平面自仿集连通性与铺砖数字集的深度剖析

平面自仿集连通性与铺砖数字集的深度剖析一、引言1.1研究背景与意义分形几何作为现代数学的重要分支，自20世纪70年代诞生以来，在多个学科领域得到了广泛的应用和深入的研究。分形几何打破了传统欧几里得几何的规则性和光滑性的束缚，专注于描述具有复杂、自相似结构的集合，为研究自然界和科学工程中的不规则现象提供了全新的视角和方法。自仿集作为分形集中的重要一类，具有独特的性质和结构，在分形几何的研究中占据着关键地位。自仿集是由一组仿射变换生成的不变集，其局部与整体之间呈现出一种仿射相似的关系，这种相似性比传统的自相似集更为复杂和一般。自仿集广泛存在于自然界和科学研究的各个领域，例如，在描述海岸线的复杂形状、植物的生长形态、地质构造的分布以及金融市场的波动等方面，自仿集的理论和方法都发挥着重要作用。在材料科学中，自仿集可以用来刻画材料的微观结构，从而帮助理解材料的物理性质；在计算机图形学中，自仿集的算法能够生成逼真的自然场景和纹理，为虚拟现实和动画制作提供了有力的工具。在分形几何的理论体系中，自仿集的研究一直是一个活跃的领域。对自仿集的深入研究，不仅有助于我们理解分形的本质和特性，还能够为其他相关学科提供坚实的理论基础。其中，自仿集的连通性是一个核心研究问题，它对于刻画自仿集的拓扑结构和几何性质具有至关重要的意义。连通性反映了集合中各点之间的连接关系，一个连通的自仿集在拓扑上是一个整体，而不连通的自仿集则由多个分离的部分组成。理解自仿集的连通性，能够帮助我们更好地把握其内部结构和变化规律，为进一步研究自仿集的其他性质，如测度、维数等，提供必要的前提条件。在小波理论中，自仿集与小波分析有着紧密的联系。小波分析是一种时频分析方法，它能够对信号进行多分辨率分析，在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。自仿集可以作为小波函数的支撑集，通过对自仿集的性质研究，可以构造出具有特定性质的小波函数，从而优化小波分析的效果。自仿集的连通性也会影响小波函数的局部性质和整体性能，因此，研究自仿集的连通性对于小波理论的发展和应用具有重要的推动作用。铺砖数字集是与自仿集密切相关的一个概念，它在自仿铺砖问题中扮演着关键角色。自仿铺砖是指用一族自仿集通过平移和旋转等操作来覆盖整个空间，且满足一定的不交性条件。铺砖数字集则是决定自仿集如何进行铺砖的一组数字，它决定了自仿集在空间中的排列方式和覆盖方式。研究铺砖数字集，能够帮助我们解决自仿铺砖的存在性、唯一性以及铺砖方式的分类等问题，这些问题不仅在数学理论上具有重要的研究价值，在实际应用中，如晶体结构的研究、建筑设计中的图案铺设等领域，也有着广泛的应用前景。对平面自仿集的连通性及其铺砖数字集的研究，在分形几何和相关应用领域中具有重要的理论和实际意义。通过深入探究自仿集的连通性和铺砖数字集的性质，我们可以进一步完善分形几何的理论体系，为其他学科的研究提供更有力的数学工具，同时也能够解决一些实际问题，推动科学技术的发展。1.2研究目的与创新点本研究旨在深入探究平面自仿集的连通性以及铺砖数字集的相关性质，具体目标如下：通过对平面自仿集连通性的研究，给出其连通的充要条件。平面自仿集的连通性研究是分形几何领域的核心问题之一，目前虽已有不少研究成果，但对于一些特殊类型的自仿集，连通性的判定仍然缺乏简洁有效的方法。本研究期望能为该领域提供更具一般性和实用性的判定准则，进一步完善平面自仿集连通性的理论体系。深入研究铺砖数字集，给出自仿集成为铺砖时数字集所满足的条件。自仿铺砖问题涉及到自仿集在空间中的排列和覆盖方式，与晶体结构、建筑设计等实际应用密切相关。明确铺砖数字集的条件，有助于解决自仿铺砖的存在性、唯一性以及铺砖方式的分类等问题，为相关应用提供理论支持。在研究方法和结论上，本研究具有以下创新之处：在方法上，综合运用了分形几何、拓扑学、矩阵理论等多学科知识和方法，打破了传统研究中单一学科视角的局限。通过建立不同学科之间的联系，从多个维度对平面自仿集的连通性和铺砖数字集进行分析，为解决复杂的分形问题提供了新的思路和方法。例如，在研究连通性时，利用拓扑学中的连通性定义和性质，结合分形几何中自仿集的迭代生成特性，构建了一套新的分析框架；在探讨铺砖数字集时，运用矩阵理论来描述自仿集的仿射变换，从而更精确地分析数字集与自仿铺砖之间的关系。在结论上，本研究有望获得一些新的、具有重要理论和实际应用价值的结果。对于平面自仿集连通性的充要条件，可能会得到一些不同于以往研究的简洁表达式或判定方法，这些结果将为分形几何的理论研究提供新的视角和依据。在铺砖数字集的研究方面，预期能够发现一些新的数字集性质和规律，为自仿铺砖的实际应用提供更具体、更有效的指导。例如，可能会给出一些特殊类型自仿集成为铺砖的更宽松或更严格的数字集条件，这将有助于在晶体结构研究中更好地理解晶体的生长和排列规律，在建筑设计中实现更丰富多样的图案铺设。1.3国内外研究现状自仿集的研究在国内外均受到广泛关注，在平面自仿集的连通性及其铺砖数字集方面已取得了丰硕的成果。在连通性研究领域，国外学者较早开展相关工作。Falconer在其经典著作中对自仿集的基本理论进行了系统阐述，为后续连通性研究奠定了基础。他通过对自仿集的构造和性质分析，提出了一些关于连通性的初步判定方法，为该领域的研究指明了方向。Bandt和Graf则进一步深入研究，给出了自仿集连通性的一些充分条件，他们从自仿集的迭代函数系统出发，通过分析仿射变换的特征，得出了在特定条件下自仿集连通的结论，这些成果在自仿集连通性研究中具有重要的参考价值。国内学者在平面自仿集连通性研究方面也做出了重要贡献。例如，[具体学者1]针对某些特殊类型的平面自仿集，通过引入新的分析方法和概念，给出了更为简洁和实用的连通性充要条件。他们的研究成果不仅丰富了平面自仿集连通性的理论体系，还为实际应用提供了更有效的工具。[具体学者2]利用拓扑学和分形几何的交叉理论，对平面自仿集的连通性进行了深入探讨，从拓扑结构的角度揭示了自仿集连通性的本质特征，为该领域的研究提供了新的思路和视角。在铺砖数字集的研究上，国外研究起步较早且成果显著。Lagarias和Wang对自仿铺砖问题进行了开创性的研究，他们引入了数字集的概念，并通过对数字集性质的分析，给出了自仿集成为铺砖的一些必要条件。他们的工作为铺砖数字集的研究奠定了基础，使得后续研究者能够在此基础上进一步深入探讨。Moody则从代数的角度研究铺砖数字集，通过建立数字集与代数结构之间的联系，揭示了铺砖数字集的一些深层次性质，为自仿铺砖问题的解决提供了新的方法和途径。国内学者在这一领域也取得了一系列进展。[具体学者3]针对特定形式的自仿集，深入研究了其铺砖数字集的性质，给出了自仿集成为铺砖时数字集所满足的充分必要条件。他们的研究成果对于解决实际中的自仿铺砖问题具有重要的指导意义。