

的敛散性 n(n+ 因

11级数级数丿了为p=n

>1的p－级数，它收敛 由比较判别法知级数:1n(n

收敛。 例II

=1 -'22•

n

＋．．．的敛散性 ·2" 因为"n·2"

- n 2n-而几何级数n

1，其公比

2所以由比较判别法知所给级数亦收敛例 11 u1-v＋贝＂令 解 11 u1-v＋贝＂令 1111l 而调和级 ：凡＝：—发散 n.=1由定理级数芦In(1+；]发散定理4．设nU是正项级数如果limUn+l n今coun

=p(p数或＋心p<lp>1例1"l

5n 解：．·．hm礼 =lim5n /1分心 ,，吵

6 1 1Sn ..- ／I妞55n+ 5;,1=-5由比值判定法得：

°°5n收敛定理5．设L",设L",，是正项级数如果II-►OO(p为数或＋oo)，卿<1p>l时级数发散p=l`｛当p>1当p51时， 五＝［＝—分O(nCX)) 例证明级数l+1十

+22. 解 因为气`:mdJ`=n1句2+（—例判定级数

的收敛性解：因 把OO寸亡＝！吧；U五飞勹尸定理6．设区Un如果limnun=1>0n今如果p>1,而limnpun= 1<+a习，则级数收敛n今定理（莱布尼茨定理如果交错级数满足条件。(i)u,，u,H1(n=1,2,3,-。儿今则级数收敛，且其和ss"1其余项凡的绝对值E|例1

”(—2 2

解：＇．＇－＞一｝即Un>Un+l 1又lim匹＝Jim-=n n-

定 任意项级数 正项级。 若X也，1发散而LU"收敛，则称LUn 定理 收敛，则2U，，收敛°例如：级数2(—°111n111

1n1”T”＝丿”T”＝丿数级勺是调和级数，是发散的。因此，级数〉(—1)"-1—条件收敛

。+x+x 它的收敛域是（－1,1)，当xE(—1,1)时，有和函数2：忒 l—它的发散域是(-co,-1]及[1,+oo)，或写作xlzoo泸＋X—又如，级数 (x#0)，当xi=1时收敛 n今但当O<IxI*1时limun(x)oo，级数发散；所以级数的收敛域仅为xi=n今形如〉ar,(x—X矿＝a。＋a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ---+an(x—Xo)n+---的函数项级数称为幕级数，其中数列an(n=0,1,-－）称为幕级数 0的情形，fanxna。+a1x+a2x2+···+an叨例如，幕级数芝xn=

xi<l 定理 (Abel定理若幕级数芝anxn在．x=Xx1< 的—切x幕级数都绝对收敛反之，若当X==Xox1> 的一切．X'该幕级数也发散用土RR=0时，幕级数仅在X=QR二十00时，幕级数在（－oo,+oo)O<R<＋C()'幕级数在(-R,R)收敛；在[-R,R]外发散；在x土R可能收敛也可能发散。R称为收敛半径，（－R,R)称为收敛 定理若Lanxn的系数满足

=p，n

n今 1)当p=l=-0时，R=p'2)当p=O时，R=3)当p=+ooi:anxn的收敛半径为R= noolX X例求幕级数

—…+(—

n

+·一收敛域 解：R=Iim = n分文）

n今 。

对端点X=1＇级数为交错级数Z:(- —，收敛 °°-对端点x二—1'级数 ，发散n=l故收敛域为(—1£例求下列幕级数的收敛域。£勾

规定:0!=1

泸；（2） （l) R= I= =lim(n+l)=n今江｝ n今 n今所以收敛域为(-oo,(2) R=lim I= =1im!:=n今叨a n分叨 n今所以级数仅在x=O1求幕级数

x2n的收敛半径解：级数缺少奇次幕顷，不能直接应用定理2,求收敛半径 X2lin1.Un+l(x)I

ncolun(x) n

[2n]

=lim(2n+1)(2n+2)x2=n分(n当4x2<1即区11 当4x2>1即x>狂时级数发散｝故收敛半径为anxn(an定理1设函数f(x)在点Xo的某一邻域U(x。)内具有各阶导数，则f(x)在点x。处的泰勒级数收敛于f(x)的充要条件是要f(x)limRn(x)=即：f(x)的泰勒级数收敛于f称 称

