2025年湖南省名校联盟高一数学第二学期期末联考试题含解析

2025年湖南省名校联盟高一数学第二学期期末联考试题1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1.设函数f(x)=2cos²x+√3sin2x+a(a为常实数)在区间上的最小值为-4,则a的值等于()A.4B.-6A.8B.2A.150°B.90°标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A.B.a²>b²C.ab>b²6.甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为()A.85,85B.85,86C.7.等比数列{a}中，a₁a₂=2,aa₄=16,则公比9等于()A.2B.3C.488.圆的半径是6cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A.B.πcm²C.D.3πcm²,则在S.S₂…:S100中，正数的个数是()A.16B.72C.8610.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且边c=2,则△ABC面积的最大值为()二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。13.过点0(0,0)作直线与圆(x-4√5)²+(y-8)²=169相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为_·15.执行如图所示的程序框图，则输出的a=_·否是16.已知数列{a,}满足a₁=2,,则a₂=.;an=_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.18.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平(1)求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.(2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用最小值是多少?(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，(2)同一组数据用该区间的中点值作代表.(i)求这100人月薪收入的样本平均数一和样本方差-4;(ii)该校在某地区就业的本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费口=回-口=回-□-0.018,□+□+0.018),到600元，月薪落在区间一右侧的每人收取800元.方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方20.已知函(1)求f(x)的单调递增区间.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的【解析】,当时，,故a=-4.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质.【解析】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【详解】所以2a+4=0,解得：a=-2.故选：D此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.【解析】根据条件即可求出a·b=1,a²=4,b²=1,从而可求出a-5|=√(ā-b²=√3,,然后可设a-b与的夹角为θ,从而可求出,根据向量夹角的范围即可求出夹角.【详解】又0°9180°,∴θ=60°,故选C.本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角.【解析】根据函数y=Asin(ox+φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论.【详解】再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故g(x)的最大值为2,故A错误；显然，g(x)的最小正周期为2π,故B错误；当时，g(x)=-2,是最小值，故函数g(x)的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，],函数单调递减，故D错误，本题主要考查函数y=Asin(ox+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题.【解析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案.【详解】对于B、a=1,b=-2时，有a²<b²成立，故B对于C、a=1,b=-2时，有ab<b²成立，故C对于D、由不等式的性质分析可得若a>b,必有a³>b³成立，则D正确；本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可.【解析】根据茎叶图的数据，选择对应的众数和中位数即可.【详解】由图可知，甲同学成绩的众数是85;乙同学的中位数是本题考查由茎叶图计算数据的众数和中位数，属基础计算题.【解析】由题意利用等比数列的通项公式，求出公比9的值.【详解】解：等比数列{a,}中，a₁a₂=2,a₂a₄=16,∴故选：A.本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.【解析】先将15°化为弧度数，再利用扇形面积计算公式即可得出.【详解】题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.【解析】↑↑其终边两两关于x轴对称，故有S.S₂…:S₁₂均为正数，而S₁₃=S14=0,由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0,而S14-1=S14=0,其中k=1,2…,7,所以在S.S₂…:S10中有14个为0,其余都是正数，即正数共有100-14=86个，故选C.【解析】公式即可求解.【详解】∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC,可得,即,当且仅当a=b时成立.等号当a=b时成立.故选D.本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。【解析】利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出.【详解】【解析】【解析】∵O(0,0)在圆内部且圆心到0的距离为√80+64=12∴弦长为整数的直线的条数有：2×(25-10)+2=32条其中长度不超过14的条数有：2×(14-10)+1=9条按照程序框图运行程序，直到a的值满足a>100时，输出结果即可.所以本题答案为127.本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.令n=1代入可求得a₂;方程两边取倒数，构造出等差数列，即可得答案.本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见证明；(2)【解析】(1)要证异面直线垂直，即证线面垂直，本题需证AD⊥平面PAC(2)作AH⊥PC于点H,连接DH.∠AHD为二面角A-PC-D的平面角，在△DAH中解出sin∠AHD即可.(3)过点B作CD的平行线与线段AD相交，交点为F,连接BE,EF;计算出AF、BF,再在△EBF中利用∠EBF的余弦公式，解出EF,即可求出AE的长【详解】(1)证明：由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥A,又由AD⊥AC,PA∩AC=A,故AD⊥平面PAC.(2)如图，作AH⊥PC于点H,连接因此DHLPC,从而∠AHD为二面角A-PC-D的平面角.由此得(3)因为∠ADC<45°,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F,连接BE,EF;∴∠EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角；可得：由余弦定理，BF²=AB²+AF²-2AB·AF·cos∠FAB在Rt△EAB中，本题主要考查线线垂直、二面角的平面角、异面直线所成角的.属于中档题.18、(1);(2)该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元.【解析】【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用f(x)的函数(x≥12,x∈N),再应基本不等式求其最小值及取得极小值时x的值：解：设楼房每平方米的平均综合费用f(x),,当且仅当x=20时，等号取到.所以，当x=20时，最小值为5000元.(ii)方案一.【解析】(1)根据频率分布直方图求出前2组中的人数，由分层抽样得抽取的人数，然后把6人编号，可写出任取2人的所有组合，也可得出获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的所有组合，从而可计算出概率.(2)根据频率分布直方图计算出均值和方差，然后求出区间一，结合频率分布直方图可计算出两方案收取的费用.【详解】(1)第一组有0,2×0.1×100=2人，第二组有1.0×0.1×100=I人按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为一，第二组抽5人，记为□,□’口’口’□·从这6人中抽2人共有15种：获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率(2)(i)这100人月薪收入的样本平均数吉和样本方差□分别是2□²=0.02×(1.7-2)²+0.E0×(2.8-2)²+0:2(ii)方案一：月薪落在区间□左侧收活动费用约为(0.02+0.10)×400×50÷10000=0.24(万元);月薪落在区间□收活动费用约为(0.24+0.31+0.20)×600×50+10000=2.25(万元);月薪落在区间□右侧收活动费用约为(0.09+0.04)×800×50÷10000=0.52(万元);、因此方案一，这50人共收活动费