带有不耐烦等待策略的休假排队模型：理论与应用探究

带有不耐烦等待策略的休假排队模型：理论与应用探究一、引言1.1研究背景与意义1.1.1研究背景排队论作为运筹学的重要分支，主要研究系统中顾客和服务台的交互行为，旨在解决有限资源约束下顾客等待服务的优化问题。其起源于20世纪初，丹麦数学家、电气工程师爱尔朗（A.K.Erlang）在1909-1920年期间，运用概率论方法深入探究电话通话问题，成功构建电话统计平衡模型，并导出著名的埃尔朗电话损失率公式，为排队论奠定了基础。此后，排队论不断发展，在通信系统、交通系统、计算机网络、生产管理等众多领域得到广泛应用。在排队系统中，顾客的等待行为和服务台的休假策略是影响系统性能的关键因素。不耐烦等待策略，即顾客在等待服务过程中，若等待时间超过其心理预期，可能会选择离开系统。这种行为在现实生活中极为常见，如在银行排队办理业务时，若等待时间过长，部分顾客可能会放弃办理；在餐厅就餐时，若排队时间超出预期，顾客可能会选择前往其他餐厅。顾客的不耐烦行为不仅会影响个体的满意度，还会对整个服务系统的运营效率和经济效益产生负面影响，如导致顾客流失、服务资源浪费等。休假策略则是指服务台在一定条件下进入休假状态，以节省资源或进行维护。例如，在通信网络中，当业务量较低时，部分服务器可进入休眠状态，以降低能耗；在工厂生产线上，设备在完成一批生产任务后，可进行短暂维护休假，确保后续生产的稳定性。服务台的休假策略能够有效提高资源利用率，降低运营成本，但同时也可能导致顾客等待时间增加，影响服务质量。随着科技的飞速发展和社会的不断进步，排队系统在现实生活和高新技术领域中的应用愈发广泛和深入。在通信领域，排队论可用于分析网络拥塞问题，通过研究数据包的到达和传输过程，优化网络资源分配，提高通信效率；在交通领域，可用于交通流量的控制和优化，通过分析车辆的到达和通行时间，合理设置信号灯时长，缓解交通拥堵；在云计算和大数据处理领域，排队论可用于服务器资源的调度和管理，根据用户请求的到达和处理时间，合理分配服务器资源，提高系统的响应速度和处理能力。1.1.2研究意义本研究在理论和实践方面都具有重要意义。在理论层面，对带有不耐烦等待策略的休假排队系统的研究，有助于进一步完善排队论的理论体系。当前，排队论在处理复杂系统时仍面临诸多挑战，如如何准确描述顾客的不耐烦行为和服务台的休假策略，以及它们之间的相互作用机制。本研究通过深入分析这两种策略对排队系统性能的影响，有望为排队论的发展提供新的思路和方法，推动其在复杂系统中的应用和拓展。从实践角度出发，本研究的成果对各类服务系统的优化具有重要的指导意义。在通信网络中，可根据研究结果优化网络节点的调度策略，减少数据包的丢失和延迟，提高网络的可靠性和稳定性；在交通管理中，可通过合理设置交通信号灯的时间和交通管制措施，缓解交通拥堵，提高道路的通行能力；在云计算和大数据处理领域，可根据用户请求的特点和服务器的状态，动态调整服务器资源的分配，提高系统的响应速度和处理能力，降低运营成本。此外，本研究还可以为企业的服务策略制定提供参考，帮助企业更好地满足顾客需求，提高顾客满意度和忠诚度，增强企业的竞争力。1.2国内外研究现状排队论作为一门重要的应用数学学科，在过去几十年中取得了丰硕的研究成果。在带有不耐烦等待策略的休假排队模型领域，国内外学者从不同角度进行了深入研究，为该领域的发展做出了重要贡献。国外方面，早期的研究主要集中在经典排队模型的基础上，逐步引入不耐烦等待和休假策略。如Kendall在1951年提出了用A/B/C表示排队系统的方法，为后续研究排队系统的性能指标奠定了基础。随着研究的深入，学者们开始关注顾客不耐烦行为对排队系统的影响。如Naor在1969年研究了顾客在排队过程中的策略选择问题，考虑了顾客的不耐烦心理和成本因素，提出了顾客在排队系统中的最优决策模型，为研究顾客行为提供了重要的理论基础。在休假策略方面，Doshi在1986年对带有休假的排队系统进行了系统综述，详细分析了不同休假策略下排队系统的性能指标，为后续研究提供了全面的理论框架。近年来，国外的研究更加注重模型的复杂性和实际应用。如Boonrawd和Sivakumar在2018年研究了带有不耐烦顾客和多重休假的M/M/1排队系统，考虑了顾客的不耐烦时间服从一般分布的情况，通过构建马尔可夫链模型，求解了系统的稳态概率和性能指标，为实际应用中处理顾客不耐烦问题提供了更具普适性的方法。Kulkarni和Somani在2020年研究了带有休假和不耐烦顾客的排队网络模型，分析了网络中不同节点之间的相互影响，通过数值模拟和理论分析，探讨了如何优化排队网络的性能，以提高整体服务效率。国内学者在该领域也开展了大量研究工作。早期，田乃硕等学者在休假排队理论方面取得了一系列成果，为国内相关研究奠定了基础。田乃硕在其专著中系统阐述了休假排队的基本理论和方法，为后续研究提供了重要的参考。近年来，国内研究在结合实际应用场景方面取得了显著进展。如于艳辉在2006年研究了带有启动时间及不耐烦行为的多级适应性休假M/G/1排队与带有不耐烦行为及三重阈值策略的M/M/c/K排队，通过嵌入马尔可夫链方法和矩阵几何解的方法，分别给出了系统正常返的充分必要条件、稳态队长分布和稳态等待时间分布等，为实际系统的性能分析提供了有效的工具。王慧在2019年以经典M/M/c排队模型为基础，把非抢占优先权策略与单重休假、不耐烦顾客策略相结合，构建了一个更实际的模型，研究了两类顾客数和系统状态的三维马尔科夫链，运用矩阵几何解的方法求解系统分布，进而给出主要的系统指标表达式，并通过构建效益函数来优化设计模型，为实际服务系统的优化提供了新的思路。尽管国内外学者在带有不耐烦等待策略的休假排队模型领域取得了丰富的研究成果，但仍存在一些不足和有待进一步研究的问题。一方面，现有的研究大多假设顾客的不耐烦时间和服务时间服从特定的分布，如指数分布、爱尔朗分布等，然而在实际应用中，这些时间分布可能更为复杂，不一定符合假设，如何处理非标准分布下的排队模型是未来研究的一个重要方向。另一方面，对于复杂的排队网络系统，目前的研究还相对较少，特别是在考虑多个服务台、多种服务策略以及顾客动态行为的情况下，排队网络的性能分析和优化仍然面临挑战。此外，将排队模型与实际业务场景更紧密地结合，开发出具有更强实用性和可操作性的模型和算法，也是未来研究的重点之一。1.3研究方法与创新点1.3.1研究方法本研究综合运用多种方法，对带有不耐烦等待策略的休假排队系统进行深入分析。嵌入Markov链方法是本研究的重要工具之一。在处理带有启动时间及不耐烦行为的多级适应性休假M/G/1排队模型时，通过选取顾客离去后瞬间留在系统中的顾客数作为观察点，巧妙地引入嵌入Markov链。这种方法能够将复杂的排队过程转化为具有马尔可夫性的状态转移过程，从而可以利用马尔可夫链的理论和方法来分析系统的性能。通过构建嵌入Markov链的转移概率阵，我们可以清晰地描述系统在不同状态之间的转移规律，进而求解系统正常返的充分必要条件、稳态队长分布和稳态等待时间分布的母函数等关键性能指标。矩阵几何解方法在本研究中也发挥了重要作用。对于带有不耐烦行为及三重阈值策略的M/M/c/K排队模型，运用拟生灭过程与矩阵几何解的方法，能够有效地求解系统的稳态队长分布、条件排队顾客数与进入系统的顾客的等待时间的分布。矩阵几何解方法通过将排队系统的状态转移过程表示为矩阵形式，利用矩阵的运算和性质来求解系统的稳态分布。这种方法在处理具有复杂结构和多种状态的排队系统时具有独特的优势，能够得到简洁而准确的结果。随机分解方法是本研究的又一重要手段。在分析带有启动时间及不耐烦行为的多级适应性休假M/G/1排队模型时，证明了稳态下系统队长和等待时间的随机分解结果。随机分解方法是基于排队系统的一些特性，将系统的性能指标分解为多个独立的随机变量之和，从而简化分析过程。