[具体学者4]通过对铺砖数字集的组合性质进行分析，提出了一种新的方法来构造满足特定条件的铺砖数字集，为自仿铺砖的应用提供了更多的可能性。尽管国内外在平面自仿集的连通性及其铺砖数字集方面已取得了众多成果，但仍存在一些不足之处和待拓展的方向。现有研究对于一些复杂结构的平面自仿集，连通性的判定方法还不够完善，缺乏统一且有效的理论框架来处理各种不同类型的自仿集。在铺砖数字集的研究中，对于数字集与自仿集的几何性质之间的关系，还需要进一步深入探讨，以揭示其内在的联系和规律。此外，将平面自仿集的连通性和铺砖数字集的研究成果应用到实际工程和科学领域的案例还相对较少，如何将理论成果转化为实际应用，也是未来需要重点关注和研究的方向之一。二、平面自仿集与铺砖数字集基础理论2.1平面自仿集的定义与性质在分形几何中，平面自仿集是一类具有独特结构和性质的集合，其定义基于仿射变换。设\{S_i\}_{i=1}^N是平面\mathbb{R}^2上的一族仿射变换，其中每个仿射变换S_i可表示为：S_i(x)=A_ix+b_i,\quadx\in\mathbb{R}^2这里A_i是一个2\times2的实矩阵，b_i\in\mathbb{R}^2是一个二维向量。矩阵A_i决定了变换的线性部分，包括缩放、旋转和剪切等操作，而向量b_i则决定了平移部分。存在唯一的非空紧集K\subset\mathbb{R}^2，满足以下等式：K=\bigcup_{i=1}^NS_i(K)这个集合K被称为由仿射变换族\{S_i\}_{i=1}^N生成的平面自仿集。这种定义方式体现了自仿集的一个重要特性，即它是由自身经过一系列仿射变换后的并集所构成，这使得自仿集在局部和整体之间呈现出一种仿射相似的关系。自仿集的自相似性是其最基本的性质之一，尽管这种自相似性相较于自相似集更为复杂。自相似性意味着自仿集的部分与整体之间存在一种相似关系，只不过在自仿集中，这种相似关系是通过仿射变换来实现的，而不仅仅是简单的缩放。以经典的谢尔宾斯基三角形为例，它是一个自相似集，通过不断地将大三角形分割成四个小三角形，每个小三角形与大三角形相似，且相似比固定。而对于自仿集，如由特定仿射变换生成的龙形曲线，其局部与整体之间的相似关系不仅包含缩放，还可能涉及旋转和剪切等仿射操作。自仿集还具有不变性，即对于由仿射变换族\{S_i\}_{i=1}^N生成的自仿集K，K在仿射变换族的作用下保持不变。这种不变性使得自仿集在研究分形几何的性质和应用中具有重要意义，它为研究自仿集的结构和特征提供了一个重要的视角。在分析自仿集的测度和维数等性质时，不变性可以帮助我们建立一些重要的理论和方法。自仿集的边界性质也是其重要的研究内容之一。自仿集的边界通常具有复杂的结构，与欧几里得几何中规则图形的边界有很大的不同。自仿集的边界可能具有非整数的维数，这是分形几何中一个独特的现象。一些自仿集的边界可能是由无穷多个自相似的部分组成，这些部分之间的连接方式也非常复杂，导致边界的结构难以用传统的几何方法来描述。2.2铺砖数字集的概念与相关理论铺砖数字集在自仿铺砖理论中占据着核心地位，它与自仿集的铺砖行为紧密相关。设\{S_i\}_{i=1}^N是生成平面自仿集K的仿射变换族，其中S_i(x)=A_ix+b_i，x\in\mathbb{R}^2。若存在一个有限集D=\{d_1,d_2,\cdots,d_N\}\subset\mathbb{R}^2，使得自仿集K能够通过对集合K+d_i（i=1,2,\cdots,N）进行平移和拼接来覆盖整个平面\mathbb{R}^2，且满足一定的不交性条件，即对于i\neqj，有(K+d_i)\cap(K+d_j)的测度为零，则称集合D为自仿集K的铺砖数字集。简单来说，铺砖数字集就像是一份“拼图指南”，它决定了由仿射变换生成的自仿集如何在平面上进行排列和组合，以实现对整个平面的无缝覆盖。在实际理解铺砖数字集时，可以以常见的正方形瓷砖铺地为例。假设我们有边长为1的正方形瓷砖，这些瓷砖可以看作是简单的自仿集（在这种情况下，仿射变换主要是平移）。若要铺满一个平面区域，我们可以将瓷砖按照一定的规律放置，例如整齐地排列成行和列。此时，瓷砖放置的位置坐标集合就类似于铺砖数字集。如果我们将瓷砖的左下角顶点坐标作为参考，那么这些坐标的集合就决定了瓷砖如何覆盖平面，这与自仿集通过铺砖数字集来实现平面覆盖的原理是相似的。只不过在自仿集的情况下，仿射变换更为复杂，可能包含缩放、旋转和剪切等操作，相应地，铺砖数字集的确定也更加困难。平面镶嵌是铺砖数字集相关理论的基础，它是指用一种或多种几何图形，在平面上进行无空隙、无重叠的拼接，使得这些图形能够完全覆盖整个平面。平面镶嵌的基本原理与图形的内角和以及拼接方式密切相关。在正多边形的平面镶嵌中，正三角形、正方形和正六边形是常见的能够单独进行平面镶嵌的图形。正三角形的内角为60°，六个正三角形在一个顶点处拼接时，内角和恰好为360°，从而可以实现无缝拼接；正方形内角为90°，四个正方形在一个顶点处拼接，内角和为360°，也能完成平面镶嵌；正六边形内角为120°，三个正六边形在一个顶点处拼接，内角和同样为360°，满足平面镶嵌的条件。当考虑多种图形的组合镶嵌时，情况则更为复杂。不同图形的内角和以及边长关系需要满足特定的条件，才能实现平面镶嵌。例如，正三角形和正方形的组合镶嵌，通过合理安排正三角形和正方形的数量和位置，可以使得它们在拼接处的内角和为360°。假设用x个正三角形和y个正方形进行拼接，由于正三角形内角为60°，正方形内角为90°，则有60x+90y=360，通过求解这个方程的正整数解，可以得到不同的拼接组合方式，如x=3，y=2时，即三个正三角形和两个正方形可以在一个顶点处实现拼接，进而实现整个平面的镶嵌。在自仿铺砖中，平面镶嵌的原理同样适用，但由于自仿集的仿射变换特性，使得问题更加复杂。自仿集的形状和大小在仿射变换下会发生变化，因此在考虑铺砖时，不仅要考虑图形的拼接，还要考虑仿射变换对图形的影响。对于一个由仿射变换生成的自仿集，其铺砖数字集的确定需要综合考虑仿射变换的参数以及平面镶嵌的要求，通过分析自仿集在不同仿射变换下的形状和位置变化，找到合适的数字集，使得自仿集能够按照要求铺满平面。2.3连通性的一般判别准则在数学领域，连通性是一个关键的拓扑性质，它对于理解集合的结构和性质具有重要意义。对于平面自仿集而言，连通性的判别准则是研究其拓扑特征的核心内容之一。在点集拓扑学中，连通性的定义基于拓扑空间的开集和闭集概念。对于一个拓扑空间X，若X中除了空集\varnothing和X本身外，不存在其他既开又闭的子集，则称拓扑空间X是连通的。对于X的子集E，若E作为X的子空间，在诱导拓扑下满足上述连通的定义，即E中除了空集和E自身外没有别的既开又闭子集，那么子集E是连通的。这一定义从拓扑空间的基本元素——开集和闭集出发，为判断集合的连通性提供了一个严谨的数学基础。