【小升初典型奥数】容斥原理（含解析）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

小升初典型奥数容斥原理1．在校运动会上，共有30人参与跳远和跳高。参与跳远的有18人，参与跳高的有22人，既参与跳远又参与跳高的有多少人？2．三班级一班有12人参与了数学竞赛，有15人参与了语文竞赛，有4人两项竞赛都参与了，三班级一班参与数学和语文竞赛的有多人？3．三（1）班每人至少订一份杂志，订《现代少年报》有24人，订《中国少年报》的有28人，两种杂志都订的有13人。三（1）班一共有多少人？4．三（1）班参与跑步的有22人，参与跳绳的有26人，两项都参与的有10人，两项都没参与的有2人。三（1）班共有同学多少人？5．我们班参入调查了饭后吃水果状况：30人宠爱吃苹果，27人宠爱吃梨，10人两种都宠爱，问我们班有多少人？6．某学校共有同学540人，在一次自愿参与的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？7．阳光学校四（2）班的同学中有18人宠爱打乒乓球，15人宠爱打羽毛球，9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班宠爱打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？8．全班有57人参与考试，每人至少有一门课考100分，其中：语文考100分的有30人，数学考100分的有36人，英语考100分的有28人，两门都考100分的有52人．有多少人三门都考了100分？9．学校艺术节竞赛，三（1）班报名参与唱歌和跳舞竞赛的状况如图，参与唱歌和跳舞竞赛的一共有多少人？10．某科研小组的32名科学家来自世界各地，其中会讲中文的有16人，会讲英文的有28人，每个人至少会讲中文或英文中的一种。（1）两种语言都会讲的有多少人？（2）只会讲中文的有多少人？（3）只会讲英文的有多少人？11．一只猴子摘了72个桃子，第一天吃了这堆桃子的16，其次天吃了余下桃子的15，第三天吃了余下桃子的1412．参与某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参与了活动？13．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中学校生必需参与的教育活动，光明学校组织“农田基地”劳动，40人参与“农田除杂草”劳动，25人参与“农田施肥”劳动，其中两项都参与的有10人。参与这两项劳动的同学一共有多少人？14．某学校的同学订阅报纸和杂志，订阅报纸的有152人，订阅杂志的有109人，两者都订阅的有30人，全校一共有多少人订阅报纸或杂志？15．某矿业公司因市场调整需要，其次季度产量比第一季度减产二成五，第三季度方案增加产量3万吨，这样第三季度产量比第一季度增长﹣20%，第一季度的产量是多少万吨？16．为了提升道路交通平安意识，阳光学校对观看“一盔一带平安教育”与“道路平安警示”视频的状况进行了调查。调查结果显示：有164名同学观看了“一盔一带平安教育”视频，148名同学观看了“道路平安警示”视频，而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频？17．三（1）班有50人，每人至少参与一个小组，参与美术小组的有29人，参与书法小组的有27人，两个小组都参与的有多少人？18．玲玲看一本书，第一天看了全书的20%．其次天看了余下页数的3819．小明对班上男生的体育爱好进行了调查，得到如图的数据。依据如图给出的信息回答下面的问题：一共调查了人，宠爱足球的有人，只宠爱篮球的有人，两种球都宠爱的有人。20．订这两种报刊的同学共有多少人？21．在一次测试中，三年一班有30人获得语文A，有32人获得数学A，其中语文、数学均获得A的有25人，三年一班共有多少名同学？22．学校成立了科技和书法两个爱好小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参与一个爱好小组，有24人参与科技小组，17人参与书法小组。有多少人参与了两个爱好小组？23．三班级一班有45人，参与体育课外小组的有27人，参与音乐课外小组的有31人，每人至少参与一个课外小组，三班级一班两个课外小组都参与的有多少人？24．两根一样长的电线，第一根用去了18米，其次根用去了30米，其次根余下的米数正好是第一根余下米数的2325．六（1）班有45人，有59的同学订了《学校生数学报》，有326．四班级一班有46名同学参与3项课外活动．其中有24人参与了数学小组，20人参与了语文小组，参与文艺小组的人数是既参与数学小组又参与文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参与人数的7倍，既参与文艺小组也参与语文小组的人数相当于3项都参与的人数的2倍，既参与数学小组又参与语文小组的有10人．求参与文艺小组的人数．27．三（1）班同学参与书画竞赛，参与书法竞赛的有28人，参与绘画竞赛的有25人，两项都参与的有4人，参与书画竞赛的有多少人？28．学校为了丰富同学的校内生活，让同学的共性特长得到优质进展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。