2025 小学五年级数学下册因数倍数拓展练习课件

一、知识回顾：构建清晰的概念网络演讲人知识回顾：构建清晰的概念网络总结与展望：让因数倍数成为思维的“脚手架”综合应用：在挑战中实现升华能力提升：在变式中发展思维基础巩固：在辨析中深化理解目录2025小学五年级数学下册因数倍数拓展练习课件各位老师、同学们：大家好！作为一名深耕小学数学教学十余年的一线教师，我始终认为，“因数与倍数”是小学数学数论模块的核心内容，它不仅是后续学习分数约分、通分、分数四则运算的重要基础，更是培养学生逻辑思维、数感和问题解决能力的关键载体。今天，我们将围绕“因数倍数”这一主题，通过“知识梳理—基础巩固—能力提升—综合应用”的递进式设计，展开一场深入的拓展练习。希望通过这节课，同学们不仅能夯实概念，更能学会用数学的眼光观察生活，用数学的思维解决问题。01知识回顾：构建清晰的概念网络知识回顾：构建清晰的概念网络要高效完成拓展练习，首先需要我们对“因数与倍数”的核心概念和内在联系有清晰的理解。让我先带大家“温故知新”，通过“概念树”的形式梳理关键知识点。1基础概念：定义与本质因数与倍数：若整数(a)能被整数(b)（(b\neq0)）整除，即(a\divb=c)（(c)为整数），则称(b)是(a)的因数，(a)是(b)的倍数。需注意：因数与倍数是相互依存的关系，不能单独说“某个数是因数”或“某个数是倍数”。例如，(12\div3=4)，只能说“3是12的因数，12是3的倍数”，而不能说“3是因数，12是倍数”。公因数与最大公因数：两个或多个整数公有的因数，称为它们的公因数；其中最大的一个，称为最大公因数（GCD）。例如，12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。1基础概念：定义与本质公倍数与最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数，称为它们的公倍数；其中最小的一个（非零），称为最小公倍数（LCM）。例如，4和6的公倍数有12、24、36…，最小公倍数是12。2关键性质：规律与特例因数的有限性与倍数的无限性：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。例如，15的因数有1、3、5、15（共4个），而15的倍数有15、30、45…（无限个）。特殊数的因数与倍数：1的因数只有1；质数（如2、3、5）的因数只有1和它本身；合数（如4、6、8）的因数至少有3个；0是任何非零整数的倍数（但讨论因数时一般不涉及0）。2关键性质：规律与特例最大公因数与最小公倍数的关系：对于两个非零整数(a)和(b)，有(a\timesb=\text{GCD}(a,b)\times\text{LCM}(a,b))。例如，(12\times18=6\times36=216)，验证了这一性质。3常用方法：工具与技巧找因数的方法：列举法（成对列举，如找24的因数：1×24，2×12，3×8，4×6，故因数为1、2、3、4、6、8、12、24）；分解质因数法（将数分解为质数相乘的形式，如(24=2^3\times3^1)，则因数个数为((3+1)\times(1+1)=8)个）。找最大公因数的方法：列举法（分别列出两个数的因数，找公共最大的）；分解质因数法（取公共质因数的最低次幂相乘，如(12=2^2\times3^1)，(18=2^1\times3^2)，则GCD为(2^1\times3^1=6)）；短除法（用公共质因数连续除，直到商互质，所有除数的乘积即为GCD）。3常用方法：工具与技巧找最小公倍数的方法：列举法（分别列出两个数的倍数，找公共最小的）；分解质因数法（取所有质因数的最高次幂相乘，如(12=2^2\times3^1)，(18=2^1\times3^2)，则LCM为(2^2\times3^2=36)）；短除法（用公共质因数连续除，直到商互质，所有除数和最后的商的乘积即为LCM）。（设计意图：通过系统梳理，帮助学生构建“概念—性质—方法”的知识网络，为后续拓展练习奠定坚实基础。）02基础巩固：在辨析中深化理解基础巩固：在辨析中深化理解拓展练习的第一步是“打牢地基”。以下题目聚焦概念辨析与基础应用，旨在通过“易错题”“对比题”帮助同学们避免常见误区，强化对核心概念的精准把握。1概念辨析题：破除认知误区题目1：判断对错，并说明理由。（1）因为(2.4\div0.6=4)，所以0.6是2.4的因数，2.4是0.6的倍数。（）（2）一个数的倍数一定比它的因数大。（）（3）两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。