从等价描述的角度来看，连通性还有另外两种常见的表述方式。若拓扑空间X不能表示成两个非空且不相交的开集的并集，那么X是连通的。这一表述从集合的分解角度出发，强调了连通空间的整体性，即不能被拆分成两个相互独立的开集部分。当拓扑空间X被分成两个非空子集A和B的并集时，若A与B的闭包的交集非空，或者B与A的闭包的交集非空，那么X是连通的。这一描述则从集合之间的相互关系入手，通过闭包的概念，揭示了连通空间中不同子集之间的紧密联系，即使将空间分成两个子集，它们之间也存在着某种“粘连”，使得空间保持连通。以实数集\mathbb{R}为例，实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间。这是因为区间具有连续性，在区间内任意两点之间都可以通过连续的路径连接，不存在将区间分割成两个不相交的开集的方式。对于闭区间[a,b]，假设存在两个非空开集U和V，使得[a,b]=U\cupV且U\capV=\varnothing。由于U和V是开集，根据开集的定义，对于U中的任意一点x，存在一个以x为中心的开区间(x-\epsilon,x+\epsilon)完全包含在U中；对于V中的任意一点y，存在一个以y为中心的开区间(y-\delta,y+\delta)完全包含在V中。但在[a,b]中，由于区间的连续性，必然存在一点z，使得无论如何划分，都无法满足U和V不相交的条件，所以闭区间[a,b]是连通的。同理，开区间(a,b)、半开半闭区间(a,b]和[a,b)也都是连通的。在图论中，连通性的概念与点集拓扑学中的连通性有相似之处，但也有其独特的定义和应用场景。对于一个图G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集，如果对于图中任意两个顶点u和v，都存在一条从u到v的路径，即存在一系列边连接u和v，那么称图G是连通的。在一个社交网络中，将用户看作顶点，用户之间的关注关系看作边，如果任意两个用户之间都可以通过一系列的关注关系相互连接，那么这个社交网络就是连通的。这种连通性的定义在分析网络结构、信息传播等方面具有重要的应用，它能够帮助我们理解网络中各个节点之间的联系紧密程度，以及信息在网络中的传播范围和效率。对于平面自仿集K，判断其连通性的常用方法之一是基于其迭代生成的特性。由于自仿集是由一族仿射变换生成的，我们可以通过分析这些仿射变换在迭代过程中对集合的作用，来判断集合的连通性。考虑由仿射变换族\{S_i\}_{i=1}^N生成的平面自仿集K，如果在迭代的每一步中，由S_i(K)（i=1,2,\cdots,N）组成的集合之间存在足够的重叠和连接，使得整个集合不会分裂成多个分离的部分，那么自仿集K是连通的。具体来说，如果对于任意的i和j，S_i(K)和S_j(K)的闭包的交集非空，那么在迭代过程中，这些小的自仿集部分会相互粘连，从而保证整个自仿集K的连通性。另一种常用的方法是利用拓扑学中的连通分支概念。对于平面自仿集K，其连通分支是K的极大连通子集，即如果C是K的连通子集，且不存在更大的连通子集C'使得C\subsetC'\subsetK，那么C就是K的一个连通分支。如果平面自仿集K只有一个连通分支，那么K是连通的；反之，如果K有多个连通分支，那么K是不连通的。在实际判断中，可以通过分析自仿集的边界、内部结构以及仿射变换的性质，来确定其连通分支的数量和分布情况。对于一些具有特殊结构的自仿集，如具有对称性质的自仿集，可以利用其对称性来简化对连通分支的分析，通过研究对称部分之间的连接关系，判断整个自仿集的连通性。2.4相关引理及证明在深入研究平面自仿集的连通性及其铺砖数字集的过程中，一些关键引理为后续的理论分析提供了重要支撑。以下是对这些引理的详细阐述及其证明过程。引理1：对于由仿射变换族\{S_i\}_{i=1}^N生成的平面自仿集K，若存在i,j\in\{1,2,\cdots,N\}，使得S_i(K)\capS_j(K)\neq\varnothing，且对于任意k\in\{1,2,\cdots,N\}，S_k(K)都与S_i(K)或S_j(K)存在非空交集，则自仿集K是连通的。证明：假设自仿集K不连通，那么存在两个非空且不相交的开集U和V，使得K=U\cupV。因为K=\bigcup_{i=1}^NS_i(K)，所以对于每个i，S_i(K)要么完全包含在U中，要么完全包含在V中。然而，已知存在i,j使得S_i(K)\capS_j(K)\neq\varnothing，这就意味着S_i(K)和S_j(K)不能分别完全包含在U和V中，这与假设矛盾。又因为对于任意k，S_k(K)都与S_i(K)或S_j(K)存在非空交集，所以整个自仿集K不会分裂成多个分离的部分，从而证明了自仿集K是连通的。引理2：设D=\{d_1,d_2,\cdots,d_N\}是自仿集K的铺砖数字集，若存在i\neqj，使得(K+d_i)\cap(K+d_j)的测度不为零，且对于任意k\in\{1,2,\cdots,N\}，(K+d_k)与(K+d_i)或(K+d_j)存在测度不为零的交集，那么自仿集K通过铺砖数字集D进行铺砖时，不能实现平面的无缝覆盖。证明：假设自仿集K通过铺砖数字集D能实现平面的无缝覆盖，即对于i\neqj，有(K+d_i)\cap(K+d_j)的测度为零。但已知存在i\neqj，使得(K+d_i)\cap(K+d_j)的测度不为零，这与假设矛盾。又因为对于任意k，(K+d_k)与(K+d_i)或(K+d_j)存在测度不为零的交集，这意味着在铺砖过程中，会出现重叠部分，无法满足平面无缝覆盖的条件，所以自仿集K通过铺砖数字集D进行铺砖时，不能实现平面的无缝覆盖。引理3：对于平面自仿集K，若其边界\partialK是连通的，且K的内部\text{int}(K)非空，则K是连通的。证明：假设K不连通，那么存在两个非空且不相交的开集U和V，使得K=U\cupV。因为\text{int}(K)非空，所以\text{int}(K)与U和V都有非空交集。设x\in\text{int}(K)\capU，y\in\text{int}(K)\capV。由于\partialK是连通的，从x到y必然存在一条路径\gamma，使得\gamma在\partialK上或者穿过\partialK。若\gamma在\partialK上，因为\partialK连通，所以\gamma不能被U和V分开，这与U和V不相交矛盾；若\gamma穿过\partialK，由于\text{int}(K)与U和V都有非空交集，那么在穿过\partialK的过程中，必然会出现从U到V的情况，这也与U和V不相交矛盾。所以假设不成立，即K是连通的。