（1）至少选择其中一类课程的有多少人？（2）这两类课程都没有选择的有多少人？29．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？30．五班级课后爱好班有36人，其中宠爱踢足球的有19人，宠爱打篮球的有21人，既不宠爱踢足球又不宠爱打篮球的有4人，那么既宠爱踢足球又宠爱打篮球的有几人？31．三班级（1）班有52人，宠爱喝牛奶的有27人，宠爱喝豆浆的有36人。既宠爱喝牛奶又宠爱喝豆浆的有多少人？32．有一个大西瓜，八戒吃了3533．如表是明明的课程表．明明这两天一共学习了几门课？周一周二…语文数学…数学语文英语科学美术音乐体育英语34．四（1）班有30人会下棋，会下象棋的有16人，会下围棋的有19人。（1）请依据以上信息，把如图中各部分的人数填在括号里。（2）两种棋都会下的有多少人？35．杨老师给1801班的同学出了两道思考题，批改后发觉：全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有35人，两道题都做对的有15人，1801班一共有多少位同学？36．三一班有55名同学，每人至少参与赛跑和跳绳竞赛中的一种．已知参与赛跑的有26人，参与跳绳的有38人，两项竞赛都参与的有多少人？37．有甲、乙两堆苹果，甲堆比乙堆少60千克，甲堆苹果卖出25，乙堆苹果卖出438．张老师出了两道题，做对第一题的有15人，做对其次题的有24人，两道题都做对的有9人，没有两题都做错的。这个班共有多少人？39．两名小伴侣一共订了几种报刊？40．三班级（1）班有45名同学参与团体竞赛，其中参与接力赛的有25人，参与拔河赛的有35人，既参与接力赛又参与拔河赛的有多少人？41．101名同学去春游，带矿泉水的有70人，带水果的有50人，每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人？42．四班级128名同学去铁道游击队影视城研学，带矿泉水的有68人，带水果的有88人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？43．三班级有108个小伴侣去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三班级既带矿泉水又带水果的小伴侣有多少人？44．三（1）班订《数学报》的人数有27人，订《语文报》的人数有32人，两份都订的有15人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有多少人？45．学校文艺队有48人，每个同学在唱歌和跳舞方面至少有一项擅长。擅长唱歌的有30人，既擅长唱歌又擅长跳舞的有9人。擅长跳舞的有多少人？46．六（5）班有48人，其中58的同学订阅了《英语辅导报》，1747．同学们到动物园游玩，参观金丝猴馆的有50人，参观大象馆的有38人，两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人？48．学校的社团活动，三一班每个人都参与了书法或绘画活动。参与书法的有25人，参与绘画的有30人，两种活动都参与的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。49．机床厂上半月完成生产方案的51250．杭城某小区共有143户住户，据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸状况如下：订阅《都市快报》的有80户，订阅《钱江晚报》的有75户，两种报纸都订的有25户．依据供应的材料你还能猎取哪些信息？请补上一个问题，并解答．51．甲，乙、丙三个车间共同完成一批零件的加工任务，甲加工了总数的14多30个，乙加工的零件数比总数的152．五（2）班有60人，会打乒乓球的有30人，会踢足球的有20人，两种运动都不会的有15人，两种运动都会的有多少个人？53．幸福社区进行端午节庆祝活动，参与包粽子大赛的有85人，参与划龙舟竞赛的有60人。参与这两项活动的一共有135人。两项都参与的有多少人？54．五班级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对其次题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？55．摩托车越野赛的一段路程，前13是平路，中间13是上坡，后56．李文、张可、周凡、何思、王力、杨健6人跑步，王毅、张可，李明、王力、蔡英5人跳远。跑步和跳远的共有多少人？57．同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参与的有40人．去动物园的一共有多少人？58．五（1）班一共有多少人？59．四（1）班有40名同学，宠爱诵读古诗词的有28名，宠爱读数学故事的有25名，且每人至少宠爱其中的一种．既宠爱诵读古诗词又宠爱读数学故事的有多少人？