（）解析与关键点：（1）错误。因数与倍数的定义仅适用于整数范围，0.6和2.4是小数，因此不成立。这题考查对“整数”这一前提条件的理解。（2）错误。一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，因此可能相等（如5的最小倍数是5，最大因数也是5）。这题纠正“倍数一定更大”的错误直觉。1概念辨析题：破除认知误区（3）正确。根据(a\timesb=\text{GCD}\times\text{LCM})，可知(\text{LCM}=\frac{a\timesb}{\text{GCD}})，因此LCM是GCD的倍数（如12和18的GCD=6，LCM=36，36÷6=6）。这题强化对“最大公因数与最小公倍数关系”的理解。教学反思：在实际教学中，我发现学生常因忽略“整数范围”“自身情况”等细节犯错。通过这类题目，能有效培养学生“咬文嚼字”的审题习惯。2基础应用题：强化方法应用题目2：按要求填空。（1）36的因数有（），其中质数有（），合数有（）。（2）a和b是两个互质的数（(a>b>1)），它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。（3）一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是（）。解析与关键点：（1）36的因数需成对列举：1×36，2×18，3×12，4×9，6×6，故因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中质数是2、3（只有1和自身两个因数），合数是4、6、9、12、18、36（至少3个因数）。这题综合考查因数、质数、合数的概念。2基础应用题：强化方法应用（3）一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此答案是15。这题深化对“因数与倍数自我同一性”的理解。（设计意图：通过“概念辨析+基础应用”的组合练习，帮助学生在“纠错—应用”中巩固核心知识，避免“眼高手低”。）（2）互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积（如5和7的GCD=1，LCM=35）。这题强化“互质数”的特殊性质。在右侧编辑区输入内容03能力提升：在变式中发展思维能力提升：在变式中发展思维当同学们能熟练运用基础概念后，我们需要提升难度，通过“变式题”“开放题”“生活应用题”培养灵活思维和问题解决能力。这部分题目需要同学们跳出“套公式”的惯性，学会“具体问题具体分析”。1变式拓展题：打破思维定式题目3：已知(m)和(n)是两个非零自然数，且(m=5n)，则(m)和(n)的最大公因数是（），最小公倍数是（）。解析与思维引导：题目中(m=5n)，说明(m)是(n)的5倍（如(n=2)，则(m=10)）。此时，较小的数(n)是它们的最大公因数（因为(n)的因数都是(m)的因数），较大的数(m)是它们的最小公倍数（因为(m)的倍数包含(n)的倍数）。因此，答案是(n)和(m)。延伸思考：若(m=kn)（(k)为自然数），则GCD为(n)，LCM为(m)。这一规律可推广到“倍数关系”的两数中。1变式拓展题：打破思维定式教学案例：曾有学生认为“两数的最大公因数一定小于两数”，但通过这题（如(m=10)，(n=2)，GCD=2，等于(n)），学生意识到“当两数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”，有效打破了思维定式。2生活应用题：感受数学价值题目4：学校要将48本故事书和36本科技书分给若干个小组，要求每个小组分到的故事书和科技书数量相同，且没有剩余。最多可以分给多少个小组？每个小组分到多少本故事书和科技书？解析与步骤分解：问题本质：求48和36的最大公因数（GCD），因为小组数需同时整除48和36，最大小组数即最大公因数。计算GCD：用短除法，48和36的公共质因数有2、2、3，故GCD=(2\times2\times3=12)，即最多分12个小组。每组数量：故事书(48\div12=4)本，科技书(36\div12=3)本。2生活应用题：感受数学价值验证：12个小组，每组4本故事书、3本科技书，总数(12\times4=48)，(12\times3=36)，符合要求。数学价值：这题将“最大公因数”与“分配问题”结合，体现了数学在生活中的实际应用。类似的问题还有“铺正方形地砖（求长和宽的最大公因数确定地砖边长）”“排队分组（求人数的最大公因数确定每组人数）”等。