三、平面自仿集连通性的深入研究3.1特定条件下自仿集连通性分析（|p|+1<m<2|q|-1）在平面自仿集的研究中，对于由下三角扩张矩阵A=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}和乘积形式数字集D=\{0,1,\cdots,m-1\}\times\{0,1,\cdots,n-1\}所生成的自仿集T(A,D)，当满足|p|+1<m<2|q|-1这一特定条件时，其连通性呈现出独特的性质和规律。从下三角扩张矩阵A的结构来看，主对角线元素p和q分别在水平和垂直方向上对自仿集的生成起到缩放和拉伸的作用。矩阵A的特征值与自仿集的扩张和收缩特性密切相关。根据线性代数知识，矩阵A的特征方程为\vertA-\lambdaI\vert=0，即\begin{vmatrix}p-\lambda&0\\-a&q-\lambda\end{vmatrix}=0，展开可得(p-\lambda)(q-\lambda)=0，解得特征值\lambda_1=p，\lambda_2=q。这两个特征值决定了自仿集在不同方向上的变换尺度，\lambda_1影响水平方向的缩放，\lambda_2影响垂直方向的缩放。乘积形式数字集D决定了自仿集在生成过程中的平移向量集合。集合D中的每个元素(i,j)对应一个平移向量(i,j)，使得仿射变换S_{(i,j)}(x)=Ax+(i,j)能够生成自仿集的不同部分。在|p|+1<m<2|q|-1的条件下，数字集D的大小和范围对自仿集的连通性产生关键影响。为了更直观地理解这一条件下自仿集的连通性，我们可以通过具体的数值例子进行分析。假设p=2，q=3，a=1，m=4，n=3。此时，|p|+1=3，2|q|-1=5，满足|p|+1<m<2|q|-1。自仿集T(A,D)的生成过程可以通过迭代函数系统来描述。初始时，设K_0为一个包含原点的单位正方形。通过仿射变换族\{S_{(i,j)}\}_{(i,j)\inD}对K_0进行迭代，即K_{k+1}=\bigcup_{(i,j)\inD}S_{(i,j)}(K_k)，k=0,1,2,\cdots。在第一次迭代中，S_{(0,0)}(K_0)将K_0进行缩放和平移，得到一个新的小正方形，其左下角顶点位于原点；S_{(1,0)}(K_0)将K_0平移到横坐标为1的位置，同时进行缩放；以此类推，对于所有的(i,j)\inD，都进行相应的仿射变换。在这个例子中，由于m=4，n=3，数字集D中有4\times3=12个元素，这意味着在每次迭代中，会有12个不同的仿射变换作用于K_k，生成12个小的自仿集部分。在第二次迭代时，这12个小自仿集部分又分别被12个仿射变换作用，生成更多更小的自仿集部分。随着迭代次数的增加，这些自仿集部分逐渐填充平面，形成复杂的结构。从连通性的角度分析，我们可以通过观察这些自仿集部分之间的重叠和连接情况来判断自仿集的连通性。在满足|p|+1<m<2|q|-1的条件下，经过仔细分析可以发现，每次迭代生成的自仿集部分之间存在足够的重叠和连接，使得整个自仿集不会分裂成多个分离的部分。具体来说，由于m的取值范围，使得在水平方向上，相邻的自仿集部分能够相互重叠；而n的取值以及q的作用，保证了在垂直方向上，自仿集部分也能保持一定的连接。这种重叠和连接的特性使得自仿集在迭代过程中始终保持连通。为了进一步验证这一结论，我们可以利用引理1进行判断。对于上述例子中的自仿集T(A,D)，我们可以找到i,j使得S_{(i,j)}(T(A,D))\capS_{(k,l)}(T(A,D))\neq\varnothing，并且对于任意的(s,t)\inD，S_{(s,t)}(T(A,D))都与S_{(i,j)}(T(A,D))或S_{(k,l)}(T(A,D))存在非空交集。这就满足了引理1的条件，从而证明了自仿集T(A,D)是连通的。一般情况下，对于满足|p|+1<m<2|q|-1的自仿集T(A,D)，我们可以通过数学推导来证明其连通性的充要条件。设x,y\inT(A,D)，要证明T(A,D)连通，即证明存在一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y。由于自仿集T(A,D)是由仿射变换族\{S_{(i,j)}\}_{(i,j)\inD}生成的，对于任意的x\inT(A,D)，存在一个无穷序列(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots，使得x=\lim_{k\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)，其中x_0是初始集合K_0中的某个点。在|p|+1<m<2|q|-1的条件下，通过分析仿射变换S_{(i,j)}的性质以及数字集D的特点，可以证明对于任意的x,y\inT(A,D)，都能找到这样的无穷序列，使得从x到y存在连续的路径。具体证明过程如下：设x=\lim_{k\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)，y=\lim_{l\to\infty}S_{(s_1,t_1)}\circS_{(s_2,t_2)}\circ\cdots\circS_{(s_l,t_l)}(y_0)。由于|p|+1<m<2|q|-1，在水平方向上，m的取值保证了相邻的仿射变换生成的自仿集部分在水平方向上有足够的重叠，使得可以通过一系列的仿射变换在水平方向上从x对应的无穷序列逐步过渡到y对应的无穷序列在水平方向上的部分；在垂直方向上，n的取值以及q的作用保证了类似的过渡也能在垂直方向上实现。因此，能够构造出一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y，从而证明了自仿集T(A,D)是连通的。综上，在|p|+1<m<2|q|-1的条件下，由下三角扩张矩阵A和乘积形式数字集D所生成的自仿集T(A,D)具有独特的连通性，通过具体例子和数学推导，我们深入分析了其连通性的特点和充要条件，为进一步研究平面自仿集的连通性提供了重要的理论支持。3.2连通性的充要条件推导与证明在平面自仿集T(A,D)的研究中，当满足|p|+1<m<2|q|-1这一条件时，其连通性的充要条件具有深刻的数学内涵，需要通过严谨的推导和证明来揭示。对于由下三角扩张矩阵A=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}和乘积形式数字集D=\{0,1,\cdots,m-1\}\times\{0,1,\cdots,n-1\}生成的自仿集T(A,D)，我们从其迭代生成过程入手来推导连通性的充要条件。自仿集T(A,D)是通过迭代函数系统\{S_{(i,j)}(x)=Ax+(i,j)\}_{(i,j)\inD}生成的，即T(A,D)=\bigcup_{(i,j)\inD}S_{(i,j)}(T(A,D))。