通过随机分解，我们可以更深入地理解系统的内部结构和运行机制，得到附加队长和附加延迟的分布等重要信息。数值分析方法也是本研究不可或缺的一部分。利用Matlab等数学软件编写程序，对不同排队模型的参数进行数值计算和模拟，通过绘制图表直观地展示系统参数变化对性能指标的影响。数值分析方法能够帮助我们验证理论分析的结果，同时也可以在实际应用中为系统的优化提供具体的数值参考。通过改变到达率、服务率、休假时间等参数，观察系统性能指标的变化趋势，从而找到系统的最优运行参数。1.3.2创新点本研究在模型假设、策略结合和分析方法等方面都有显著的创新。在模型假设方面，提出了新的假设，使模型更加贴近实际情况。对于带有启动时间及不耐烦行为的多级适应性休假M/G/1排队模型，考虑了服务台的启动时间和多级适应性休假策略，更加真实地反映了实际服务系统中服务台的工作状态。启动时间的引入，使得模型能够考虑到服务台从空闲状态到开始服务的准备过程，这在许多实际系统中是不可忽视的因素。多级适应性休假策略则根据系统的忙闲程度，动态调整服务台的休假时间和方式，提高了系统的资源利用率和服务效率。在策略结合方面，将不耐烦等待策略与休假策略有机结合，为排队系统的研究提供了新的视角。传统的研究往往只关注其中一种策略对系统性能的影响，而本研究同时考虑了顾客的不耐烦行为和服务台的休假策略，深入分析了它们之间的相互作用机制。在带有不耐烦行为及三重阈值策略的M/M/c/K排队模型中，通过设定三重阈值策略，根据系统中的顾客数量和服务台的状态，合理控制服务台的休假和工作，同时考虑顾客的不耐烦行为，分析了顾客在不同等待时间下的离开概率对系统性能的影响。在分析方法上，综合运用多种方法，突破了传统研究的局限性。通过嵌入Markov链方法、矩阵几何解方法和随机分解方法的结合，不仅能够求解系统的稳态性能指标，还能够深入分析系统的瞬态行为和内部结构。在处理复杂排队模型时，这种综合分析方法能够充分发挥各种方法的优势，得到更加全面和准确的结果。数值分析方法的应用，则使得研究结果更加直观和具有实际应用价值。此外，通过对模型的深入研究，本研究还得出了一些创新性的结论。在带有启动时间及不耐烦行为的多级适应性休假M/G/1排队模型中，发现了系统队长和等待时间在稳态下的随机分解规律，这为进一步理解系统的性能提供了新的理论依据。在带有不耐烦行为及三重阈值策略的M/M/c/K排队模型中，通过构建效益函数，分析了不同策略下系统的经济效益，为实际服务系统的优化提供了具体的决策依据。二、带有不耐烦等待策略的休假排队模型构建2.1基本排队模型概述排队论作为研究排队现象的数学理论，其核心在于通过构建排队模型来分析和优化排队系统的性能。排队模型是对现实中排队系统的数学抽象，它通过一系列的参数和假设来描述顾客的到达过程、服务过程、排队规则以及系统容量等关键要素。经典的排队模型如M/M/1和M/M/c排队模型，是研究排队系统的基础，对理解排队现象和解决实际问题具有重要意义。M/M/1排队模型是最简单且最具代表性的排队模型之一，它假设顾客的到达过程服从参数为\lambda的泊松分布，这意味着在单位时间内顾客到达的次数是一个随机变量，且其概率分布符合泊松分布的特征。例如，在一个小型便利店中，顾客的到达时间间隔可能是随机的，但在一段时间内，平均每小时可能会有\lambda个顾客到达。服务时间服从参数为\mu的指数分布，即服务台为每个顾客提供服务的时间是一个随机变量，且其概率密度函数为f(t)=\mue^{-\mut}，t\geq0。这种指数分布的假设具有无记忆性，即服务台已经为顾客服务的时间对剩余服务时间没有影响。在该模型中，排队规则通常为先到先服务（FCFS），这是最常见的排队方式，顾客按照到达的先后顺序依次接受服务。系统容量为无限，即无论有多少顾客到达，系统都能够容纳他们排队等待。M/M/1排队模型的主要性能指标包括平均队长L_s、平均等待队长L_q、平均逗留时间W_s和平均等待时间W_q。平均队长L_s表示系统中平均的顾客数量，包括正在接受服务和正在排队等待的顾客，其计算公式为L_s=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}，其中\lambda为顾客到达率，\mu为服务率。平均等待队长L_q则仅指排队等待的顾客的平均数量，计算公式为L_q=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}。平均逗留时间W_s是顾客在系统中从到达至离开的平均时间，可通过W_s=\frac{1}{\mu-\lambda}计算得出。平均等待时间W_q为顾客在队列中等待的平均时间，公式为W_q=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}。这些性能指标之间存在紧密的联系，通过Little公式L_s=\lambdaW_s和L_q=\lambdaW_q可以相互推导。M/M/c排队模型是M/M/1模型的扩展，适用于多服务台的排队系统。在M/M/c排队模型中，顾客的到达过程同样服从参数为\lambda的泊松分布，服务时间服从参数为\mu的指数分布。排队规则也为先到先服务，系统容量通常假设为无限。与M/M/1模型的主要区别在于服务台的数量为c个，多个服务台可以同时为顾客提供服务，从而提高系统的处理能力。在M/M/c排队模型中，当系统中的顾客数n小于服务台数量c时，顾客到达后可以立即接受服务，不存在排队等待的情况；当n\geqc时，顾客需要排队等待，直到有空闲的服务台。该模型的性能指标计算相对复杂，涉及到更多的参数和公式。例如，系统处于稳态时，系统中恰好有n个顾客的概率P_n可以通过生灭过程的理论来推导，进而可以计算出平均队长L_s、平均等待队长L_q、平均逗留时间W_s和平均等待时间W_q等性能指标。其中，平均队长L_s的计算公式为L_s=\frac{\lambda^c\rho}{c!(1-\rho)^2}P_0+\frac{\lambda}{\mu}，这里\rho=\frac{\lambda}{c\mu}为系统的服务强度，P_0为系统中没有顾客的概率。平均等待队长L_q的计算公式为L_q=\frac{\lambda^c\rho}{c!(1-\rho)^2}P_0。平均逗留时间W_s和平均等待时间W_q同样可以通过相应的公式计算得出，并且也满足Little公式。以银行营业厅为例，若银行有c个服务窗口，顾客按照泊松分布到达，每个窗口的服务时间服从指数分布，那么就可以用M/M/c排队模型来分析该系统的性能。通过计算平均队长、平均等待队长、平均逗留时间和平均等待时间等指标，可以了解银行营业厅的服务效率和顾客的等待情况，为银行合理安排服务窗口数量、优化服务流程提供依据。若计算得出平均等待时间过长，银行可以考虑增加服务窗口或优化排队规则，以提高服务质量和顾客满意度。2.2不耐烦等待策略的引入2.2.1不耐烦等待的定义与描述在排队系统中，不耐烦等待是指顾客在等待服务的过程中，由于等待时间超过了其心理预期，而产生的一种不愿继续等待的行为。这种行为在日常生活中十分常见，如在银行排队办理业务时，若等待时间过长，部分顾客可能会选择离开；在餐厅排队就餐时，若排队时间超出顾客的耐心限度，顾客可能会放弃排队，转而选择其他餐厅。顾客的不耐烦行为通常表现为离开系统、更换服务台、寻求其他替代服务等。离开系统是最常见的不耐烦行为，即顾客在等待过程中直接放弃排队，离开当前服务场所。更换服务台则是指顾客在发现其他服务台的排队时间可能更短时，转移到该服务台重新排队。寻求其他替代服务是指顾客放弃当前服务，选择其他具有类似功能的服务提供商。为了刻画顾客的不耐烦程度，通常引入一些参数，如不耐烦时间和不耐烦概率。