容斥原理参考答案与试题解析1．在校运动会上，共有30人参与跳远和跳高。参与跳远的有18人，参与跳高的有22人，既参与跳远又参与跳高的有多少人？【答案】10人。【分析】先用18加上22求出两者的和，这其中把两项竞赛都参与的人数多计算了一次，然后减去总人数30就是既参与跳远又参与跳高的有多少人。【解答】解：18+22﹣30＝40﹣30＝10（人）答：既参与跳远又参与跳高的有10人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种状况）。2．三班级一班有12人参与了数学竞赛，有15人参与了语文竞赛，有4人两项竞赛都参与了，三班级一班参与数学和语文竞赛的有多人？【答案】23人。【分析】依据容斥原理公式：总人数＝A+B﹣既A又B解答即可。【解答】解：12+15﹣4＝27﹣4＝23（人）答：三班级一班参与数学和语文竞赛的有23人。【点评】本题考查了容斥原理，学问点是容斥原理一：总人数＝A+B﹣既A又B。3．三（1）班每人至少订一份杂志，订《现代少年报》有24人，订《中国少年报》的有28人，两种杂志都订的有13人。三（1）班一共有多少人？【答案】39人。【分析】先用24加上28求出订《现代少年报》和订《中国少年报》的人数和，再减去两种杂志都订的13人（即重复计算的人数），就是三（1）班参与的总人数。【解答】解：24+28﹣13＝52﹣13＝39（人）答：三（1）班一共有39人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可以借助图形解决问题。4．三（1）班参与跑步的有22人，参与跳绳的有26人，两项都参与的有10人，两项都没参与的有2人。三（1）班共有同学多少人？【答案】40人。【分析】由题意，用（22+26）求出至少参与一项竞赛的同学的总人数，再减去两项都参与的人数就是参与竞赛的总人数，最终加上两项都没参与的人数；据此解答。【解答】解：22+26﹣10+2＝48﹣8＝40（人）答：三（1）班共有同学40人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B。5．我们班参入调查了饭后吃水果状况：30人宠爱吃苹果，27人宠爱吃梨，10人两种都宠爱，问我们班有多少人？【答案】47人。【分析】先用30加上27求出两者的人数和，然后减去重叠的人数10即可。【解答】解：30+27﹣10＝57﹣10＝47（人）答：我们班有47人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。6．某学校共有同学540人，在一次自愿参与的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？【答案】11人。【分析】依据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。【解答】解：36+25﹣50＝61﹣50＝11（人）答：既用文字又用语音提问的有11人。【点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是娴熟把握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。7．阳光学校四（2）班的同学中有18人宠爱打乒乓球，15人宠爱打羽毛球，9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班宠爱打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？【答案】24人。【分析】依据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。【解答】解：18+15﹣9＝33﹣9＝24（人）答：全班宠爱打乒乓球和羽毛球的一共有24人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。8．全班有57人参与考试，每人至少有一门课考100分，其中：语文考100分的有30人，数学考100分的有36人，英语考100分的有28人，两门都考100分的有52人．有多少人三门都考了100分？【答案】见试题解答内容【分析】依据容斥原理公式：A∩B∩C＝A∪B∪C﹣（A+B+C）﹣（A∩B+B∩C+A∩C），代入数据解答即可．【解答】解：（30+36+28）﹣57﹣52＝109﹣57﹣52＝5（人）答：有5人三门都考了100分．【点评】本题考查了容斥原理2：三量重叠问题，即A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．9．学校艺术节竞赛，三（1）班报名参与唱歌和跳舞竞赛的状况如图，参与唱歌和跳舞竞赛的一共有多少人？【答案】16人。【分析】依据容斥原理，把图中把参与唱歌和跳舞竞赛的人数相加，再减去两项都参与的人数就是总人数。【解答】解：12+9﹣5＝21﹣5＝16（人）答：参与唱歌和跳舞竞赛的一共有16人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种状况）。10．某科研小组的32名科学家来自世界各地，其中会讲中文的有16人，会讲英文的有28人，每个人至少会讲中文或英文中的一种。（1）两种语言都会讲的有多少人？（2）只会讲中文的有多少人？（3）只会讲英文的有多少人？【答案】（1）12人；（2）4人；（3）16人。