数值分析第一章

第一章数值分析与科学计算引论11.1数值分析对象、作用与特点

许多科学问题的解决都离不开科学计算。本门课程将着重绍进行科学计算所必须掌握的一些最基本、最常用的算法,并分析其误差。

数值分析包括：函数的数值逼近；数值积分与数值微分；非线性方程的数值解法；数值线性代数；微分方程的数值解法。21.2

数值计算的误差1.来源与分类/*Source&Classification*/

从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差/*ModelingError*/

通过测量得到模型中参数的值

——观测误差/*MeasurementError*/

求近似解——方法误差(截断误差/*TruncationError*/)

机器字长有限——舍入误差/*RoundoffError*/数值分析讨论后两个误差。32.误差与有效数字1.2

数值计算的误差

绝对误差/*absoluteerror*/其中x为精确值，x*为x的近似值。，例如：工程上常记为，称为绝对误差限/*accuracy*/，的上限记为

相对误差/*relativeerror*/x的相对误差上限/*relativeaccuracy*/

定义为4

有效数字/*significantdigits*/用科学计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。例问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有4位有效数字，精确到小数点后第3位。1.2

数值计算的误差5

有效数字与相对误差的关系

有效数字

相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为1.2

数值计算的误差6

相对误差限

有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。1.2

数值计算的误差7大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流8例：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设

*取到n位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取

*=3.14159。1.2

数值计算的误差9分析：e*(y)=f(x*)

f(x)e*(x)=x*x=f’(

)(x*x)x*与x非常接近时，可认为f’(

)

f’(x*)，则有：

|e*(y)|

|f’(x*)|·|e*(x)|即：x*产生的误差经过f作用后被放大/缩小了|f’(x*)|倍。故称|f’(x*)|为放大因子/*amplificationfactor*/或

绝对条件数/*absoluteconditionnumber*/.问题：对于y=f(x)，若用x*取代x，将对y产生什么影响？1.2

数值计算的误差10例:计算y=lnx。若x

20，则取x

的几位有效数字可保证y

的相对误差<0.1%?解：设截取

n

位有效数字后得x*

x，则

n4估计x

和y

的相对误差上限满足近似关系1.2

数值计算的误差11算法的数值稳定性

用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.

1.3避免误差危害的若干原则12病态问题与条件数

对一个数值问题本身,如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病态问题.

例如计算函数值时，若有扰动，其相对误差为，函数值的相对误差为1.3避免误差危害的若干原则13（3.3）

称为计算函数值问题的条件数.相对误差比值

自变量相对误差一般不会太大，如果条件数很大，将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题.1.3避免误差危害的若干原则14

例如，，它表示相对误差可能放大倍.

如，有，

自变量相对误差为，函数值相对误差为，

一般情况下,条件数就认为是病态，越大病态越严重.则有若取这时问题可以认为是病态的.1.3避免误差危害的若干原则151.避免相近二数相减2.避免小分母:分母小会造成浮点溢出3.避免大数吃小数4.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累5.选用稳定的算法1.3避免误差危害的若干原则16

算法设计的好坏不但影响计算结果的精度，还可以大量节省计算时间.1.4数值计算中算法设计的技术

一个计算问题如果能减少运算次数，不但可以及减少计算量还可以减少误差，这是算法设计中一个重要原则.

多项式求值的秦九韶算法

以多项式求值为例，设给定次多项式求处的值.17可表示为（4.1）

若直接计算再相加，共需做次乘法和次加法.

若采用则即为所求.这就是秦九韶算法.

用它计算次多项式的值只用次乘法和次加法,且只用个存储单元，这是计算多项式最好的方法.1.4数值计算中算法设计的技术18

秦九韶算法的另一个好处是求在点的值.由（4.1）式有其中对求导得故.从而得用秦九韶算法计算的算法如下：1.4数值计算中算法设计的技术19此处

例11设