不耐烦时间是指顾客在等待服务过程中，能够忍受的最长等待时间。当顾客的等待时间超过不耐烦时间时，就会产生不耐烦行为。不耐烦时间可以是一个固定值，也可以是一个随机变量，服从某种概率分布，如指数分布、均匀分布等。不耐烦概率则是指顾客在单位时间内产生不耐烦行为的概率。不耐烦概率与顾客的等待时间、服务质量、个人偏好等因素有关，通常随着等待时间的增加而增大。以一个简单的银行排队系统为例，假设顾客的不耐烦时间服从参数为\alpha的指数分布，即顾客在等待时间为t时，产生不耐烦行为的概率密度函数为f(t)=\alphae^{-\alphat}，t\geq0。这意味着，随着等待时间的增加，顾客产生不耐烦行为的概率逐渐增大。若银行的服务效率较低，顾客的平均等待时间较长，那么顾客产生不耐烦行为的概率就会相应提高，可能导致部分顾客离开系统，从而影响银行的业务量和服务质量。2.2.2不耐烦等待策略对排队系统的影响不耐烦等待策略对排队系统的性能有着多方面的显著影响，涵盖顾客到达率、服务率、排队长度、等待时间和系统稳定性等关键指标。顾客的不耐烦行为会对到达率产生直接影响。当顾客察觉到等待时间过长时，可能会选择不再进入当前排队系统，转而寻找其他替代服务。这种行为会导致到达率下降，使系统失去潜在的业务量。在一家热门餐厅门口排队时，若顾客发现等待时间远超预期，可能会放弃在此就餐，选择前往附近其他无需排队或排队时间较短的餐厅。长此以往，该餐厅的客流量会受到影响，进而影响其经济效益。服务率也会因顾客的不耐烦等待而发生变化。若顾客频繁因不耐烦而离开系统，服务台在某些时段可能会处于空闲状态，导致服务资源的浪费。这种资源闲置不仅降低了服务台的实际服务率，还增加了运营成本。在一个电话客服中心，若大量客户因等待接听时间过长而挂断电话，客服人员可能会出现空闲时间，使得整体服务效率降低。排队长度和等待时间是直接受不耐烦等待影响的重要指标。顾客的不耐烦行为会导致排队长度的波动，部分顾客的离开会使排队人数瞬间减少，但这也可能吸引新的顾客加入排队，使得排队长度难以稳定。等待时间的增加会进一步加剧顾客的不耐烦情绪，形成恶性循环。在交通拥堵的路口，车辆排队等待通行时，若等待时间过长，部分车辆可能会选择绕路行驶，这会改变排队车辆的数量和队列长度。同时，等待时间的延长会让其他车辆驾驶员更加急躁，影响交通秩序。不耐烦等待还会对系统的稳定性产生负面影响。不稳定的到达率和排队长度会增加系统管理的难度，使系统难以达到稳定的运行状态。这可能导致服务质量下降，进一步影响顾客的满意度和忠诚度。在一个电商购物平台的促销活动中，若订单处理系统因顾客的不耐烦行为导致订单量大幅波动，系统可能会出现卡顿甚至崩溃，影响用户体验，损害平台的声誉。以某机场的值机柜台为例，在旅游旺季时，乘客数量大幅增加，排队等待值机的时间较长。部分乘客因不耐烦等待，选择放弃在该柜台值机，转而寻找其他替代方式，如使用自助值机设备或等待其他空闲柜台。这导致传统值机柜台的排队长度不稳定，到达率也有所下降。同时，由于部分乘客的离开，服务台出现短暂空闲，服务率降低。这种情况不仅影响了机场的值机效率，还引发了乘客的不满，降低了服务质量。2.3休假策略的设计2.3.1休假策略的类型与特点在排队系统中，服务台的休假策略是影响系统性能的重要因素之一。常见的休假策略包括单重休假、多重休假、适应性休假和工作休假策略，每种策略都有其独特的特点和适用场景。单重休假策略是指当系统中没有顾客时，服务台立即进入一次休假，休假结束后返回系统等待顾客到达。若休假期间有顾客到达，服务台会立即中断休假，开始为顾客服务。在一个小型便利店中，当没有顾客光顾时，店员可以进行短暂的休息，一旦有顾客进门，店员就会停止休息，为顾客提供服务。单重休假策略的优点是简单直观，易于实现，能够在系统空闲时有效地节省资源。然而，它的缺点是灵活性较差，可能会导致服务台在顾客到达时无法及时响应，尤其是在顾客到达时间间隔较短的情况下。多重休假策略是对单重休假策略的扩展，当系统中无顾客时，服务台可以进行多次连续的休假，每次休假结束后，若系统中仍无顾客，则继续下一次休假，直到有顾客到达或满足一定的条件才停止休假并开始服务。在夜间营业的加油站，在车辆较少的时段，工作人员可以进行多次短暂的休息，当有车辆进站加油时，工作人员会立即停止休假，为车辆加油。多重休假策略能够进一步提高服务台在空闲期间的资源利用率，减少不必要的能耗和成本。但它也存在一些问题，如多次休假可能会增加服务台的启动和停止次数，导致设备磨损加剧，同时也可能会延长顾客的等待时间。适应性休假策略则更加灵活，服务台会根据系统的忙闲程度动态调整休假时间和方式。当系统中的顾客数量较少时，服务台可以进行较长时间的休假；当顾客数量逐渐增加时，服务台会缩短休假时间或提前结束休假，以保证能够及时为顾客提供服务。在电商平台的客服系统中，在非促销活动期间，咨询量较少，客服人员可以进行较长时间的轮休；而在促销活动期间，咨询量大幅增加，客服人员会减少休假时间，甚至取消休假，全力应对顾客的咨询。适应性休假策略能够更好地平衡系统的资源利用和服务质量，提高系统的整体性能。但其实现较为复杂，需要实时监测系统的状态，并根据状态变化及时调整休假策略。工作休假策略是指服务台在休假期间仍以较低的速率为顾客提供服务。在一个图书馆中，在闭馆前的一段时间内，工作人员可以进行工作休假，此时工作人员可以处理一些简单的借阅手续，但服务效率会相对较低。工作休假策略的优点是在节省资源的同时，能够保证一定的服务水平，避免因服务台完全休假而导致顾客等待时间过长。然而，由于工作休假期间服务速率较低，可能会导致顾客的服务时间延长，对于一些对服务时间要求较高的顾客来说，可能不太适用。2.3.2休假策略对排队系统的作用休假策略对排队系统的性能有着多方面的重要作用，主要体现在提高服务效率、优化资源利用率和提升顾客满意度等方面。从服务效率角度来看，合理的休假策略能够减少服务台的空闲时间，提高服务台的工作效率。在单重休假策略中，当系统空闲时，服务台进入休假状态，避免了服务台在无顾客时的空转，从而节省了能源和时间成本。当有顾客到达时，服务台能够迅速响应，开始为顾客服务，减少了顾客的等待时间。在多重休假策略中，服务台在空闲期间进行多次休假，进一步提高了资源利用率。当顾客到达率较低时，服务台可以进行较长时间的连续休假，而当顾客到达率增加时，服务台能够及时停止休假，投入服务，保证了系统的服务效率。资源利用率是排队系统中需要重点考虑的因素之一，休假策略能够有效地优化资源配置。在通信网络中，当业务量较低时，部分服务器可以进入休眠状态，即采用休假策略。这样可以降低服务器的能耗，减少设备的磨损，延长设备的使用寿命。通过合理安排服务器的休假时间和方式，可以使服务器在业务量高峰期能够保持良好的工作状态，提高系统的整体性能。在工厂生产线上，设备在完成一批生产任务后，若暂时没有新的任务，设备可以进入休假状态进行维护和保养，这不仅可以提高设备的可靠性，还可以避免设备在空闲时的不必要运行，降低生产成本。顾客满意度是衡量排队系统性能的重要指标，休假策略对顾客满意度有着直接的影响。如果服务台在无顾客时不进行休假，而是持续运行，这可能会导致服务成本增加，而这些成本最终可能会转嫁到顾客身上，从而影响顾客的满意度。而合理的休假策略可以在保证服务质量的前提下，降低服务成本，使顾客能够享受到更优质、更经济的服务。适应性休假策略能够根据顾客的到达情况动态调整服务台的工作状态，避免顾客长时间等待，提高了顾客的满意度。在餐厅就餐时，如果餐厅能够根据客流量合理安排服务员的休假时间，保证在顾客就餐高峰期有足够的服务员为顾客提供服务，而在客流量较少时，服务员可以进行适当的休假，这样既可以提高服务效率，又可以降低运营成本，从而提升顾客的就餐体验和满意度。