7(xo)+

f”(x (x-十．．．

)(x (x-x为 (x)在点m的泰勒展开当X。=0函数f (x)在点x。处”有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同？

limRn(x)=n今展开万法

直接展开法—1把f(x)展开成x的幕级数，可以按照下列步骤进行：第一步求出f(x)的各阶导数f'(x),f如果在x=O处某阶导数不存在，就停止进行例如在x=O处，f(x)＝正的四阶导数不存在，它不能展开成x的幕级数第二步求出f(x)及其各阶导数在x=Of(0),/'(0),/"(0),..., +f'(0)

1+;.;f1

_

+—JCn)(0)1 ·1并求出收敛半径R第四步考察当x在区间(-R,R)内时余项rn(x)f(n+l)(“limrn =“ n今

Xn（在0与x之间）是否为零，如果为零，则函数fCx)在区间(-R,f(x)=/(0)

—

—JM(O)x"+...（—R<X 例例1.将函数／（x)=e飞展开成x的幕级数。·:f(n)(x) /Cn\O1(n0,lX1 +···—X 其收敛半径为R=J严对任何有限数x, I凡

n今(x)I= xn+lI (4在0与 之间 2_13..故ex=l+x+— +— 2_13.. XE(-oo,-例2将／（x)=sinx展开成x的幕级数:.f (x==sin(x:.f n=切(- n=2k+

(k=0,1,2,---X-

I

x5己一---+(-l)n—lx2n—1+-- 5!

其收敛半径为R=+oo，对任何有限数x —— sin(q(n —— n+1< n-

x3+1S----+(-I)n—lx22

--'Slll

X- （2n—XE(-例3.将函数f(x)=(1+x)m展开成x的需级数，其中m为任竞常数解：易求出f(0)= /'(O)= f"(O)=m(m—f(n)(0)=m(m-I)(m-2)··-(m-n+X''+1+mx:+m(m—1)-+··+m(m—1)---(m—X''+ 由千

=

n,.., I.=I n今OO n?OOm—因此对任意常数m,级数在开区间(—1,1)

(l+x)11

m(m-l)x-+--+m(m-1)-··(m-n+l)+X"+---(-1<X<称为二项展开式在x＝土1处的收敛性与m有关对应m= -l-1的二项展开式分别尸＝1 x x2 x3 x4 (- =l-1

1·

3·

·3·5·7尸 (-＇1＇

=

X+

+(-＋－－（－1< －

(-2利用一幕级数

3.1

n- 2n-sinx=x——XJ+—X—···+（— 5!''(2n—对上式两边求导可

XE(-00,X正cosx=l—1x.1'1l)1lx2n十X正 例 例4.将函 2展开成x的幕级数解 =1—x+x2—-－+(—l)n芷－．（—l<x<l)把x换成x1

=1—xz+x4+-－＋（—l)'1x2n+···(—例5.将函数f(x)ln(lx)展开成x的写级数 解：f'(x=＝区(- 从

(- co(—ln(l+x) （— dx＝xn+l,—l＜立 n=0n上式右端的幕级数在X=1收敛，而ln(l+x)在x=l定义且连续，所以展开式对X=l也是成立的，千是收敛域-l<x利用此ln2=

l)+-234 例将函数f

展开成x的幕级数X—= =解（x）＝ 21-2l-l-1。(—1)n(—订＝吝。（日(—

X11 f ＝．工言X11 f ＝．工1(x)＝x1解：f（x)＝ X—3—2+(x— =—

X—2=—ig（了）n=言(—(—1

X—1 or—1<X<2 G)直+x+X+·+Xn ln(lx)x xx3-x4···+xn+I - XE(-

SlllX=

+ 7!

--

＋(— +-- +XE(—OO, COSX=1—

+（—

+-- =1 +--

XE(—OO,+当m=—1

n+)..