3开放探究题：培养创新思维题目5：找出两个数，使它们的最大公因数是3，最小公倍数是30。这样的数有几组？解析与探究过程：设两数为(a)和(b)，根据(a\timesb=\text{GCD}\times\text{LCM})，得(a\timesb=3\times30=90)。需满足(a)和(b)的最大公因数是3，即(a=3m)，(b=3n)（(m)和(n)互质）。代入得(3m\times3n=90)，即(m\timesn=10)。找互质的(m)和(n)（(m\leqn)）：3开放探究题：培养创新思维(m=1)，(n=10)（互质），对应(a=3)，(b=30)；(m=2)，(n=5)（互质），对应(a=6)，(b=15)；(m=5)，(n=2)（与上一组重复）；(m=10)，(n=1)（与第一组重复）。因此，共有2组：（3,30）和（6,15）。思维提升：这题需要逆向运用“最大公因数与最小公倍数的关系”，并结合“互质数”的性质，培养学生的逆向思维和分类讨论能力。（设计意图：通过变式、生活、开放三类题目，引导学生从“学知识”转向“用知识”，在解决问题中发展逻辑思维、创新思维和应用意识。）04综合应用：在挑战中实现升华综合应用：在挑战中实现升华数学的魅力在于“举一反三”和“触类旁通”。最后，我们将通过“跨知识点综合题”和“复杂生活问题”，检验同学们对“因数倍数”的深度理解，以及综合运用数学知识解决问题的能力。1跨知识点综合题：融合质数与分解质因数题目6：一个两位数是质数，它的两个数字的和是10，差是4。这个两位数是多少？解析与步骤：设十位数字为(a)，个位数字为(b)，则(a+b=10)，(|a-b|=4)。解方程组：若(a-b=4)，则(a=b+4)，代入(a+b=10)，得(b+4+b=10)，(2b=6)，(b=3)，(a=7)，两位数为73；若(b-a=4)，则(b=a+4)，代入(a+b=10)，得(a+a+4=10)，(2a=6)，(a=3)，(b=7)，两位数为37。1跨知识点综合题：融合质数与分解质因数验证质数：73和37都是质数（73的因数只有1和73，37同理）。因此，这个两位数是37或73。知识融合：此题融合了“质数概念”“数位表示”“和差问题”，需要学生综合运用多知识点解决问题，体现了数学知识的关联性。2复杂生活问题：周期与公倍数的结合题目7：甲、乙、丙三辆公交车分别每隔6分钟、8分钟、12分钟从起点站发车一次。早上6:00三辆车同时发车，下一次三辆车同时发车是几时几分？解析与数学建模：问题本质：求6、8、12的最小公倍数（LCM），因为同时发车的时间间隔是三辆车发车周期的公倍数，最小间隔即最小公倍数。计算LCM：用分解质因数法，(6=2\times3)，(8=2^3)，(12=2^2\times3)，取最高次幂得(2^3\times3=24)，即最小公倍数是24分钟。时间计算：6:00+24分钟=6:24。因此，下一次同时发车是6:24。延伸思考：若题目改为“至少经过多少分钟三辆车再次同时发车”，答案同样是24分钟。这类问题在生活中常见，如路灯闪烁、音乐节拍同步等，都可通过“最小公倍数”解决。3竞赛挑战题：拓展思维边界题目8：已知(A=2^3\times3^2\times5)，(B=2^2\times3\times7)，求(A)和(B)的最大公因数和最小公倍数。解析与高阶技巧：最大公因数（GCD）：取公共质因数的最低次幂，公共质因数为2和3，最低次幂分别为(2^2)和(3^1)，故GCD=(2^2\times3=12)。最小公倍数（LCM）：取所有质因数的最高次幂，质因数有2、3、5、7，最高次幂分别为(2^3)、(3^2)、(5^1)、(7^1)，故LCM=(2^3\times3^2\times5\times7=8\times9\times5\times7=2520)。3竞赛挑战题：拓展思维边界思维价值：这题直接考查“分解质因数法”求GCD和LCM的高阶应用，适合学有余力的同学挑战，为后续学习“分数运算”“约分通分”打下坚实基础。（设计意图：通过跨知识点、复杂生活、竞赛挑战三类题目，引导学生从“解决单一问题”转向“综合运用知识”，实现思维从“线性”到“网状”的升级。）05总结与展望：让因数倍数成为思维的“脚手架”总结与展望：让因数倍数成为思维的“脚手架”回顾本节课的学习，我们从“知识梳理”出发，通过“基础巩固—能力提升—综合应用”的递进式练习，深入理解了因数倍数的概念、性质和方法，并学会了用它们解决生活中的实际问题。1核心知识总结概念网络：因数与倍数（依存关系）→公因数与最大公因数（公共因数的最大值）→