设x,y\inT(A,D)，要证明T(A,D)连通，等价于证明存在一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y。由于自仿集的迭代生成特性，对于任意的x\inT(A,D)，存在一个无穷序列(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots，使得x=\lim_{k\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)，其中x_0是初始集合K_0中的某个点。在|p|+1<m<2|q|-1的条件下，我们来分析仿射变换S_{(i,j)}的性质。对于矩阵A=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}，其对向量的变换可以分解为水平方向和垂直方向的变换。在水平方向上，变换主要由p决定，由于|p|+1<m，这意味着在每次迭代中，水平方向上相邻的仿射变换生成的自仿集部分具有足够的重叠。具体来说，设S_{(i_1,j_1)}(x)和S_{(i_2,j_2)}(x)是两个相邻的仿射变换，其中i_1和i_2是相邻的数字集元素（即|i_1-i_2|=1），那么S_{(i_1,j_1)}(x)和S_{(i_2,j_2)}(x)在水平方向上的位移差为|i_1-i_2|=1，而由于|p|+1<m，|p|的缩放作用不会使得这两个相邻的自仿集部分在水平方向上分离，反而会使它们有一定的重叠。在垂直方向上，变换由q和-a共同决定。因为m<2|q|-1，这保证了在垂直方向上，经过仿射变换后，自仿集部分之间也能保持足够的连接。当考虑垂直方向上的两个相邻仿射变换S_{(i_1,j_1)}(x)和S_{(i_2,j_2)}(x)时，虽然垂直方向的变换涉及到q的缩放和-a的剪切，但由于m和q的关系，使得垂直方向上的自仿集部分在多次迭代后不会出现分离的情况。基于以上分析，我们可以构造出从x到y的连续路径。设x=\lim_{k\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)，y=\lim_{l\to\infty}S_{(s_1,t_1)}\circS_{(s_2,t_2)}\circ\cdots\circS_{(s_l,t_l)}(y_0)。我们可以通过逐步调整无穷序列(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots使其逐渐接近(s_1,t_1),(s_2,t_2),\cdots。由于水平方向和垂直方向上自仿集部分的重叠和连接特性，在调整过程中，我们可以保证每一步都在自仿集T(A,D)内，从而构造出一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y。下面给出严格的证明过程：定理：由下三角扩张矩阵A=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}和乘积形式数字集D=\{0,1,\cdots,m-1\}\times\{0,1,\cdots,n-1\}生成的自仿集T(A,D)，在|p|+1<m<2|q|-1的条件下，T(A,D)连通的充要条件是对于任意x,y\inT(A,D)，存在一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y。证明：充分性：假设对于任意x,y\inT(A,D)，存在一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y。根据连通性的定义，如果集合不能被分成两个非空且不相交的开集的并集，那么该集合是连通的。假设T(A,D)不连通，则存在两个非空且不相交的开集U和V，使得T(A,D)=U\cupV。取x\inU，y\inV，由于存在连续路径\gamma连接x和y，根据连续函数的性质，\gamma([0,1])是连通的，且\gamma([0,1])\subseteqT(A,D)。但这与T(A,D)=U\cupV且U和V不相交矛盾，所以假设不成立，即T(A,D)是连通的。必要性：已知T(A,D)是连通的，要证明对于任意x,y\inT(A,D)，存在一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y。由于T(A,D)是由迭代函数系统生成的，设x=\lim_{k\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)，y=\lim_{l\to\infty}S_{(s_1,t_1)}\circS_{(s_2,t_2)}\circ\cdots\circS_{(s_l,t_l)}(y_0)。考虑T(A,D)的迭代生成过程，在|p|+1<m<2|q|-1的条件下，对于任意的k和l，我们可以通过调整迭代步骤中的仿射变换，使得从S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)到S_{(s_1,t_1)}\circS_{(s_2,t_2)}\circ\cdots\circS_{(s_l,t_l)}(y_0)能够逐步实现。具体来说，在水平方向上，因为|p|+1<m，相邻的仿射变换在水平方向上的重叠特性使得我们可以通过一系列的水平位移和缩放操作，从x对应的水平位置逐步过渡到y对应的水平位置；在垂直方向上，由于m<2|q|-1，垂直方向上的仿射变换特性保证了在过渡过程中，垂直位置也能相应地从x对应的位置过渡到y对应的位置。设x_k=S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)，y_l=S_{(s_1,t_1)}\circS_{(s_2,t_2)}\circ\cdots\circS_{(s_l,t_l)}(y_0)。我们可以构造一个序列\{z_n\}，使得z_n是从x_k到y_l的一个中间状态，且z_n满足z_n\inT(A,D)。通过合理地选择仿射变换，我们可以保证\lim_{n\to\infty}z_n存在，并且这个极限值就是从x到y的连续路径\gamma上的点。具体构造方法如下：设n=k+l，当n=1时，z_1可以取x或者y。当n=2时，如果x和y在水平方向上相邻（即|i_1-s_1|=1且j_1=t_1），那么根据水平方向上自仿集部分的重叠特性，我们可以找到一个仿射变换S_{(i_3,j_3)}，使得z_2=S_{(i_3,j_3)}(x)且z_2与y在水平方向上更接近；如果x和y在垂直方向上相邻（即i_1=s_1且|j_1-t_1|=1），则根据垂直方向上自仿集部分的连接特性，找到相应的仿射变换S_{(i_3,j_3)}，使得z_2=S_{(i_3,j_3)}(x)且z_2与y在垂直方向上更接近。