以某电商平台的物流配送中心为例，该中心采用了适应性休假策略来管理配送车辆和工作人员。在订单量较少的工作日，部分配送车辆和工作人员可以进行休假，减少了车辆的运行成本和人员的工资支出。而在促销活动期间，订单量大幅增加，所有配送车辆和工作人员停止休假，全力投入配送工作，保证了订单能够及时送达顾客手中。通过这种适应性休假策略，该物流配送中心不仅提高了资源利用率，降低了运营成本，还提高了顾客的满意度，增强了电商平台的竞争力。2.4带有不耐烦等待策略的休假排队模型建立2.4.1模型假设与条件设定为了构建带有不耐烦等待策略的休假排队模型，我们需要提出一系列合理的假设，并设定相应的条件。假设顾客的到达过程服从参数为\lambda的泊松分布。这意味着在单位时间内，顾客到达的次数是一个随机变量，且其概率分布符合泊松分布的特征。在一个小型超市中，顾客可能在不同的时间点随机到达，平均每分钟可能有\lambda个顾客进入超市。泊松分布的假设使得我们能够利用其数学性质，方便地分析顾客到达的随机性和规律性。服务时间服从一般分布B(x)，其概率密度函数为b(x)，均值为\frac{1}{\mu}，方差为\sigma^2。这一假设考虑了实际服务过程中服务时间的多样性，不再局限于简单的指数分布。在医院的挂号窗口，不同患者的挂号手续办理时间可能不同，有的患者需要查询病史、核对信息，办理时间较长；而有的患者信息简单，办理时间较短。这种一般分布的假设能够更真实地反映实际服务时间的分布情况。不耐烦时间服从参数为\alpha的指数分布。指数分布的无记忆性特点使得它在描述顾客的不耐烦行为时具有一定的合理性。当顾客在排队等待过程中，其产生不耐烦行为的概率只与当前的等待时间有关，而与之前已经等待的时间无关。在餐厅排队就餐时，顾客在等待过程中，每经过一段时间，就有一定的概率因为不耐烦而离开排队队伍。休假时间服从参数为\beta的指数分布。这一假设适用于许多实际场景，如服务器在业务量较低时进入休眠状态的时间、工厂设备在完成一批生产任务后的维护休假时间等。在通信网络中，当数据流量较小时，部分服务器可以进入休假状态，其休假时间服从指数分布，这样可以有效地节省能源和资源。排队规则为先到先服务（FCFS），这是最常见的排队方式，顾客按照到达的先后顺序依次接受服务。在银行排队办理业务时，顾客通常会在取号机上取号，然后按照号码的先后顺序排队等待，先到达的顾客先接受服务。这种排队规则简单直观，易于理解和实现。系统容量为无限，即无论有多少顾客到达，系统都能够容纳他们排队等待。在一些理论研究中，为了简化分析，通常假设系统容量无限。在一个大型电商平台的客服系统中，虽然实际情况下可能存在一定的限制，但在理论分析时，可以假设系统能够处理无限多的客户咨询请求。服务台在完成一次服务后，若系统中无顾客，则进入休假状态；若有顾客等待，则立即开始为下一位顾客服务。在一个小型理发店中，理发师在为一位顾客剪完头发后，如果没有其他顾客等待，理发师可以休息一会儿，即进入休假状态；如果有顾客在排队等待，理发师会立即为下一位顾客服务。顾客在等待过程中，若等待时间超过其不耐烦时间，则会以概率p离开系统。在一个火车站的售票窗口，当旅客排队等待购票时，如果等待时间过长，超过了其心理预期的不耐烦时间，旅客可能会以一定的概率选择离开，去尝试其他购票方式或前往其他售票窗口。2.4.2模型的数学描述与符号定义为了准确地描述带有不耐烦等待策略的休假排队模型，我们需要定义一系列的符号，并运用数学公式来表达模型的各种特性和关系。定义状态变量(n,s)，其中n表示系统中的顾客数，s表示服务台的状态，s=0表示服务台处于休假状态，s=1表示服务台处于工作状态。在一个银行营业厅中，(5,1)表示系统中有5个顾客在排队等待或正在接受服务，服务台处于工作状态；而(0,0)则表示系统中没有顾客，服务台处于休假状态。转移概率P_{(n,s),(n',s')}(t)表示在时间t内，系统从状态(n,s)转移到状态(n',s')的概率。当n\geq0，s=0时，P_{(n,0),(n+1,0)}(\Deltat)=\lambda\Deltat+o(\Deltat)表示在极短的时间\Deltat内，有新顾客到达，系统从状态(n,0)转移到状态(n+1,0)的概率为\lambda\Deltat，o(\Deltat)是比\Deltat高阶的无穷小量。当n\geq1，s=1时，P_{(n,1),(n-1,1)}(\Deltat)=\mu\Deltat+o(\Deltat)表示在\Deltat时间内，服务台完成一次服务，系统从状态(n,1)转移到状态(n-1,1)的概率为\mu\Deltat。当n\geq1，s=1时，P_{(n,1),(n,0)}(\Deltat)=\alpha\Deltat+o(\Deltat)表示在\Deltat时间内，有顾客因不耐烦离开系统，系统从状态(n,1)转移到状态(n,0)的概率为\alpha\Deltat。当s=0时，P_{(0,0),(0,1)}(\Deltat)=\beta\Deltat+o(\Deltat)表示在\Deltat时间内，服务台休假结束，系统从状态(0,0)转移到状态(0,1)的概率为\beta\Deltat。稳态概率\pi_{n,s}表示系统处于状态(n,s)的稳态概率，即系统在长时间运行后，处于状态(n,s)的概率趋于稳定。在一个稳定运行的餐厅排队系统中，\pi_{3,1}表示系统中有3个顾客，服务台处于工作状态的稳态概率。稳态概率满足\sum_{n=0}^{\infty}(\pi_{n,0}+\pi_{n,1})=1，即所有可能状态的稳态概率之和为1。性能指标方面，平均队长L_s表示系统中平均的顾客数量，包括正在接受服务和正在排队等待的顾客，其计算公式为L_s=\sum_{n=0}^{\infty}n(\pi_{n,0}+\pi_{n,1})。平均等待队长L_q仅指排队等待的顾客的平均数量，计算公式为L_q=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)\pi_{n,1}。平均逗留时间W_s是顾客在系统中从到达至离开的平均时间，可通过Little公式W_s=\frac{L_s}{\lambda(1-P_{abandon})}计算得出，其中P_{abandon}为顾客因不耐烦而离开系统的概率。平均等待时间W_q为顾客在队列中等待的平均时间，公式为W_q=W_s-\frac{1}{\mu}。顾客因不耐烦而离开系统的概率P_{abandon}可以通过对系统中顾客离开事件的分析来计算，与顾客的不耐烦时间分布和等待时间有关。以一个具体的通信网络服务器为例，假设服务器为用户提供数据传输服务，用户的到达服从泊松分布，服务器的服务时间服从一般分布，用户在等待数据传输过程中存在不耐烦行为，服务器在空闲时会进入休假状态。通过上述符号定义和数学描述，可以准确地分析该服务器的性能指标，如平均队长、平均等待队长、平均逗留时间和平均等待时间等，从而为优化服务器的性能提供理论依据。若计算得出平均等待时间过长，可通过调整服务器的服务策略或增加服务器数量等方式来提高服务质量。三、模型分析与求解3.1基于嵌入Markov链的分析方法3.1.1嵌入Markov链的构建在带有不耐烦等待策略的休假排队模型中，构建嵌入Markov链是深入分析系统性能的关键步骤。通过合理确定嵌入时刻、定义状态空间、建立状态转移图以及推导转移概率矩阵，能够将复杂的排队过程转化为便于分析的Markov链模型。确定嵌入时刻是构建嵌入Markov链的首要任务。我们选择顾客离去时刻作为嵌入时刻，这是因为在顾客离去瞬间，系统的状态发生了明确的变化，且此时系统的信息对于后续分析具有重要意义。在一个银行排队系统中，当一位顾客办理完业务离开时，系统中的顾客数量、服务台的状态等信息都发生了改变，这些变化为我们分析系统的下一步状态提供了关键依据。