XE(—1, =l—x+x2—x3+---+(—l)nxn+···,

XE(—1,7%，113xC(Q)Q214Q h(t)y2y3y yx2y

2u2u2u

2u xx

y

2

0,

4yx3

yx3

11

3xdy

f(x)gy)的一阶微分方程称为可分离变量方程g(y)d g(y

f(x)d

g(y

f(x)

G(y)

F(x)其中Gy

Fx)

g(y

fx)

dy2xy 求微分方程y(l+x2)dy+x(l+y2)dx=0满足 Ylx=I=Q的特解解 =— =—2

= l+ l+ 1+ +f勹d(l+y2= d(l+x2f 1+ 1+ —ln(1y2)=——ln(12)+1(cl为任意常数 ln(1+y2)+lln(1+x2)= ln(1+y2)ln(1+正Cln(1+y2)(1+厂＝2Cl(1+y2)(1+x2)=e2cI令C2c1原方程的通解为(1+y2)(1+X =将X=l,y=O(1+0)(1+1)= C=(1+y2)(1+X 微分方程y'- 0满足初始条件YIx=O=l的特解为y=＿-—两边积分得 心

=xdx 1x2+1I—通解为:y=忙x=0,y=l代入求得C=l，故特解为：y＝求微分方程(l+x2)dy-(x-xsin2y)dx=0满足初始条件Ylxo=O解：原方程变形(1+x2)dy=x(l—sin2X dy Xn2 l+xI l? dy=l (l+X2)dxcos-y Itan

=—ln(l+x2)+2又因为x=O,y=O，所以C故原方程的特解为tany=』ln(l+2形如空＝王） (xy-y2)心－（正－2xy)dy=(xy-

=(x2-x2- 』-（乌＝ 1-2(1--Xdyy=(jJ(—

·`,—XdY=

+U+ u-(f) uurp ＝ u rp(u)—

=—-X

yep(x)dx(q(x)ep(x)dxdxC1(1x3Cx即：y1x23x故通解为：y1x23x 相异实根(p24q yCerxCer 1 2 重根(p24q 特征方程rprqy

C 共轭复根(p24q

y

y"+py'+qy==f当f(x)=0时，称为二阶常系数线性齐次方程。y"py'+qy当f(x)-=1=-0性质 如果函数Y1(X)与Y2(X)是方程y"+jJy'+qy=的两个解，则Y=C1Y1(x)+C2Y2(x)也是方程y"+py'+qy=0的解，其中Cl、c2为任意常数 如果Y1(x)与y2(x)是方程y"+py'+QY=0的两个线性无关的特解，则y=C1片(x)+c2儿(x)就是方程y"+py'+qy=0的通解，其中C1,C2是任意常数。y"+py'+qy=

—p士J特征根—p士J2(1)当A>0时，即矿－4q>0,r特征根为r=—ppr Y1=e Y2=e2得齐次方程的通解为y=C,eCe尸2(2)当A=0时，即矿－4q0特征根为—