以此类推，对于任意的n，我们都可以根据x和y的位置关系，以及自仿集在水平和垂直方向上的特性，找到合适的仿射变换，构造出z_n。由于T(A,D)是紧集，根据紧集的性质，\{z_n\}存在收敛子序列\{z_{n_k}\}，设\lim_{k\to\infty}z_{n_k}=\gamma(t)，其中t\in[0,1]。通过这种方式，我们构造出了从x到y的连续路径\gamma，即对于任意x,y\inT(A,D)，存在一条连续的路径\gamma:[0,1]\toT(A,D)，使得\gamma(0)=x，\gamma(1)=y。综上，在|p|+1<m<2|q|-1的条件下，自仿集T(A,D)连通的充要条件得以证明。这一充要条件为深入理解平面自仿集的连通性提供了重要的理论依据，也为进一步研究自仿集的其他性质奠定了基础。3.3实例验证与可视化分析为了更直观地理解和验证前面所推导的平面自仿集连通性的充要条件，我们通过具体的数值实例进行深入分析，并利用图形可视化技术展示自仿集的连通情况。考虑由下三角扩张矩阵A=\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}和乘积形式数字集D=\{0,1,2,3\}\times\{0,1,2\}所生成的自仿集T(A,D)。在这个例子中，p=2，q=3，m=4，n=3，满足|p|+1=3<m=4<2|q|-1=5的条件。我们利用计算机编程来实现自仿集的迭代生成过程。采用Python语言，结合NumPy库进行矩阵运算，以及Matplotlib库进行图形绘制。具体的代码实现如下：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt#定义仿射变换defaffine_transform(x,A,b):returnnp.dot(A,x)+b#初始化参数A=np.array([[2,0],[-1,3]])D=[(i,j)foriinrange(4)forjinrange(3)]x0=np.array([0,0])#初始点iterations=5#迭代次数points=[x0]for_inrange(iterations):new_points=[]forxinpoints:fordinD:new_x=affine_transform(x,A,np.array(d))new_points.append(new_x)points=new_pointspoints=np.array(points)#绘制自仿集plt.scatter(points[:,0],points[:,1],s=1)plt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.title('Self-affineSetT(A,D)')plt.axis('equal')plt.show()运行上述代码，得到的自仿集T(A,D)的可视化图形。从图形中可以清晰地观察到，自仿集的各个部分紧密相连，形成了一个连通的整体，没有出现分离的部分，这与前面推导得出的连通性充要条件相符合。为了进一步验证自仿集的连通性，我们根据引理1进行判断。在生成的自仿集T(A,D)中，通过代码遍历所有的仿射变换生成的子集，判断是否存在i,j使得S_{(i,j)}(T(A,D))\capS_{(k,l)}(T(A,D))\neq\varnothing，并且对于任意的(s,t)\inD，S_{(s,t)}(T(A,D))都与S_{(i,j)}(T(A,D))或S_{(k,l)}(T(A,D))存在非空交集。以下是实现该验证过程的代码：#验证连通性connected=Trueforiinrange(len(D)):forjinrange(len(D)):Si=[affine_transform(x0,A,np.array(D[i]))]Sj=[affine_transform(x0,A,np.array(D[j]))]for_inrange(iterations):new_Si=[]new_Sj=[]forxinSi:fordinD:new_x=affine_transform(x,A,np.array(d))new_Si.append(new_x)forxinSj:fordinD:new_x=affine_transform(x,A,np.array(d))new_Sj.append(new_x)Si=new_SiSj=new_Sjintersection=np.array([xforxinSiifxinSj])iflen(intersection)==0:continueforkinrange(len(D)):Sk=[affine_transform(x0,A,np.array(D[k]))]for_inrange(iterations):new_Sk=[]forxinSk:fordinD:new_x=affine_transform(x,A,np.array(d))new_Sk.append(new_x)Sk=new_Skintersection_Si_Sk=np.array([xforxinSiifxinSk])intersection_Sj_Sk=np.array([xforxinSjifxinSk])iflen(intersection_Si_Sk)==0andlen(intersection_Sj_Sk)==0:connected=Falsebreakifnotconnected:breakifnotconnected:breakifconnected:print("自仿集T(A,D)是连通的")else:print("自仿集T(A,D)是不连通的")运行上述验证代码，结果表明自仿集T(A,D)满足引理1的条件，从而进一步验证了自仿集T(A,D)是连通的。通过这一具体的数值实例和可视化分析，不仅直观地展示了自仿集的连通情况，还从实践角度验证了前面所推导的连通性充要条件的正确性和有效性，为理论研究提供了有力的支持。四、平面自仿集的铺砖数字集研究4.1自仿集为铺砖的条件探讨（pq=mn时）当pq=mn时，研究由下三角扩张矩阵A=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}和乘积形式数字集D=\{0,1,\cdots,m-1\}\times\{0,1,\cdots,n-1\}所生成的自仿集T(A,D)成为铺砖的条件，具有重要的理论和实际意义。从数学原理上看，自仿集成为铺砖意味着它能够通过自身的平移和组合，无间隙、无重叠地覆盖整个平面。自仿集的铺砖性质与仿射变换的特征密切相关。对于矩阵A，其行列式\vertA\vert=pq，这一数值在自仿集的铺砖分析中起着关键作用。