九年级数学练习ey专题一　求二次函数表达式的常用方法

第1章二次函数专题一求二次函数表达式的常用方法例1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过(0，－2)，(－1，0)，(1，－2)三点，求抛物线的表达式．解题秘方把(0，－2)，(－1，0)，(1，－2)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求解即可．解答【方法点拨】当已知三点坐标时，可利用一般式求解．变式1－1已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(0，2)和(1，2)两点．(1)求该二次函数的表达式和图象的对称轴．(2)当－1≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值．例2[2025杭州月考]已知某二次函数图象的顶点坐标是(0，1)，且经过点(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)判断点P(－2，－12)是否在这个二次函数的图象上．解题秘方(1)已知顶点坐标(0，1)，可设出顶点式y＝ax2＋1，然后把(1，－2)代入求出a的值即可得到表达式；(2)计算x＝－2时的函数值即可判断点P(－2，－12)是否在这个二次函数的图象上．【方法点拨】已知顶点坐标、对称轴、最值、纵坐标相同的两点的坐标，可利用顶点式求解．解答

(1)【解】∵二次函数图象的顶点坐标是(0，1)，∴设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋1(a≠0)．将(1，－2)代入y＝ax2＋1，得a＝－3，∴这个二次函数的表达式为y＝－3x2＋1.(2)把x＝－2代入y＝－3x2＋1，得y＝－3×(－2)2＋1＝－11≠－12，∴点P(－2，－12)不在这个二次函数的图象上．变式2－1已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且当x＝－1时，y取得最大值10，求该抛物线对应的函数表达式．【解】∵当x＝－1时，y取得最大值10，∴抛物线的顶点坐标为(－1，10)．∴该抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋1)2＋10.∵抛物线y＝a(x＋1)2＋10与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝－2.∴y＝－2(x＋1)2＋10.例3[2025杭州月考]已知一个二次函数的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，6)，求这个二次函数的表达式．解题秘方由二次函数的图象经过点A(1，0)，B(2，0)可设交点式y＝a(x－1)(x－2)，再将点C的坐标代入即可求解．【方法点拨】已知二次函数图象与x轴的两个交点和另一个点，可以利用交点式求解．解答【解】∵二次函数的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，∴设二次函数的表达式为y＝a(x－1)(x－2)(a≠0)，将点C(4，6)的坐标代入，得a(4－1)×(4－2)＝6，解得a＝1，∴这个二次函数的表达式为y＝(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2.变式3－1已知抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C.(1)a＝________，b＝________．－43例4已知点M(－3，m)，N(1，m)在抛物线C1：y＝x2＋bx＋3上，把该抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到抛物线C2.【方法点拨】二次函数图象的平移变化：抛物线y＝ax2＋bx＋c向左(右)平移m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x±m)2＋b(x±m)＋c；抛物线y＝a(x－h)2＋k向左(右)平移m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h±m)2＋k；抛物线y＝ax2＋bx＋c向上(下)平移n(n>0)个单位，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c±n；抛物线y＝a(x－h)2＋k向上(下)平移n(n>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h)2＋k±n.(1)b＝________，抛物线C2的表达式为_________________；解题秘方先根据对称性求出C1的对称轴，进而求出b的值，再根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；解答2y＝x2－6x＋6(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？

请说明理由．解题秘方根据二次函数的最值即可判断．【解】点P不能在抛物线C2上．理由：∵抛物线C2：y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3的开口向上，∴函数有最小值，为－3.∵－6＜－3，∴点P不能在抛物线C2上．变式4－1[2025绍兴月考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；【解】∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．把点C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)．(2)请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－2x上，并写出平移后相应的抛物线表达式．B1一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为(

)A．y＝－2(x＋2)2－4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－4B2一个二次函数的图象过(－1，5)，(1，1)和(3，5)三个点，则这个二次函数的表达式为(

)A．y＝－x2－2x＋2 B．y＝x2－2x＋2 C．y＝x2－2x＋1

D．y＝x2－2x－23将抛物线y＝x2－1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，新抛物线的表达式为(

)A．y＝(x－3)2－4 B．y＝(x＋3)2＋2C．y＝(x－3)2＋2 D．y＝(x＋3)2－4C5已知二次函数y＝ax2＋c，当x＝0时，y＝3，x＝－1时，y＝5.(1)求a，c的值．(2)当x＝－3时，求函数y的值．【解】由(1)知y＝2x2＋3，∴当x＝－3时，y＝2×(－3)2＋3＝2×9＋3＝21.6如图，二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴的正半轴上，若AB＝OC，求二次函数的表达式．【解】∵点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，∴AO＝1，OB＝4，∴AB＝AO＋OB＝1＋4＝5.∵AB＝OC，∴OC＝5，∴点C的坐标为(0，5)．7如图，已知直线y＝－2x＋m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．(1)求m的值；【解】把点A(1，4)的坐标代入y＝－2x＋m，得4＝－2＋m，解得m＝6.(2)求抛物线的表达式；【解】∵点A(1，4)为抛物线的顶点，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4.∵点B在x轴上且点B在直线y＝－2x＋6上∴B(3，0)．∵点B在y＝a(x－1)2＋4的图象上，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4.(3)连结OA，求△AOB的面积．8如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与原点重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2－4ax＋12(a<0)经过点D，B.(1)求抛物线的对称轴及点D的坐标；(2)证明：该抛物线一定经过点(4，12)；【证明】∵抛物线的对称轴是直线x＝2，∴点D(0，12)关于对称轴的对称点为(4，12)，∴该抛物线一定经过点(4，12)．(3)若BC＝2AB，将抛物线向右平移m个单位(m>0)后，新抛物线恰好经过点C，求m的值和新抛物线的表达式．【解】∵D(0，12)，∴AD＝12.∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝12.∵BC＝2AB，∴AB＝6，∴B(6，0)，C(6，12)．把点B(6，0)的坐标代入y＝ax2－4ax＋12(a<0)，得36a－24a＋12＝0，∴a＝－1，∴y＝－x2＋4x＋12＝－(x－2)2＋16，∴将抛物线向右平移m个单位(m>0)后的新抛物线的表达式为y＝－(x－2－m)2＋16.∵新抛物线恰好经过点C(6，12)，∴－(6－2－m)2＋16＝12，解得m