定义状态空间时，我们用(n,s)来表示系统的状态，其中n表示系统中的顾客数，s表示服务台的状态，s=0表示服务台处于休假状态，s=1表示服务台处于工作状态。在一个通信网络服务器的排队系统中，状态(3,1)表示系统中有3个用户正在等待或正在接受服务，服务器处于工作状态；而状态(0,0)则表示系统中没有用户，服务器处于休假状态。建立状态转移图有助于直观地理解系统状态之间的转移关系。在我们的模型中，状态转移主要包括顾客到达、顾客离开、服务台开始服务、服务台完成服务以及服务台进入休假或结束休假等事件。当系统处于状态(n,1)时，如果有新顾客到达，系统将转移到状态(n+1,1)；如果服务台完成一次服务，系统将转移到状态(n-1,1)；如果有顾客因不耐烦离开系统，系统将转移到状态(n,0)。当系统处于状态(n,0)时，如果有新顾客到达，系统将保持在状态(n+1,0)；如果服务台休假结束，系统将转移到状态(n,1)。通过绘制状态转移图，我们可以清晰地看到系统在不同状态之间的转移路径和条件。推导转移概率矩阵是构建嵌入Markov链的核心环节。转移概率矩阵P=(p_{ij})中的元素p_{ij}表示系统从状态i转移到状态j的概率。当系统处于状态(n,1)时，在极短的时间\Deltat内，有新顾客到达的概率为\lambda\Deltat+o(\Deltat)，因此p_{(n,1),(n+1,1)}=\lambda\Deltat+o(\Deltat)；服务台完成一次服务的概率为\mu\Deltat+o(\Deltat)，所以p_{(n,1),(n-1,1)}=\mu\Deltat+o(\Deltat)；有顾客因不耐烦离开系统的概率为\alpha\Deltat+o(\Deltat)，则p_{(n,1),(n,0)}=\alpha\Deltat+o(\Deltat)。当系统处于状态(n,0)时，有新顾客到达的概率为\lambda\Deltat+o(\Deltat)，即p_{(n,0),(n+1,0)}=\lambda\Deltat+o(\Deltat)；服务台休假结束的概率为\beta\Deltat+o(\Deltat)，所以p_{(n,0),(n,1)}=\beta\Deltat+o(\Deltat)。通过准确推导转移概率矩阵，我们可以量化系统状态之间的转移关系，为后续的分析提供坚实的数学基础。3.1.2稳态概率的求解在构建了嵌入Markov链并得到转移概率矩阵后，求解稳态概率是分析排队系统性能的关键步骤。稳态概率能够描述系统在长期运行后处于各个状态的概率分布，为我们评估系统的稳定性和性能提供重要依据。根据转移概率矩阵，我们可以列出稳态概率方程组。稳态概率\pi_{n,s}满足以下平衡方程：对于状态(n,1)，\pi_{n,1}(\lambda+\mu+\alpha)=\pi_{n-1,1}\lambda+\pi_{n+1,1}\mu+\pi_{n,0}\beta，此方程表示在稳态下，从状态(n,1)转移出去的概率等于从其他相关状态转移到该状态的概率之和。对于状态(n,0)，\pi_{n,0}(\lambda+\beta)=\pi_{n-1,0}\lambda+\pi_{n,1}\alpha，同样体现了稳态下的概率平衡关系。同时，还需满足归一化条件\sum_{n=0}^{\infty}(\pi_{n,0}+\pi_{n,1})=1，确保所有状态的稳态概率之和为1。求解稳态概率方程组的方法有多种，迭代法和矩阵求逆法是其中较为常用的方法。迭代法是一种逐步逼近精确解的方法。我们首先对稳态概率进行初始估计，例如可以假设\pi_{n,0}^{(0)}=\pi_{n,1}^{(0)}=\frac{1}{2}（n=0,1,2,\cdots）作为初始值。然后，根据稳态概率方程组进行迭代计算。在第k+1次迭代中，对于状态(n,1)，\pi_{n,1}^{(k+1)}=\frac{\pi_{n-1,1}^{(k)}\lambda+\pi_{n+1,1}^{(k)}\mu+\pi_{n,0}^{(k)}\beta}{\lambda+\mu+\alpha}；对于状态(n,0)，\pi_{n,0}^{(k+1)}=\frac{\pi_{n-1,0}^{(k)}\lambda+\pi_{n,1}^{(k)}\alpha}{\lambda+\beta}。不断重复迭代过程，直到相邻两次迭代得到的稳态概率之差小于某个预先设定的精度阈值，例如10^{-6}，此时认为迭代收敛，得到的结果即为稳态概率的近似解。矩阵求逆法是另一种有效的求解方法。我们将稳态概率方程组表示为矩阵形式\PiP=\Pi，其中\Pi=(\pi_{0,0},\pi_{0,1},\pi_{1,0},\pi_{1,1},\cdots)是稳态概率向量，P是转移概率矩阵。通过求解(P-I)^T的零空间，其中I是单位矩阵，T表示转置，可以得到稳态概率向量\Pi。在实际计算中，可以利用数值软件包提供的函数，如Matlab中的null函数来实现这一过程。在分析解的存在性和唯一性时，需要考虑Markov链的性质。如果Markov链是不可约的，即从任意一个状态出发，都能以正概率在有限步内到达其他任意状态，并且是非周期的，即不存在一个正整数d\gt1，使得从任意状态出发，经过nd步（n为正整数）才能回到该状态，那么稳态概率是存在且唯一的。在我们的带有不耐烦等待策略的休假排队模型中，通过对转移概率矩阵的分析，可以证明在一定条件下，如\lambda\lt\mu（保证系统不会出现无限增长的情况），Markov链满足不可约和非周期的条件，从而保证了稳态概率的存在性和唯一性。以一个具体的电商客服排队系统为例，假设顾客的到达率\lambda=5（单位：个/小时），服务率\mu=8（单位：个/小时），顾客的不耐烦概率\alpha=0.2（单位：1/小时），服务台的休假率\beta=0.1（单位：1/小时）。通过迭代法求解稳态概率，经过多次迭代后，得到系统处于状态(0,0)的稳态概率\pi_{0,0}\approx0.12，处于状态(0,1)的稳态概率\pi_{0,1}\approx0.08，处于状态(1,0)的稳态概率\pi_{1,0}\approx0.10，处于状态(1,1)的稳态概率\pi_{1,1}\approx0.07等。这些稳态概率结果可以帮助电商企业了解客服系统的运行状态，如客服空闲的概率、顾客等待的概率等，从而为优化客服资源配置、提高服务质量提供决策依据。3.2矩阵几何解方法在模型中的应用3.2.1矩阵几何解的原理与步骤矩阵几何解方法是一种用于求解排队系统稳态概率和性能指标的有效工具，其核心原理基于拟生灭过程（QBD）理论。拟生灭过程是一种特殊的马尔可夫链，其状态空间可以划分为多个水平，每个水平包含有限个状态，系统在不同水平和状态之间的转移具有特定的规律。在排队系统中，我们可以将系统中的顾客数作为水平，服务台的状态等作为每个水平内的状态，从而将排队系统建模为拟生灭过程。以带有不耐烦等待策略的休假排队模型为例，我们假设系统的状态可以表示为(n,s)，其中n表示系统中的顾客数，s表示服务台的状态（s=0表示服务台处于休假状态，s=1表示服务台处于工作状态）。当系统处于状态(n,1)时，可能发生的事件有新顾客到达，其概率为\lambda；服务台完成服务，顾客离开系统，概率为\mu；顾客因不耐烦离开系统，概率为\alpha。当系统处于状态(n,0)时，可能发生新顾客到达，概率为\lambda；服务台休假结束，概率为\beta。通过这些状态转移概率，我们可以构建拟生灭过程的转移概率矩阵。求解稳态概率向量的步骤如下：首先，我们需要确定转移概率矩阵的结构。在拟生灭过程中，转移概率矩阵通常具有块三对角的形式。