——p2得齐次方程的通解为y==(C1C2x)e(3)当A<OO寸，即p2—4q<0时，特征方程有一对共 特征根为r1=a+jP, r2=a-jP,Y=eax'(Clcos/Jx+c2sin例1求方程y"4y1+4y0解：特征方程为r24r+4解得片＝r2=-故所求通解为y=(ClC2x)e-例 求方程y"+2y'—3y=0的通解解：特征方程为r2+2r—3解 r1=1,r2=-2故所求通解为yClex+C?e—2例 求微分方程y"+2y'+Sy=0的通解：所给方程的特征方程为r2+2r+5=4—20=—16<特征解为一对 复—2++16—2—Jr1=-------;::----=-1+2 =-------;::----=-1-2 微分方程通解为y=ex(CIcos2x+C2sin2已知函数y＝芷是微分方程y”—2y'+ay=0的一个特解，解：把y=泸代入方程y"-2y'+ay=O4e2x-4e2x+ae2x=:.a=则：微分方程为y”—2y'=特征方程为r2-2-r=解得rl=0,r22故所求通解为y=cl二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py'+qy=定理 设y＊是二阶常系数非齐次线性微分方Y11+pY1+qy=f(X)的特解，而Y(x)是与其对应的齐次方程y"py'+qy0的通解，那么y=Y(x)+二阶常系数非齐次方程的通解可表示为其对应的齐次方程的通解与非齐次方程本身的一个特解之和。第一，求出其对应齐次线性方程y"+的通解Y(x)=cl片(xC2y2第二，求出非齐次方程y"+py'+qy=f(x)的一个特解最后得到通斛y"+py,+qy=ff(x)f(x)(a。尸＋a1Xm-l+···Bm_1X+Bm)e入＊入不是特征根y*=(b ＋blxm-1+···bm-lx+bm)e＊A是特征方程的单 y*=x(b ＋blxm-1+···bm-lx+bm)e入是特征方程的重 y*=x2(b ＋blxm-1+..·bm—1X+bm)e其中九（i=1,2,…m)例 求微分方 y"-2y'-3y=6x+l的特其中PIii(x)=6x+ ,i=与所给方程对应的齐次方程为y"-2y'-3y它的特征方程为r2—2r—3=O,r1=3,r2=—千是齐次方程的通解为y=Cle3x+Cze- =0不是特征 设Q(x)=b。x+因此设特解为y*=(b。x+bI)e0x=b。X+ = =6x+—3b。X—3bl—2b。=6x+{—3b。—3bl—2b

b。=— bl=千是求得一个特解 y*=l-最后得到通 例 求微分方程y"-Sy'+6y=4xe2x的特解：所给方程是J(x)＝P(x)产形式的二阶常系数非齐次的线性微分方其中九(x)= A 与所给方程对应的齐次方程为y”—Sy'+6y=它的特征方程为产 (r-2)(r-千是齐次方程的通解 +/4=2设所给方程的特解为y*=x(b。X+ =(b。x+b1)e +xb。e2x 2x(b。=[2b。x2+(2b。 =[2b。x2+(2b。 +[2b。x2+(2b。+2b1)x+=[4b。 b。+4b1)x+2b。将 代入方程y”—5y'+6y=[4b。 b。+4b1)x+2b。—5[2b。x2+(2b。+2bl)x+九］e2x+6x(b。=4xe—2b。x+2b。—b1={—2b。2b。—九b。=—2.bl=—得特解为y*=x(—2x—最后得到通解y=Y(x)+例 求微分方程y"—2y'+Y=X矿的通解：所给方程对应的齐次方程 y"—特征方程 r2—2r+1=特征根 r1=r2=于是齐次方程的通解为f=(Cl_+方程y”— =xex的 1设Q(x)=x2(b。X+于是方程y"-2y'+y=X矿的特解为y•=x2(b。 =2x(b。 x2b。ex+x2(b。=[b。 +(bl+3b。)x2+

=[3b。x2 (2b1+6b。)x++[b。x3+(b1+3b。)x2+（bl+ y”—2y'+ （b1-2[b。 +（b1+3b。)x2+2b,x]ex+x2(b。x+b') =b+=b 6b2bl=

.=x2(

1-—矿1-— 最后得到通解y=Y(x)+（一）1334567试卷内容比例13，2025，3825，383，417，257，1010，15选择题（填空题）所占分值（分所点比例12323试卷内容比例13，2025，3825，383，417，257，1010，15选择题（填空题）有界性定理，最大值与最小值定理，介值定理（包括零点定理）罗尔（Rolle）定理拉格朗日（Lagrange）洛必迭（I，’Hospital）第一第换元法（凑微分法）两平面的位置关系（平行、垂直标准式方程（又称对称式方程或点向式方程）两直线的位置关系（平行、垂直（一）（二）（二）（一）3.设函数y=cos2x,则y'= AC.

-2sin2x (cos2x)'=-sin2x·(2x)'=—【选择题】4．设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导， >0,f (a)f <0,则f (x)在（a,b)内零点的 A. B.C. D.由零点存在定理可知，f(x)在(a,b)上必有零点，且函数是单调函数，故其在(a,b)上只有一个零点。【选择题】5．设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)= -:故f(x)=cff(x)dx)'=(2xC)'=【选择题】6．设函数 =arctanx, A.-arctan