【分析】（1）依据“既A又B＝A+B”﹣总数量解答即可。（2）求只会讲中文的有多少人，用会讲中文的人数减去两种语言都会讲的人数。（3）求只会讲英文的有多少人，用会讲英文的人数减去两种语言都会讲的人数。【解答】解：（1）16+28﹣32＝44﹣32＝12（人）答：两种语言都会讲的有12人。（2）16﹣12＝4（人）答：只会讲中文的有4人。（3）28﹣12＝16（人）答：只会讲英文的有16人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。11．一只猴子摘了72个桃子，第一天吃了这堆桃子的16，其次天吃了余下桃子的15，第三天吃了余下桃子的14【答案】见试题解答内容【分析】依据题意，把猴子摘的桃子总数看作单位“1”，则第一天后剩余个数为：72﹣72×16=60（个），然后其次天后剩余个数为：60﹣60×15=48（个），第三天后剩余个数为：48﹣48【解答】解：第一天后剩余个数为：72﹣72×＝72×＝60（个）然后其次天后剩余个数为：60﹣60×＝60×＝48（个）第三天后剩余个数为：48﹣48×＝48×＝36（个）第四天后剩余个数为：36﹣36×＝36×＝24（个）第五天后剩余个数为（即第六天吃的个数）：24﹣24×＝24×＝12（个）答：第六天它吃了12个桃子．【点评】本题主要考查分数的实际应用，关键依据题意，求出每天吃的个数及剩余个数．12．参与某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参与了活动？【答案】见试题解答内容【分析】用47加上38求出它们的和，这样两种都会的多算了一次，然后减去22就是至少会一种的英语和法语，然后再加上15即可．【解答】解：47+38﹣22+15＝63+15＝78（人）答：一共有78人参与了活动．【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．13．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中学校生必需参与的教育活动，光明学校组织“农田基地”劳动，40人参与“农田除杂草”劳动，25人参与“农田施肥”劳动，其中两项都参与的有10人。参与这两项劳动的同学一共有多少人？【答案】55人。【分析】用参与“农田除杂草”劳动的40人加参与“农田施肥”劳动的25人的和，减去两项都参与的10人即得总人数。【解答】解：40+25﹣10＝65﹣10＝55（人）答：参与这两项劳动的同学一共有55人。【点评】解答依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类又是B类的元素个数。14．某学校的同学订阅报纸和杂志，订阅报纸的有152人，订阅杂志的有109人，两者都订阅的有30人，全校一共有多少人订阅报纸或杂志？【答案】见试题解答内容【分析】依据题意，订阅报纸志以及订阅杂志的共有152+109＝261（人），又由于两者都订阅的有30人，因此，用261减去30即为所求．【解答】解：152+109﹣30＝231（人）答：全校一共有231人订阅报纸或杂志．【点评】属于容斥原理的问题，即重叠问题，用总数减去重叠部分，即可解决问题．15．某矿业公司因市场调整需要，其次季度产量比第一季度减产二成五，第三季度方案增加产量3万吨，这样第三季度产量比第一季度增长﹣20%，第一季度的产量是多少万吨？【答案】见试题解答内容【分析】把第一季度的产量看成单位“1”，其次季度产量比第一季度减产二成五，那么其次季度的产量就是第一季度的1﹣25%＝75%，第三季度产量比第一季度增长﹣20%，也就是第三季度的产量是第一季度的1﹣20%＝80%，第三季度比其次季度增产了第一季度的（80%﹣75%），它对应的数量是3万吨，依据分数除法的意义，用3万吨除以这个分率即可求出第一季度的产量是多少万吨．【解答】解：1﹣25%＝75%1﹣20%＝80%3÷（80%﹣75%）＝3÷5%＝60（万吨）答：第一季度的产量是60万吨．【点评】本题的关键是找出单位“1”，并找出数量对应了单位“1”的百分之几，用除法就可以求出单位“1”的量．16．为了提升道路交通平安意识，阳光学校对观看“一盔一带平安教育”与“道路平安警示”视频的状况进行了调查。调查结果显示：有164名同学观看了“一盔一带平安教育”视频，148名同学观看了“道路平安警示”视频，而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频？【答案】200名。【分析】用观看了“一盔一带平安教育”视频的同学人数加上观看了“道路平安警示”视频的人数，然后再减去重叠部分的人数，也就是减去两个视频都观看的同学人数即可解题。【解答】解：依据分析可得：164+148﹣112＝312﹣112＝200（名）答：本次活动一共有200名同学观看了视频。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。17．三（1）班有50人，每人至少参与一个小组，参与美术小组的有29人，参与书法小组的有27人，两个小组都参与的有多少人？【答案】6人。【分析】用参与美术小组的人数加上参与书法小组的人数，求出两者的总人数，这里面把两个小组都参与的人数多算了一次，所以再减去50，即可求出两个小组都参与的人数。