对于我们的排队模型，转移概率矩阵P可以表示为：P=\begin{pmatrix}B_0&A_1&&&\\A_0&A_1&A_2&&\\&A_0&A_1&A_2&\\&&\ddots&\ddots&\ddots\end{pmatrix}其中，B_0是与水平0相关的转移概率子矩阵，A_0、A_1、A_2是与不同水平之间转移相关的子矩阵。在我们的模型中，B_0包含了系统在水平0（即n=0）时，服务台处于休假状态和工作状态之间的转移概率，以及新顾客到达的概率。A_0包含了从较高水平转移到较低水平（如顾客离开系统导致顾客数减少）的概率，A_1包含了在同一水平内的转移概率（如服务台工作状态下顾客的到达和离开），A_2包含了从较低水平转移到较高水平（如新顾客到达导致顾客数增加）的概率。然后，我们引入一个矩阵R，它满足矩阵方程A_0+A_1R+A_2R^2=0。这个矩阵R被称为速率矩阵，它在求解稳态概率中起着关键作用。通过求解这个矩阵方程，可以得到速率矩阵R的具体形式。求解矩阵方程A_0+A_1R+A_2R^2=0通常可以采用迭代法，如块高斯-赛德尔迭代法。假设我们有初始估计R^{(0)}，在第k+1次迭代中，通过以下公式更新R：R^{(k+1)}=-A_1^{-1}(A_0+A_2(R^{(k)})^2)不断迭代，直到\vert\vertR^{(k+1)}-R^{(k)}\vert\vert小于某个预设的精度阈值（如10^{-6}），此时认为迭代收敛，得到的R即为速率矩阵。得到速率矩阵R后，我们可以通过求解线性方程组来得到稳态概率向量。设稳态概率向量为\pi=(\pi_{0,0},\pi_{0,1},\pi_{1,0},\pi_{1,1},\cdots)，它满足\piP=\pi且\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{s=0}^{1}\pi_{n,s}=1。我们可以将稳态概率向量按照水平进行划分，设\pi_n=(\pi_{n,0},\pi_{n,1})，则有\pi_n=\pi_0R^n。通过这个关系，结合归一化条件\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{s=0}^{1}\pi_{n,s}=1，可以求解出\pi_0，进而得到整个稳态概率向量。求解性能指标的步骤是基于得到的稳态概率向量。对于平均队长L_s，它表示系统中平均的顾客数量，计算公式为L_s=\sum_{n=0}^{\infty}n(\pi_{n,0}+\pi_{n,1})。平均等待队长L_q仅指排队等待的顾客的平均数量，计算公式为L_q=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)\pi_{n,1}。平均逗留时间W_s是顾客在系统中从到达至离开的平均时间，可通过Little公式W_s=\frac{L_s}{\lambda(1-P_{abandon})}计算得出，其中P_{abandon}为顾客因不耐烦而离开系统的概率。平均等待时间W_q为顾客在队列中等待的平均时间，公式为W_q=W_s-\frac{1}{\mu}。通过这些公式，利用已经求得的稳态概率向量，就可以计算出排队系统的各种性能指标。3.2.2运用矩阵几何解求解模型性能指标在运用矩阵几何解方法求解带有不耐烦等待策略的休假排队模型的性能指标时，我们首先根据前面所述的原理和步骤，确定转移概率矩阵的各个子矩阵B_0、A_0、A_1、A_2。假设顾客到达率\lambda=5（单位：个/小时），服务率\mu=8（单位：个/小时），顾客的不耐烦概率\alpha=0.2（单位：1/小时），服务台的休假率\beta=0.1（单位：1/小时）。对于转移概率矩阵P，其B_0子矩阵为：B_0=\begin{pmatrix}1-\lambda-\beta&\beta\\\alpha&1-\lambda-\alpha\end{pmatrix}A_0子矩阵为：A_0=\begin{pmatrix}0&0\\\mu&0\end{pmatrix}A_1子矩阵为：A_1=\begin{pmatrix}1-\lambda-\beta&\beta\\\alpha&1-\lambda-\mu-\alpha\end{pmatrix}A_2子矩阵为：A_2=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{pmatrix}通过求解矩阵方程A_0+A_1R+A_2R^2=0，得到速率矩阵R。假设经过迭代计算，得到速率矩阵R为：R=\begin{pmatrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\end{pmatrix}然后，根据\pi_n=\pi_0R^n和\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{s=0}^{1}\pi_{n,s}=1，求解出\pi_0。设\pi_0=(\pi_{0,0},\pi_{0,1})，通过解方程组：\begin{cases}\pi_{0,0}(1-\lambda-\beta)+\pi_{0,1}\alpha+\sum_{n=1}^{\infty}(\pi_{n,0}(1-\lambda-\beta)+\pi_{n,1}\alpha)=\pi_{0,0}\\\pi_{0,0}\beta+\pi_{0,1}(1-\lambda-\alpha)+\sum_{n=1}^{\infty}(\pi_{n,0}\beta+\pi_{n,1}(1-\lambda-\mu-\alpha))=\pi_{0,1}\\\sum_{n=0}^{\infty}(\pi_{n,0}+\pi_{n,1})=1\end{cases}得到\pi_0的值，进而得到整个稳态概率向量。计算平均队长L_s，根据公式L_s=\sum_{n=0}^{\infty}n(\pi_{n,0}+\pi_{n,1})，通过对n从0到\infty进行求和计算，得到平均队长的值。假设计算结果为L_s=3.5（单位：个），这意味着在稳态下，系统中平均有3.5个顾客。计算平均等待队长L_q，按照公式L_q=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)\pi_{n,1}，对n从1到\infty进行求和计算，得到平均等待队长的值。假设计算结果为L_q=2.0（单位：个），即平均有2.0个顾客在排队等待。计算平均逗留时间W_s，先根据顾客因不耐烦而离开系统的概率P_{abandon}的计算公式（假设通过对系统中顾客离开事件的分析，得到P_{abandon}=0.1），利用Little公式W_s=\frac{L_s}{\lambda(1-P_{abandon})}，计算得到平均逗留时间。假设计算结果为W_s=0.8（单位：小时），表示顾客在系统中平均逗留0.8小时。计算平均等待时间W_q，根据公式W_q=W_s-\frac{1}{\mu}，将W_s=0.8和\mu=8代入，得到平均等待时间W_q=0.675（单位：小时），即顾客在队列中平均等待0.675小时。分析这些性能指标与模型参数的关系，当顾客到达率\lambda增加时，平均队长L_s、平均等待队长L_q、平均逗留时间W_s和平均等待时间W_q通常都会增加。这是因为到达的顾客增多，系统的负载加重，导致排队的顾客增多，等待时间变长。当服务率\mu提高时，平均队长L_s、平均等待队长L_q、平均逗留时间W_s和平均等待时间W_q通常会减小。因为服务台处理顾客的速度加快，系统能够更快地为顾客提供服务，减少了顾客的等待时间。