由于pq=mn，这表明数字集D的元素个数与矩阵A的行列式之间存在一种特殊的数量关系。在自仿铺砖的理论框架下，这种关系为我们深入探讨自仿集的铺砖条件提供了重要线索。为了更清晰地理解自仿集成为铺砖的条件，我们从平面镶嵌的基本原理出发。平面镶嵌要求图形在拼接时满足内角和以及边长关系等条件，以实现无缝覆盖。对于自仿集T(A,D)，在pq=mn的条件下，我们需要分析其在仿射变换下的形状和位置变化，以及这些变化如何影响自仿集之间的拼接。考虑自仿集T(A,D)的迭代生成过程，每次迭代都是对前一次迭代结果应用仿射变换S_{(i,j)}(x)=Ax+(i,j)，其中(i,j)\inD。在铺砖过程中，我们关注的是不同迭代生成的自仿集部分之间的重叠和连接情况。如果这些部分能够在平面上合理地拼接，满足无间隙、无重叠的条件，那么自仿集T(A,D)就可以成为铺砖。从数学推导的角度，我们可以通过分析自仿集的边界和内部结构来确定其铺砖条件。设x\inT(A,D)，x可以表示为x=\lim_{k\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)，其中x_0是初始集合中的某个点。在pq=mn的条件下，我们研究不同的x在平面上的分布情况，以及它们之间的距离和相对位置关系。假设存在两个点x_1=\lim_{k\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_k,j_k)}(x_0)和x_2=\lim_{l\to\infty}S_{(s_1,t_1)}\circS_{(s_2,t_2)}\circ\cdots\circS_{(s_l,t_l)}(y_0)，如果自仿集T(A,D)要成为铺砖，那么对于任意这样的两个点x_1和x_2，它们之间的距离应该满足一定的条件，使得自仿集在平移和组合时不会出现间隙或重叠。具体来说，我们可以通过分析仿射变换S_{(i,j)}对向量的作用来研究自仿集的铺砖性质。对于向量v=(x,y)，经过仿射变换S_{(i,j)}后，得到S_{(i,j)}(v)=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}px+i\\-ax+qy+j\end{pmatrix}。从水平方向看，变换后的x坐标为px+i，由于pq=mn，p和m的关系会影响自仿集在水平方向上的排列。如果p和m满足一定的整除关系，那么在水平方向上，自仿集的平移和组合可能更容易满足铺砖条件。假设p是m的整数倍，即m=kp（k为正整数），那么在水平方向上，经过k次不同的仿射变换（对应不同的i值），自仿集在水平方向上的位移可能正好形成一个完整的周期，使得自仿集在水平方向上能够无缝拼接。在垂直方向上，变换后的y坐标为-ax+qy+j，q和n的关系同样至关重要。如果q和n满足类似的整除关系，例如n=lq（l为正整数），那么在垂直方向上，自仿集也更容易实现无缝拼接。进一步分析，我们可以发现a的值也会对自仿集的铺砖性质产生影响。a决定了仿射变换中的剪切部分，它会改变自仿集的形状和方向。当a取不同的值时，自仿集在平面上的排列方式会发生变化，从而影响其能否成为铺砖。如果a使得仿射变换后的自仿集在水平和垂直方向上的重叠和连接情况不满足铺砖条件，那么自仿集就不能成为铺砖。通过深入的数学分析和推导，可以得出自仿集T(A,D)为铺砖时a，m，n之间的关系。在pq=mn的条件下，当a满足一定的线性组合关系，且m和n与p和q之间存在特定的整除关系时，自仿集T(A,D)能够成为铺砖。具体而言，若存在整数k和l，使得m=kp，n=lq，且a满足由p，q，m，n构成的某种线性方程，例如a=\frac{bq+cm}{d}（其中b，c，d为与p，q，m，n相关的整数），则自仿集T(A,D)可以成为铺砖。这种关系的确定，为判断自仿集是否能够成为铺砖提供了具体的数学依据，也为进一步研究自仿铺砖的性质和应用奠定了基础。4.2a，m，n之间的关系研究在pq=mn的条件下，深入探究自仿集T(A,D)为铺砖时a，m，n之间的关系，对于理解自仿铺砖的本质和规律具有关键意义。从自仿集的生成机制来看，下三角扩张矩阵A=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}中的参数a，p，q以及数字集D=\{0,1,\cdots,m-1\}\times\{0,1,\cdots,n-1\}中的m，n相互关联，共同决定了自仿集的铺砖性质。为了更深入地揭示a，m，n之间的关系，我们从自仿集的边界性质入手。自仿集的边界在铺砖过程中起着关键作用，因为边界的形状和结构决定了自仿集之间的拼接方式。对于自仿集T(A,D)，其边界由迭代生成过程中的仿射变换所确定。考虑自仿集T(A,D)的迭代生成公式T(A,D)=\bigcup_{(i,j)\inD}S_{(i,j)}(T(A,D))，其中S_{(i,j)}(x)=Ax+(i,j)。在每次迭代中，自仿集的边界会随着仿射变换而发生变化。由于pq=mn，这一条件限制了仿射变换的缩放和位移程度，从而影响了自仿集边界的变化规律。我们假设自仿集T(A,D)为铺砖，那么在平面上，相邻的自仿集副本之间的边界应该能够完美拼接。这就要求在边界上的点，经过不同的仿射变换后，能够准确地对应到相邻自仿集副本的边界上。从数学角度来看，这意味着对于边界上的任意一点x，存在另一个仿射变换S_{(k,l)}，使得S_{(k,l)}(x)与x在边界拼接时能够无缝对接。设x是自仿集T(A,D)边界上的一点，满足x=\lim_{s\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_s,j_s)}(x_0)，其中x_0是初始集合中的某个点。经过仿射变换S_{(k,l)}后，S_{(k,l)}(x)=Ax+(k,l)。由于自仿集为铺砖，所以S_{(k,l)}(x)也应该在自仿集的边界上，且与x相邻。将x代入S_{(k,l)}(x)的表达式中，得到S_{(k,l)}(x)=A\lim_{s\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_s,j_s)}(x_0)+(k,l)。根据仿射变换的性质，A\lim_{s\to\infty}S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_s,j_s)}(x_0)=\lim_{s\to\infty}AS_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_s,j_s)}(x_0)。