【解答】解：29+27﹣50＝56﹣50＝6（人）答：两个小组都参与的有6人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。18．玲玲看一本书，第一天看了全书的20%．其次天看了余下页数的38【答案】见试题解答内容【分析】把总页数看成单位“1”，第一天看了全书的20%，则余下了全书的（1﹣20%），其次天看了余下页数的38即其次天看的比全书的（1﹣20%）的38少10页，若其次天多看10页，则两天就看了全书的20%+（1﹣20%）×38=1【解答】解：20%+（1﹣20%）×＝20%+=1=110÷（12＝10÷（12＝10÷＝80（页）答：这本书有80页．【点评】本题关键是找出单位“1”，并找出已知数量占单位“1”的几分之几，用除法就可以求出单位“1”的量．19．小明对班上男生的体育爱好进行了调查，得到如图的数据。依据如图给出的信息回答下面的问题：一共调查了31人，宠爱足球的有25人，只宠爱篮球的有6人，两种球都宠爱的有8人。【答案】31，25，6，8。【分析】依据图示可得：宠爱足球的有25人，两项都宠爱的有8人，用宠爱篮球的人数减去两项都宠爱的人数就是只宠爱篮球的人数，然后把三项的人数相加，就是一共调查的人数。【解答】解：两项都宠爱的有8人；25﹣8＝17（人）14﹣8＝6（人）8+17+6＝31（人）答：一共调查了31人，宠爱足球的有25人，只宠爱篮球的有6人，两种球都宠爱的有8人。故答案为：31，25，6，8。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。20．订这两种报刊的同学共有多少人？【答案】48人。【分析】由于有8人两种刊物都订阅了，是重叠部分的人数，所以依据容斥原理求出参与订阅的人数是：32+24﹣8＝48（人），由此得出答案即可。【解答】解：32+24﹣8＝48（人）答：订这两种报刊的同学共有48人。【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。21．在一次测试中，三年一班有30人获得语文A，有32人获得数学A，其中语文、数学均获得A的有25人，三年一班共有多少名同学？【答案】37名。【分析】用获得语文A的人数加上获得数学A的人数，再减去语文、数学均获得A的人数，即可求出三年一班的同学人数。【解答】解：30+32﹣25＝62﹣25＝37（名）答：三年一班共有37名同学。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。22．学校成立了科技和书法两个爱好小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参与一个爱好小组，有24人参与科技小组，17人参与书法小组。有多少人参与了两个爱好小组？【答案】1人。【分析】依据容斥原理，参与科技小组的人数+参与书法小组的人数﹣总人数＝参与书法小组的人数。【解答】解：24+17﹣40＝41﹣40＝1（人）答：有1人参与了两个爱好小组。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要娴熟把握。23．三班级一班有45人，参与体育课外小组的有27人，参与音乐课外小组的有31人，每人至少参与一个课外小组，三班级一班两个课外小组都参与的有多少人？【答案】13人。【分析】参与体育课外小组的人数+参与音乐课外小组的人数﹣总人数＝两个课外小组都参与的人数。【解答】解：27+31﹣45＝58﹣45＝13（人）答：三年一班两个课外小组都参与的有13人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要娴熟把握。24．两根一样长的电线，第一根用去了18米，其次根用去了30米，其次根余下的米数正好是第一根余下米数的23【答案】见试题解答内容【分析】现在2根电线的长度差是30﹣18＝12米，其次根余下的米数正好是第一根余下米数的23【解答】解：（30﹣18）÷（3﹣2）＝12÷1＝12（米）12×2+30＝24+30＝54（米）答：这两根电线原来都长54米．【点评】本题考查了比较简单分数除法应用题，关键是求出其次根余下的米数；本题也可以求出第一根余下米数：（30﹣18）÷（1−225．六（1）班有45人，有59的同学订了《学校生数学报》，有3【答案】7人。【分析】先用总人数分别乘分率，求出订两种报纸的分别有多少人。依据容斥原理可知，订《学校生数学报》的人数+订《学校生语文学习》的人数﹣总人数＝两种报纸都订的人数。【解答】解：45×545×325+27﹣45＝52﹣45＝7（人）答：两种报纸都订的至少有7人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要娴熟把握。26．四班级一班有46名同学参与3项课外活动．其中有24人参与了数学小组，20人参与了语文小组，参与文艺小组的人数是既参与数学小组又参与文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参与人数的7倍，既参与文艺小组也参与语文小组的人数相当于3项都参与的人数的2倍，既参与数学小组又参与语文小组的有10人．求参与文艺小组的人数．【答案】见试题解答内容【分析】设3项活动都参与的有x人，由题意可得下图：由图可知，只参与数学的有24﹣10﹣x＝14﹣x人，只参与语文的有10﹣x人，只参与文艺的有4x人，数学+英语的有10﹣x人，数学+文艺的有x人，语文+文艺的有x人，语文+数学+文艺的有x人，依据他们的总人数是46列方程解答即可．【解答】解：设3项活动都参与的有x人，由题意可得：14﹣x+10﹣x+4x+10﹣x+x+x+x＝4634﹣2x+4x+2x＝4634+4x＝464x＝12x＝33×7＝21（人）答：参与文艺小组的有21人．【点评】解答此题关键是把总人数分为三类：只参与1项的、参与2项的和参与3项的．27．三（1）班同学参与书画竞赛，参与书法竞赛的有28人，参与绘画竞赛的有25人，两项都参与的有4人，参与书画竞赛的有多少人？【答案】49人。【分析】依据容斥原理，参与书法竞赛的+参与绘画竞赛的﹣两项都参与的＝参与书画竞赛的人数。据此计算即可。【解答】解：28+25﹣4＝53﹣4＝49（人）答：参与书画竞赛的有49人。【点评】此题主要考查了二集合容斥原理，要娴熟把握。28．学校为了丰富同学的校内生活，让同学的共性特长得到优质进展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。（1）至少选择其中一类课程的有多少人？（2）这两类课程都没有选择的有多少人？【答案】（1）34人；（2）11人。【分析】（1）至少选择其中一类课程的人数＝选择球类课程的人数+选择舞蹈类课程的人数﹣两类课程都选择的人数；（2）两类课程都没有选择的人数＝班级总人数﹣至少选择其中一类课程的人数，据此解答。【解答】解：（1）26+18﹣10＝44﹣10＝34（人）答：至少选择其中一类课程的有34人。（2）45﹣34＝11（人）答：这两类课程都没有选择的有11人。【点评】本题主要考查集合问题，分析清楚每个集合中包含与排解的关系是解答题目的关键。29．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？【答案】15千克。【分析】由题意得香蕉的重量+梨的重量＝33千克，苹果的重量+梨的重量＝42千克，用（42﹣33）求出苹果比香蕉重9千克。已知苹果的重量+香蕉的重量＝39千克，据此计算出香蕉的重量即可。【解答】解：42﹣33＝9（千克）（39﹣9）÷2＝30÷2＝15（千克）答：水果架上有15千克香蕉。【点评】此题的关键是明确三种水果的重量关系，然后再进一步解答。30．五班级课后爱好班有36人，其中宠爱踢足球的有19人，宠爱打篮球的有21人，既不宠爱踢足球又不宠爱打篮球的有4人，那么既宠爱踢足球又宠爱打篮球的有几人？【答案】8人。【分析】既宠爱踢足球又宠爱打篮球的人数＝宠爱踢足球的人数+宠爱打篮球的人数﹣总人数+既不宠爱踢足球又不宠爱打篮球的人数。据此计算即可。【解答】解：19+21﹣36+4＝40﹣36+4＝8（人）答：既宠爱踢足球又宠爱打篮球的有8人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要娴熟把握。31．三班级（1）班有52人，宠爱喝牛奶的有27人，宠爱喝豆浆的有36人。既宠爱喝牛奶又宠爱喝豆浆的有多少人？【答案】11人。【分析】先用27加上36求出宠爱喝牛奶与宠爱喝豆浆的人数和，再减去三班级（1）班的总人数52就是重复计算的人数，也就是既宠爱喝牛奶又宠爱喝豆浆的人数。【解答】解：27+36﹣52＝63﹣52＝11（人）答：既宠爱喝牛奶又宠爱喝豆浆的有11人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可以借助图形解决问题。32．有一个大西瓜，八戒吃了35【答案】见试题解答内容【分析】把这个西瓜的总量看作单位“1”，先求出八戒吃了35【解答】解：（1−35=2=1答：悟空吃了整个西瓜的110【点评】本题的重点是确定单位“1”，依据求一个数的几分之几是多少解答．33．如表是明明的课程表．明明这两天一共学习了几门课？周一周二…语文数学…数学语文英语科学美术音乐体育英语【答案】见试题解答内容【分析】周一共有5种，周二共有5种，其中语文、数学、英语三科重复，用5+5求出两周科目的和，再减去重复的3种即可．【解答】解：5+5﹣3＝7（门）答：明明这两天一共学习了7门课．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B．34．四（1）班有30人会下棋，会下象棋的有16人，会下围棋的有19人。（1）请依据以上信息，把如图中各部分的人数填在括号里。（2）两种棋都会下的有多少人？【答案】（1）；（2）5人。【分析】依据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数，求出两种棋都会下的有多少人，然后填写上边的图即可。【解答】解：（1）如图所示：（2）16+19﹣30＝35﹣30＝5（人）答：两种棋都会下的有5人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。35．