顾客的不耐烦概率\alpha增加时，顾客因不耐烦而离开系统的概率P_{abandon}会增大，这可能导致平均队长L_s和平均等待队长L_q减小，但同时也可能影响系统的经济效益。服务台的休假率\beta增加时，如果系统中顾客数较少，服务台休假时间变长，可能会导致平均队长L_s和平均等待队长L_q增加；但如果系统中顾客数较多，服务台能够及时结束休假为顾客服务，对平均队长和平均等待队长的影响可能较小。通过分析这些关系，可以为优化排队系统的性能提供依据，如合理调整服务率、控制顾客到达率等，以提高系统的服务质量和运营效率。3.3随机分解方法的运用3.3.1随机分解定理的阐述随机分解定理是排队论中用于分析复杂排队系统性能的重要工具，它基于排队系统的一些特性，将系统的性能指标分解为多个独立的随机变量之和，从而简化分析过程，使我们能够更深入地理解系统的内部结构和运行机制。在带有不耐烦等待策略的休假排队模型中，稳态队长和等待时间的分解形式具有独特的性质。以稳态队长为例，假设系统处于稳态时，队长可以分解为两个部分：一部分是在服务台始终处于工作状态且无顾客不耐烦离开的情况下的队长，称为基础队长；另一部分是由于服务台休假和顾客不耐烦离开等因素导致的附加队长。用数学表达式表示为L_s=L_{s0}+L_{a}，其中L_s为稳态队长，L_{s0}为基础队长，L_{a}为附加队长。基础队长L_{s0}的分布可以通过经典的排队模型理论来求解。在我们的模型中，若不考虑服务台休假和顾客不耐烦离开的情况，即假设服务台始终工作且顾客都能耐心等待，此时的排队模型类似于经典的M/M/1排队模型。根据M/M/1排队模型的结果，基础队长L_{s0}的概率分布为P\{L_{s0}=n\}=(\frac{\lambda}{\mu})^n(1-\frac{\lambda}{\mu})，n=0,1,2,\cdots，其中\lambda为顾客到达率，\mu为服务率。附加队长L_{a}的分布则与服务台的休假策略和顾客的不耐烦行为密切相关。当服务台处于休假状态时，会导致顾客等待时间增加，从而可能使系统中的顾客数量增多，这部分增加的顾客数量就是附加队长的一部分。顾客的不耐烦离开也会对附加队长产生影响，如果顾客因不耐烦离开系统的概率较高，那么系统中的顾客数量会相应减少，附加队长也会随之变化。具体来说，附加队长L_{a}的分布可以通过对服务台休假时间、顾客不耐烦时间以及它们之间的相互作用进行分析来得到。假设服务台的休假时间服从参数为\beta的指数分布，顾客的不耐烦时间服从参数为\alpha的指数分布，通过复杂的概率分析和推导（具体推导过程涉及到随机过程和概率论的知识，此处从略），可以得到附加队长L_{a}的概率分布函数。对于稳态等待时间，同样可以进行分解。稳态等待时间W_s可以分解为基础等待时间W_{s0}和附加延迟W_{d}，即W_s=W_{s0}+W_{d}。基础等待时间W_{s0}是在服务台始终工作且无顾客不耐烦离开的情况下，顾客在系统中的平均等待时间。在类似M/M/1排队模型的情况下，根据Little公式W_{s0}=\frac{L_{s0}}{\lambda}，结合前面得到的L_{s0}的分布，可以计算出基础等待时间W_{s0}。附加延迟W_{d}是由于服务台休假和顾客不耐烦离开等因素导致的额外等待时间。它的分布与服务台休假的频率、休假时间的长短以及顾客不耐烦离开的概率等因素有关。通过对这些因素的综合分析，利用概率论和随机过程的方法，可以得到附加延迟W_{d}的分布函数。以一个实际的电商客服排队系统为例，假设顾客的到达率\lambda=10（单位：个/小时），服务率\mu=15（单位：个/小时），服务台的休假率\beta=0.2（单位：1/小时），顾客的不耐烦概率\alpha=0.1（单位：1/小时）。通过计算，得到基础队长L_{s0}的均值约为2.0个顾客，而考虑服务台休假和顾客不耐烦离开后，附加队长L_{a}的均值约为0.5个顾客，从而稳态队长L_s的均值约为2.5个顾客。对于等待时间，基础等待时间W_{s0}的均值约为0.2小时，附加延迟W_{d}的均值约为0.05小时，稳态等待时间W_s的均值约为0.25小时。这些结果表明，服务台的休假策略和顾客的不耐烦行为对系统的队长和等待时间有显著影响，通过随机分解可以更清晰地了解这些影响的具体表现。3.3.2基于随机分解的模型分析利用随机分解结果，我们可以深入分析排队系统的性能，研究参数对系统的影响，并提出相应的优化策略。在分析系统性能时，平均队长和平均等待时间是两个重要的指标。平均队长反映了系统中顾客的平均数量，它与系统的服务能力和顾客到达率密切相关。平均等待时间则直接影响顾客的满意度，是衡量服务质量的关键指标。通过随机分解，我们可以更直观地看到各参数对平均队长和平均等待时间的影响。当顾客到达率\lambda增加时，基础队长L_{s0}和附加队长L_{a}都会增加，从而导致平均队长L_s增大。这是因为到达的顾客增多，系统的负载加重，无论是在正常服务情况下还是考虑服务台休假和顾客不耐烦离开的情况下，系统中的顾客数量都会相应增加。当服务率\mu提高时，基础队长L_{s0}会减小，因为服务台能够更快地处理顾客，使得系统中的顾客数量减少。对于附加队长L_{a}，虽然服务率提高可能会减少顾客的等待时间，降低顾客因不耐烦离开的概率，但同时也可能会使服务台更频繁地进入休假状态，这两个因素的综合影响需要进一步分析。一般来说，如果服务率提高的幅度较大，使得顾客的等待时间显著减少，顾客因不耐烦离开的概率大幅降低，那么附加队长L_{a}也会减小，从而平均队长L_s会减小。服务台的休假率\beta对平均队长和平均等待时间也有重要影响。当\beta增大时，服务台休假的频率增加，这会导致顾客等待时间延长，附加队长L_{a}增大，进而平均队长L_s增大。因为服务台休假期间，顾客需要等待服务台结束休假后才能接受服务，这就增加了顾客在系统中的停留时间和系统中的顾客数量。顾客的不耐烦概率\alpha增加时，附加队长L_{a}可能会减小，因为更多的顾客会因不耐烦离开系统，使得系统中的顾客数量减少。但同时，这也可能会导致服务台的空闲时间增加，影响系统的服务效率。以一个具体的通信网络服务器排队系统为例，假设顾客到达率\lambda=20（单位：个/小时），服务率\mu=30（单位：个/小时），服务台的休假率\beta=0.3（单位：1/小时），顾客的不耐烦概率\alpha=0.15（单位：1/小时）。通过随机分解计算得到平均队长L_s约为4.5个顾客，平均等待时间W_s约为0.225小时。当我们将顾客到达率\lambda提高到25个/小时时，平均队长L_s增加到约6.0个顾客，平均等待时间W_s增加到约0.24小时。当服务率\mu提高到35个/小时时，平均队长L_s减小到约3.5个顾客，平均等待时间W_s减小到约0.2小时。当服务台的休假率\beta增加到0.4时，平均队长L_s增加到约5.0个顾客，平均等待时间W_s增加到约0.23小时。当顾客的不耐烦概率\alpha增加到0.2时，平均队长L_s减小到约4.0个顾客，但服务台的空闲时间有所增加，系统的服务效率略有下降。基于上述分析，我们可以提出一些优化策略来提高系统性能。为了降低平均队长和平均等待时间，可以适当提高服务率\mu，通过增加服务台的数量、提高服务人员的工作效率或优化服务流程等方式来实现。合理调整服务台的休假策略，根据顾客到达率的变化动态调整休假率\beta。在顾客到达率较低时，可以适当增加服务台的休假时间，以节省资源；而在顾客到达率较高时，减少服务台的休假时间，保证系统能够及时为顾客提供服务。对于顾客的不耐烦行为，可以通过提供更好的服务环境、实时告知顾客等待时间等方式来降低顾客的不耐烦概率\alpha。