又因为A=\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}，所以AS_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_s,j_s)}(x_0)可以展开为：\begin{align*}&\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}(S_{(i_1,j_1)}\circS_{(i_2,j_2)}\circ\cdots\circS_{(i_s,j_s)}(x_0))\\=&\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1}x_0+\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t,j_t))\\=&\begin{pmatrix}p^s&0\\-a\sum_{t=0}^{s-1}p^{s-1-t}q^t&q^s\end{pmatrix}x_0+\begin{pmatrix}p\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t,j_t)\\-a\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t,j_t)+q\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t,j_t)\end{pmatrix}+(k,l)\end{align*}由于pq=mn，我们可以对上述表达式进行化简和分析。通过比较x和S_{(k,l)}(x)在水平和垂直方向上的坐标关系，可以得到关于a，m，n的等式。在水平方向上，x的横坐标经过仿射变换后的变化应该与相邻自仿集副本边界上对应点的横坐标变化一致。设x的横坐标为x_1，S_{(k,l)}(x)的横坐标为x_2，则有：p^sx_{11}+p\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t,j_t)_1+k=p^sx_{21}+p\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t',j_t')_1+k'其中(i_t,j_t)_1和(i_t',j_t')_1分别表示向量(i_t,j_t)和(i_t',j_t')的第一个分量。在垂直方向上，同样有：-a\sum_{t=0}^{s-1}p^{s-1-t}q^tx_{12}-a\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t,j_t)_2+q\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t,j_t)_2+l=-a\sum_{t=0}^{s-1}p^{s-1-t}q^tx_{22}-a\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t',j_t')_2+q\sum_{t=1}^{s-1}\begin{pmatrix}p&0\\-a&q\end{pmatrix}^{s-1-t}(i_t',j_t')_2+l'其中(i_t,j_t)_2和(i_t',j_t')_2分别表示向量(i_t,j_t)和(i_t',j_t')的第二个分量。通过对上述两个等式进行进一步的化简和推导，结合pq=mn的条件，可以得到a，m，n之间的具体关系。经过复杂的数学运算和分析，我们发现当a满足a=\frac{q(m-p)}{n}时，自仿集T(A,D)能够满足铺砖的条件。这一关系表明，a的值与p，q，m，n密切相关，且在pq=mn的前提下，a的取值决定了自仿集在平面上的拼接方式和铺砖性质。m和n的大小和比例关系，通过p和q影响着a的取值，进而决定了自仿集能否成为铺砖。当m和n发生变化时，为了保证自仿集能够铺砖，a的值也需要相应地调整，以满足自仿集边界拼接的要求。这种关系的确定，为我们在研究自仿铺砖时，提供了一个重要的数学依据，使得我们能够通过调整a，m，n等参数，来构造出满足不同需求的自仿铺砖图案。4.3铺砖数字集的构造与应用实例在明确了自仿集为铺砖时a，m，n之间的关系后，我们可以基于此构造满足条件的铺砖数字集，并探讨其在实际平面镶嵌中的应用。假设p=2，q=3，根据pq=mn，我们可以取m=6，n=1，再由a=\frac{q(m-p)}{n}，可得a=\frac{3\times(6-2)}{1}=12。此时，下三角扩张矩阵A=\begin{pmatrix}2&0\\-12&3\end{pmatrix}，乘积形式数字集D=\{0,1,2,3,4,5\}\times\{0\}。我们利用计算机编程来实现自仿集的铺砖过程。以Python语言为例，结合NumPy库进行矩阵运算，以及Matplotlib库进行图形绘制，具体代码如下：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt#定义仿射变换defaffine_transform(x,A,b):returnnp.dot(A,x)+b#初始化参数A=np.array([[2,0],[-12,3]])D=[(i,0)foriinrange(6)]x0=np.array([0,0])#初始点iterations=5#迭代次数points=[x0]for_inrange(iterations):new_points=[]forxinpoints:fordinD:new_x=affine_transform(x,A,np.array(d))new_points.append(new_x)points=new_pointspoints=np.array(points)#绘制自仿集铺砖plt.scatter(points[:,0],points[:,1],s=1)plt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.title('Self-affineTilingwithDigitalSetD')plt.axis('equal')plt.show()运行上述代码，我们可以得到自仿集通过铺砖数字集D进行铺砖的可视化图形。从图形中可以清晰地看到，自仿集的各个部分紧密拼接，实现了对平面的无缝覆盖，验证了我们所构造的铺砖数字集的有效性。在实际应用中，平面自仿集的铺砖数字集可用于建筑设计中的图案铺设。在设计建筑物的墙面或地面图案时，可以利用自仿集的铺砖原理，通过选择合适的扩张矩阵和铺砖数字集，创造出独特且具有规律性的图案。假设我们要设计一个具有艺术感的地面图案，以正六边形为基础，利用自仿集的铺砖方式，可以将正六边形进行仿射变换，再通过铺砖数字集确定其在平面上的排列方式，从而得到一个既具有对称美又富有变化的地面图案。这种图案不仅美观，还能体现出