九年级数学练习ei专题6 与切线有关的辅助线

第27章

圆专题6与切线有关的辅助线1答案呈现温馨提示：点击进入讲评2345678类型1明公共点：连半径，证垂直方法1特殊角计算法证垂直1.如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由.返回

【解】PD与⊙O相切.理由如下：连结PO.由圆周角定理得∠AOP＝2∠ACP＝120°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.∵PA＝PD，∴∠OAP＝∠D＝30°.∴∠OPD＝180°－(∠OAP＋∠OPA)－∠D＝90°，∴OP⊥PD.又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切.方法2等角代换法证垂直2.[2025广安]如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点E在BC的延长线上，连结AE，∠ABE＝∠CAE.(1)求证：AE是⊙O的切线.(2)过点C作CD⊥AE，垂足为D，若△ABC的面积是△ADC面积的3倍，CE＝12，求AE的长.(1)【证明】如图所示，连结OA，∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠ABE.∵∠ABE＝∠CAE，∴∠OAB＝∠CAE.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠OAC＋∠CAE＝∠OAC＋∠OAB＝∠BAC＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE.又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线.返回方法3平行线性质法证垂直3.如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连结BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D.求证：(1)BE＝CE；(2)EF为⊙O的切线.【证明】(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴易得∠EAM＝∠EBC.∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM.又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM.∴∠BCE＝∠EBC.∴BE＝CE.(2)如图，连结EO并延长，交BC于点H，连结OB，OC.∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC.∴EH⊥BC.∵EF∥BC，∴EH⊥EF.又∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线.返回4.[2025长沙天心区期中]如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是

上一点，且BE平分∠ABC，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G.(1)求证：GF是⊙O的切线；(2)若AG＝4，GE＝8，求⊙O

的半径和EF的长.(1)【证明】如图，连结OE.∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2.∵OB＝OE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF.∵BF⊥GF，∴OE⊥GF.∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线.(2)【解】设OA＝OE＝r，则OG＝r＋4.由(1)得∠OEG＝90°.在Rt△GOE中，由OG2＝GE2＋OE2，可得(r＋4)2＝82＋r2，解得r＝6，即⊙O的半径为6，∴OG＝10.返回方法4勾股定理逆定理法证垂直5.[2025苏州一模]如图，C，D为线段AB上两点，且AD＝10，CD＝2，BC＝3，过点D作AB的垂线，与以AC为直径的⊙O交于点E，作射线BE.连结AE，CE.(1)求证：BE为⊙O的切线；(2)F为⊙O上一点，弦EF与直径AC交于点G，连结AF.当F为

的中点时，求AG的长.返回方法5全等三角形法证垂直6.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O交AB于点D，交OC于点E，延长AO交⊙O于点F，连结CD，CF，EF，ED.(1)求证：EF＝ED；(2)若CF是⊙O的切线，求证：

CD是⊙O的切线.返回类型2隐公共点：作垂直，证半径方法6角平分线性质法证半径7.[2025南昌模拟]如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.(1)求证：AC是⊙O的切线.(2)若⊙O的半径为3，则AD与DB的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

(1)【证明】如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连结OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.∴OE＝OD.∴OE是⊙O的半径.∴AC是⊙O的切线.返回方法7全等三角形法证半径8.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若BC＝6，tan∠ABC＝

，求AD的长.(1)【证明】过点O作OE⊥AB于点E，则∠OEB＝90°.∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°.∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°.∴∠OCB＝∠ADB.又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠CBD＝∠OAD