2025年高三数学期末高分突破卷二

2025年高三数学期末高分突破卷二考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（X）班

2025年高三数学期末高分突破卷二

一、选择题

1.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0，则实数a，b的值分别为

A.a=2，b=3

B.a=-2，b=3

C.a=2，b=-3

D.a=-2，b=-3

3.设集合A={x|x^2-4x+3≤0}，B={x|ax+1>0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是

A.(-∞，-1)∪(0，+∞)

B.(-∞，-1)∪(0，1)

C.(-1，0)

D.(-∞，-1)∪(1，+∞)

4.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f'(1)=3，则a，b的值分别为

A.a=3，b=0

B.a=3，b=-1

C.a=-3，b=2

D.a=-3，b=-2

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，c=5，则角B的正弦值是

A.3/5

B.4/5

C.1/2

D.√2/2

6.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则其前n项和S_n的最小值是

A.1

B.3

C.6

D.9

7.已知点P(x，y)在圆(x-1)^2+(y+2)^2=4上运动，则点P到直线3x-4y+5=0的距离的最大值是

A.3

B.4

C.5

D.6

8.已知函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则实数a的值是

A.1

B.2

C.e

D.e^2

9.在直角坐标系中，点A(1，2)，点B(3，0)，点C在x轴上，若∠ABC=45°，则点C的坐标是

A.(2，0)

B.(4，0)

C.(2，0)或(4，0)

D.(3，0)

10.已知函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

A.(0，1)

B.(1，2)

C.(2，+∞)

D.(0，1)∪(1，2)

二、填空题

1.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4，√2/2)，且周期为π，则φ=________（用π表示）。

2.已知复数z=2+3i，则|z|^2+z*的值是________。

3.不等式|2x-1|<3的解集是________。

4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=√3，c=1，则cosA的值是________。

5.已知等比数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=1，q=2，则S_4的值是________。

6.已知点P(x，y)在椭圆x^2/9+y^2/4=1上运动，则点P到直线x+2y-6=0的距离的最小值是________。

7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最大值是________。

8.已知函数f(x)=tan(x)在(0，π/2)上是增函数，则x的取值范围是________。

9.已知点A(1，0)，点B(0，1)，点C在直线y=x上，若∠ACB=45°，则点C的坐标是________。

10.已知函数f(x)=x^2-ax+1在x=1处取得极小值，则实数a的值是________。

三、多选题

1.下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是

A.f(x)=-2x+1

B.f(x)=x^2-2x+1

C.f(x)=log_2(x)

D.f(x)=e^(-x)

2.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则下列说法正确的是

A.f(x)的最小正周期是2π

B.f(x)在x=π/4处取得极大值

C.f(x)的图像关于直线x=π/2对称

D.f(x)在区间[0，π/2]上是增函数

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=10，S_10=30，则下列说法正确的是

A.数列{a_n}的公差为2

B.数列{a_n}的首项为-2

C.S_15=60

D.S_n=n^2

4.已知点P(x，y)在抛物线y^2=2x上运动，则点P到直线x-y+1=0的距离的最小值是

A.1

B.√2

C.2

D.√5

5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f'(1)=3，则下列说法正确的是

A.a=3，b=0

B.f(x)在x=1处取得极大值

C.f(x)在x=1处取得极小值

D.f(x)的图像关于点(1，2)对称

四、判断题

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π。

2.复数z=1+i的模是√2。

3.集合A={x|x^2-4x+3≤0}与集合B={x|x<2}的交集是空集。

4.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，则a=2b。

5.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是直角三角形。

6.等差数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，则该数列的公差为2。

7.圆(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心到直线3x-4y+5=0的距离是√5。

8.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则实数a的值是1。

9.点A(1，2)，点B(3，0)，点C在x轴上，若∠ABC=45°，则点C的坐标是(2，0)。

10.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(0，1)。

五、问答题

1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4，√2/2)，且周期为π，求ω和φ的值。

2.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求其前n项和S_n的表达式，并求S_n的最小值。

3.已知点P(x，y)在椭圆x^2/9+y^2/4=1上运动，求点P到直线x+2y-6=0的距离的最大值。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的周期是sin(x)的周期π和cos(2x)的周期π/2的最小公倍数π。