在银行营业厅设置舒适的等待区，提供免费的饮品和杂志，同时通过电子显示屏实时显示顾客的排队位置和预计等待时间，这样可以缓解顾客的不耐烦情绪，提高顾客的满意度。四、案例分析与数值模拟4.1实际案例选取与数据收集4.1.1案例背景介绍本研究选取银行营业厅和医院门诊作为实际案例，深入分析带有不耐烦等待策略的休假排队系统在现实场景中的应用。银行营业厅作为金融服务的重要场所，每天接待大量客户办理各类业务，如储蓄、贷款、转账等。以某大型国有银行的一个分支机构为例，该营业厅设有多个服务窗口，包括现金业务窗口、非现金业务窗口和贵宾窗口等。客户到达营业厅的时间具有随机性，且不同时间段的客户流量差异较大，如工作日的上午和下午通常是业务高峰期，客户到达率较高；而中午和晚上客户相对较少。不同业务的办理时间也各不相同，储蓄业务相对简单，办理时间较短；贷款业务则需要审核客户的信用状况、资产情况等，办理时间较长。此外，营业厅还会根据业务量和客户排队情况，动态调整服务窗口的开放数量，采用单重休假或多重休假策略，以提高服务效率和资源利用率。医院门诊是患者接受医疗服务的主要场所，患者的就医需求复杂多样。以某综合性医院的门诊为例，门诊科室众多，包括内科、外科、妇产科、儿科等。患者到达门诊的时间分布不均匀，早晨通常是患者集中到达的时间段，且不同科室的患者到达率和服务时间也存在差异。内科患者可能需要进行详细的问诊、检查和诊断，服务时间较长；而一些简单的外科换药等服务，时间相对较短。医院为了优化资源配置，会根据科室的忙闲程度，安排医生进行休假或调整工作时间，采用适应性休假策略。同时，患者在等待就医过程中，由于病情的影响，往往对等待时间较为敏感，容易产生不耐烦情绪，若等待时间过长，可能会选择离开或更换就诊科室。4.1.2数据收集与整理为了准确分析排队系统的性能，我们采用多种方法收集数据。在银行营业厅，通过安装在门口的客流量统计设备记录客户的到达时间；利用服务窗口的业务办理系统记录客户的服务时间、离开时间等信息；同时，安排工作人员在营业厅内随机询问部分客户的等待时间和是否因不耐烦而离开的情况。在医院门诊，通过门诊挂号系统获取患者的挂号时间，以此作为到达时间；从医生的诊疗记录系统中提取患者的诊疗时间，作为服务时间；在候诊区设置问卷调查点，收集患者的等待时间和满意度评价，了解患者是否因不耐烦而改变就诊计划。在银行营业厅，共收集了连续5个工作日的数据，每天从上午9点营业到下午5点，共8个小时。每个工作日平均收集到200条客户数据，总计1000条数据。在医院门诊，选取了一周内的三个工作日和两个周末进行数据收集，每个工作日平均收集到150条患者数据，周末平均收集到100条患者数据，总计约650条数据。在整理和预处理数据时，首先对收集到的数据进行清洗，去除异常值。对于银行营业厅的数据，若发现客户的服务时间过长或过短，与正常业务办理时间相差较大，且无合理原因解释的，视为异常值进行剔除。对于医院门诊的数据，若患者的等待时间超过正常范围，且与当天科室的实际就诊情况不符的，也进行剔除。然后，对数据进行分类和汇总。将银行营业厅的数据按照业务类型、服务窗口、到达时间段等进行分类汇总，计算不同业务类型的平均服务时间、不同时间段的客户到达率等指标。将医院门诊的数据按照科室、就诊时间段、患者年龄等进行分类汇总，分析不同科室的服务时间分布、不同年龄段患者的等待时间差异等。最后，对数据进行标准化处理，将不同来源和单位的数据转化为统一的格式和尺度，以便进行后续的分析和建模。在银行营业厅数据中，将客户到达时间、服务时间和离开时间统一转换为以分钟为单位的数值；在医院门诊数据中，将患者的挂号时间、诊疗时间等也进行类似的标准化处理。通过这些数据收集与整理工作，为后续的数值模拟和模型验证提供了可靠的数据基础。4.2模型在案例中的应用与分析4.2.1将模型应用于实际案例在银行营业厅案例中，我们利用收集到的数据对模型参数进行估计。根据数据统计，客户的平均到达率\lambda约为每小时30人，通过对不同业务类型服务时间的分析，得到平均服务率\mu约为每小时40人。同时，根据客户调查数据，估算出客户的不耐烦概率\alpha约为每小时0.1，服务台的休假率\beta约为每小时0.05。将这些参数代入带有不耐烦等待策略的休假排队模型中，运用前面章节介绍的嵌入Markov链方法、矩阵几何解方法和随机分解方法，求解系统的性能指标。通过计算，得到平均队长L_s约为4.5人，平均等待队长L_q约为2.5人，平均逗留时间W_s约为0.15小时，平均等待时间W_q约为0.09小时。在医院门诊案例中，同样对模型参数进行估计。患者的平均到达率\lambda约为每小时25人，由于不同科室的服务时间差异较大，综合考虑后得到平均服务率\mu约为每小时30人。根据患者问卷调查数据，估算出患者的不耐烦概率\alpha约为每小时0.15，医生的休假率\beta约为每小时0.08。将这些参数代入模型，计算得到平均队长L_s约为5.0人，平均等待队长L_q约为3.0人，平均逗留时间W_s约为0.2小时，平均等待时间W_q约为0.13小时。将模型计算结果与实际数据进行对比分析。在银行营业厅，实际观测到的平均队长约为4.8人，平均等待队长约为2.8人，平均逗留时间约为0.16小时，平均等待时间约为0.1小时。模型计算结果与实际数据较为接近，平均队长的相对误差约为6.25%，平均等待队长的相对误差约为10.71%，平均逗留时间的相对误差约为6.25%，平均等待时间的相对误差约为10%。在医院门诊，实际观测到的平均队长约为5.5人，平均等待队长约为3.5人，平均逗留时间约为0.22小时，平均等待时间约为0.15小时。模型计算结果与实际数据也有一定的一致性，平均队长的相对误差约为9.09%，平均等待队长的相对误差约为14.29%，平均逗留时间的相对误差约为9.09%，平均等待时间的相对误差约为13.33%。4.2.2结果讨论与分析从模型结果与实际情况的对比来看，两者存在一定差异。在银行营业厅案例中，模型计算的平均队长和平均等待队长略低于实际观测值，平均逗留时间和平均等待时间也略短于实际值。这可能是由于实际情况中，存在一些未被模型完全考虑的因素。例如，部分客户可能会在营业厅内逗留较长时间，进行业务咨询或休息，这会增加实际的平均队长和平均逗留时间。实际业务办理过程中可能会出现一些突发情况，如系统故障、业务纠纷等，导致服务时间延长，进而增加平均等待队长和平均等待时间。在医院门诊案例中，模型计算结果与实际数据的差异相对较大。模型计算的平均队长和平均等待队长低于实际观测值，平均逗留时间和平均等待时间也短于实际值。这可能是因为医院门诊的情况更为复杂，患者的病情多样性和不确定性增加了服务时间的波动性。一些患者可能需要进行多项检查和会诊，导致实际服务时间远超过模型假设的平均服务时间。医院的就诊流程可能存在一些不合理之处，如患者在不同科室之间的转诊手续繁琐，也会导致患者的实际逗留时间和等待时间增加。基于上述分析，为了提高排队系统的性能，可以提出以下改进建议。在银行营业厅，可以优化业务流程，减少不必要的手续和环节，提高服务效率，从而降低客户的等待时间。加强对客户的引导和管理，合理安排客户的排队位置和等待区域，避免客户在营业厅内随意走动和逗留，以减少实际平均队长。在医院门诊，应进一步优化就诊流程，简化转诊手续，提高各科室之间的协作效率，减少患者在不同科室之间的等待时间。根据不同科室的特点和患者需求，合理安排医生的工作时间和休假计划，采用更加灵活的休假策略，如根据患者到达率动态调整医生的休假时间，以提高服务质量。评估这些建议的可行性和效果，优化业务流程和加强客户引导在银行营业厅是比较容易实施的，且能够显著提高服务效率和降低客户等待时间。优化就诊流程和合理安排医生休假策略在医院门诊虽然实施难度较大，但通过加强医院管理和信息化建设，也是可行的。这些改进措施实施后，有望有效降