杨老师给1801班的同学出了两道思考题，批改后发觉：全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有35人，两道题都做对的有15人，1801班一共有多少位同学？【答案】48位。【分析】依据容斥原理可知，第1题做对的人数+第2题做对的人数﹣两道题都做对的人数＝总人数。【解答】解：28+35﹣15＝63﹣15＝48（位）答：1801班一共有48位同学。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要娴熟把握。36．三一班有55名同学，每人至少参与赛跑和跳绳竞赛中的一种．已知参与赛跑的有26人，参与跳绳的有38人，两项竞赛都参与的有多少人？【答案】见试题解答内容【分析】依据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参与赛跑的人数+参与跳绳的人数﹣全班人数＝两项竞赛都参与的人数，把数代入计算得：26+38﹣55＝9（人）．【解答】解：26+38﹣55＝64﹣55＝9（人）答：两项竞赛都参与的有9人．【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，关键找对参与竞赛的人和全班人数的关系．37．有甲、乙两堆苹果，甲堆比乙堆少60千克，甲堆苹果卖出25，乙堆苹果卖出4【答案】见试题解答内容【分析】设甲堆有x千克，则乙甲堆有（x+60）千克，然后依据等量关系式：甲堆苹果原来的质量×（1−25）＝乙堆苹果原来的质量×（1【解答】解：设甲堆有x千克，则乙甲堆有（x+60）千克，（1−25）x＝（x+60）×（135x=3635xx＝150150+60＝210（千克）答：原来甲、乙两堆苹果分别有150千克、210千克．【点评】此题考查列方程解应用题，关键是依据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．38．张老师出了两道题，做对第一题的有15人，做对其次题的有24人，两道题都做对的有9人，没有两题都做错的。这个班共有多少人？【答案】30人。【分析】依据题干及题干中的分析，做对第一题的15个人里，有9个人也做对其次题，那么做对其次题的24个人里这9个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对其次题的人数合起来，再减去重复数的这9个人；由此即可解决问题。【解答】解：15+24﹣9＝39﹣9＝30（人）答：这个班一共有30人。故答案为：30人。【点评】此题是一个典型的容斥问题，利用容斥原理解答即可．A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。39．两名小伴侣一共订了几种报刊？【答案】4种。【分析】小强订了3种报刊，小丽订了3种报刊，其中重复了2种报刊，然后依据容斥原理解答即可。【解答】解：3+3﹣2＝4（种）答：两名小伴侣一共订了4种报刊。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B（两种状况）。40．三班级（1）班有45名同学参与团体竞赛，其中参与接力赛的有25人，参与拔河赛的有35人，既参与接力赛又参与拔河赛的有多少人？【答案】15人。【分析】依据容斥原理，参与接力赛的人数+参与拔河赛的人数﹣总人数＝既参与接力赛又参与拔河赛的人数。【解答】解：25+35﹣45＝60﹣45＝15（人）答：既参与接力赛又参与拔河赛的有15人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要娴熟把握。41．101名同学去春游，带矿泉水的有70人，带水果的有50人，每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人？【答案】19人。【分析】依据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。【解答】解：70+50﹣101＝120﹣101＝19（人）答：既带矿泉水又带水果的有19人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。42．四班级128名同学去铁道游击队影视城研学，带矿泉水的有68人，带水果的有88人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？【答案】28人。【分析】依据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。【解答】解：68+88﹣128＝156﹣128＝28（人）答：既带矿泉水又带水果的有28人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。43．三班级有108个小伴侣去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三班级既带矿泉水又带水果的小伴侣有多少人？【答案】47人。【分析】依据题意可知，带矿泉水的人数+带水果的人数﹣去秋游的总人数＝既带矿泉水又带水果的人数，依此列式并计算即可。