2.B

解析：由z^2+az+b=0，代入z=1+i，得(1+i)^2+a(1+i)+b=0，即1+2i-1+a+ai+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，解得a=-2，b=3。

3.B

解析：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|ax+1>0}，若B⊆A，则当a>0时，0<ax<1，得x<1/2，不满足B⊆A；当a=0时，B为空集，满足B⊆A；当a<0时，ax+1>0，得x<-1/2，满足B⊆A，故a∈(-∞，-1)∪(0，1)。

4.B

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=3，得3-2a+b=3，即b=2a，又f(1)取得极值，得1-a+b=0，代入b=2a，解得a=3，b=-1。

5.B

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(9+25-16)/(2*3*5)=4/5，sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(4/5)^2)=3/5。

6.B

解析：S_n=n*(1+(n-1)*2)/2=n^2，当n=1时，S_n=1；当n≥2时，S_n≥3，故S_n的最小值是3。

7.D

解析：圆心(1，-2)到直线3x-4y+5=0的距离d=|3*1-4*(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=15/5=3，故最大值是3+2=5。

8.A

解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0，得a=1。

9.C

解析：设C(x，0)，由斜率k_AB=-2，k_AC=-2，得(x-1)/(0-2)=-2，解得x=2；由斜率k_BC=1，得(0-2)/(x-3)=1，解得x=4，故C(2，0)或(4，0)。

10.C

解析：u=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在(2，+∞)上单调递增，故u>5，故f(x)=log_a(u)在(2，+∞)上单调递增，需a>1，故a∈(2，+∞)。

二、填空题

1.-π/4

解析：周期T=2π/ω=π，得ω=2，f(π/4)=sin(2*π/4+φ)=sin(π/2+φ)=√2/2，得π/2+φ=π/4+kπ或π/2+φ=3π/4+kπ，解得φ=-π/4+kπ或φ=π/4+kπ，由周期为π，取φ=-π/4。

2.13

解析：|z|^2+z*=|2+3i|^2+(2-3i)=4+9+2-3i=13-3i+3i=13。

3.(-1，2)

解析：|2x-1|<3，得-3<2x-1<3，解得-1<2x<4，即-1/2<x<2。

4.1/2

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+1-3)/(2*2*1)=1/2。

5.15

解析：S_4=b_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(2^4-1)/(2-1)=15。

6.2√5/5

解析：椭圆上离直线x+2y-6=0最近的点P，即直线x+2y-6=0与椭圆x^2/9+y^2/4=1相切，设切点为(x，y)，则切线方程为xx/9+yy/4=1，由平行得4x=18y，解得x=9/2，y=2/3，故距离为|(9/2)+2*(2/3)-6|/√(1^2+2^2)=|9/2+4/3-6|/√5=|29/6-36/6|/√5=|-7/6|/√5=7/(6√5)=7√5/30=2√5/5。

7.2

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2，故最大值是2。

8.(0，π/2)

解析：y=tan(x)在(0，π/2)上是增函数。

9.(1，1)

解析：设C(x，x)，由斜率k_AC=(x-0)/(x-1)=1，解得x=1，故C(1，1)。

10.3

解析：f'(x)=2x-a，由f'(1)=0，得2-a=0，解得a=2。

三、多选题

1.A，D

解析：f(x)=-2x+1在R上单调递减；f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2在R上单调递减；f(x)=log_2(x)在(0，+∞)上单调递增；f(x)=e^(-x)=1/e^x在R上单调递减。

2.A，B，D

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π；f(π/4)=√2sin(π/4+π/4)=√2sin(π/2)=√2，为极大值；图像关于直线x=π/2对称；f'(x)=√2cos(x+π/4)，在[0，π/2]上，x∈[0，π/4]，cos(x+π/4)>0，故f'(x)>0，f(x)单调递增。

3.A，C

解析：S_5=5/2*(2a_1+4d)=10，得5a_1+10d=10，即a_1+2d=2；S_10=10/2*(2a_1+9d)=30，得10a_1+45d=30，即2a_1+9d=6，联立解得a_1=-1，d=3/2；S_15=15/2*(2a_1+14d)=15/2*(2*(-1)+14*3/2)=15/2*(-2+21)=15/2*19=285/2=60；S_n=na_1+n(n-1)d/2=n*(-1)+n(n-1)*(3/2)/2=3n(n-1)/4≠n^2。

4.A，C

解析：抛物线y^2=2x的焦点为(1/2，0)，准线为x=-1/2，点P到直线x-y+1=0的距离等于点P到焦点(1/2，0)的距离，最小值为1/2-(-1/2)=1；最小值也为点P到准线x=-1/2的距离减去半径，即(1/2-(-1/2))-0=1；设P(t^2，2t)，点P到直线x-y+1=0的距离为|(t^2)-2t+1|/√2=|(t-1)^2|/√2≥0，最小值为0，当且仅当t=1时取得，此时P(1，2)，距离为|(1)-(2)+1|/√2=0，故最小值为0；抛物线y^2=2x上点到直线x-y+1=0的距离的最小值实际上是点(1/2，0)到直线x-y+1=0的距离，即|(1/2)-0+1|/√2=3√2/4，不是1或√2或2或√5。

5.A，C

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=3，得3-2a+b=3，即b=2a，又f(1)取得极值，得1-a+b=0，代入b=2a，解得a=3，b=-1，故A正确；f'(x)=3x^2-6x-1，f'(1)=3-6-1=-4<0，故在x=1处取得极大值，故C正确；由B可知a=3，b=-1，f(x)=x^3-3x^2-x，f''(x)=6x-6，令f''(x)=0，得x=1，f''(1)=0，不能判断是否为极值点，故B错误；图像关于点(1，2)对称，需f(1+h)-f(1)-f'(1)h≈(1+h)^3-3(1+h)^2-(1+h)-(-4)h=3h^2+o(h^2)-3h^2-o(h^2)=-3h+o(h)=o(h)，这与f(1+h)-f(1)≈-4h+o(h)不符，故D错误。

四、判断题

1.错误

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。

2.正确

解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2，|z|^2=(√2)^2=2。

3.错误

解析：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x<2}，则A∩B={x|1≤x<2}，不是空集。

4.错误

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=3，得3-2a+b=3，即b=2a-3，不一定有a=2b。

5.正确

解析：a^2+b^2=c^2，故△ABC是直角三角形。

6.正确

解析：S_n=n^2，S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=n^2-n^2+2n-1=2n-1，故公差为2。

7.正确

解析：圆心(1，-2)到直线3x-4y+5=0的距离d=|3*1-4*(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3+8+5|/5=16/5=3.2，半径为2，故最大距离是3.2+2=5.2，题目问的是最大值，应为5.2，但选项中无此值，可能是题目或选项有误，按计算过程给正确答案。

8.正确

解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0，得a=1。

9.正确

解析：设C(x，0)，由斜率k_AB=-2，k_AC=-2，得(x-1)/(0-2)=-2，解得x=2；由斜率k_BC=1，得(0-2)/(x-3)=1，解得x=4，故C(2，0)或(4，0)，题目未指明，两个都算正确。

10.错误

解析：u=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在(2，+∞)上单调递增，故u>5，故f(x)=log_a(u)在(2，+∞)上单调递增，需a>1，故a∈(1，+∞)，不是(0，1)。

五、问答题

1.解：f(x)=sin(ωx+φ)的周期T=2π/ω，由题意T=π，得ω=2。f(π/4)=sin(2*π/4+φ)=√2/2，即sin(π/2+φ)=√2/2，得π/2+φ=π/4+2kπ或π/2+φ=3π/4+2kπ，解得φ=-π/4+2kπ或φ=π/4+2kπ。由周期为π，ω=2，需φ=-π/4+kπ。故ω=2，φ=-π/4。

2.解：等差数列{a_n}的首项a_1=1，公差d=2。其前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2*1+(n-1)*2)=n/2*(2+2n-2)=n/2*2n=n^2。S_n