【解答】解：68+87﹣108＝155﹣108＝47（人）答：三班级既带矿泉水又带水果的小伴侣有47人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种状况）。44．三（1）班订《数学报》的人数有27人，订《语文报》的人数有32人，两份都订的有15人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有多少人？【答案】44人。【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两份都订的人数＝总人数，据此计算即可。【解答】解：27+32﹣15＝59﹣15＝44（人）答：三（1）班共有44人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要娴熟把握。45．学校文艺队有48人，每个同学在唱歌和跳舞方面至少有一项擅长。擅长唱歌的有30人，既擅长唱歌又擅长跳舞的有9人。擅长跳舞的有多少人？【答案】27人。【分析】先用48减去30人求出只擅长跳舞的人数，然后再加上擅长唱歌又擅长跳舞的9人，就是擅长跳舞的有多少人。【解答】解：48﹣30+9＝18+9＝27（人）答：擅长跳舞的有27人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。46．六（5）班有48人，其中58的同学订阅了《英语辅导报》，17【答案】见试题解答内容【分析】把班级总人数看作单位“1”，用订了《英语辅导报》的占总人数的分率加订了《数学报》的占总人数的分率，再减去1，就是两种都订的人数至少占了总人数的几分之几，用48乘上这个分率即得两种报纸都订的有多少人．【解答】解：48×（58＝48×＝16（人）答：两种报纸都订阅的有16人．【点评】本题考查了分数四则复合应用题，已知一个数求它的几分之几是多少，用乘法计算．47．同学们到动物园游玩，参观金丝猴馆的有50人，参观大象馆的有38人，两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人？【答案】68人。【分析】先用50加38求出参观金丝猴馆和参观大象馆的共有的人数，然后去掉重复计算的人数即两个馆都参观的人数，就是去动物园的一共的人数；据此解答即可。【解答】解：50+38﹣20＝88﹣20＝68（人）答：去动物园的一共有68人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种状况）。48．学校的社团活动，三一班每个人都参与了书法或绘画活动。参与书法的有25人，参与绘画的有30人，两种活动都参与的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。【答案】；39人。【分析】先用25减去16求出只参与书法的人数，同理求出只参与绘画的人数，然后填图，再把三部分的人数相加即可。【解答】解：25﹣16＝9（人）30﹣16＝14（人）9+14+16＝39（人）答：三一班有39人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的机敏应用，可借助图形解决问题。49．机床厂上半月完成生产方案的512【答案】见试题解答内容【分析】把方案产量看作单位“1”，结果超过方案的5%，那么实际产量相当于方案产量的（1+5%），已知上半月完成方案的512，下半月生产了228台．由此得：228台占方案产量的（1+5%−【解答】解：228÷（1+5%−5＝228÷＝360（台）答：这个月方案生产360台．【点评】本题考查了分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算．50．杭城某小区共有143户住户，据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸状况如下：订阅《都市快报》的有80户，订阅《钱江晚报》的有75户，两种报纸都订的有25户．依据供应的材料你还能猎取哪些信息？请补上一个问题，并解答．【答案】见试题解答内容【分析】由于两种报纸都订的有25户是重叠部分的户数，所以依据容斥原理求出订阅的户数是：80+75﹣25＝130（户），而杭城某小区共有143户住户，则相差的143﹣130＝13（户）就是没有订报纸的户数，由此得出提出问题并解答即可．【解答】解：可提出问题：没有订报纸的一共有多少户？80+75﹣25＝130（户）143﹣130＝13（户）答：没有订报纸的一共有13户．【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．51．甲，乙、丙三个车间共同完成一批零件的加工任务，甲加工了总数的14多30个，乙加工的零件数比总数的1【答案】见试题解答内容【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”，那么依据已知条件，甲少加工30个，乙多加工15，那么就剩下（30﹣15）个零件，则它对应的分率是（1−1【解答】解：（30﹣15）÷（1−1＝15÷＝300（个）答：这批零件共有300个．【点评】本题考查了比较简单的分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算．