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第14招三角函数在学科内的六种综合应用教你一招1.三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．2．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．3．三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得比例线段，再转化成所求锐角的三角函数．1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.已知a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25asinA.(1)试判断△ABC的形状．【解】∵a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，∴a＋b＝c＋4，ab＝4c＋8.∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.(2)△ABC的三边长分别是多少？2如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE＝∠ABD.(1)证明：DE是⊙O的切线；【证明】连结OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ADO＋∠ABD＝90°.∵∠CDE＝∠ABD，∴∠ADO＋∠CDE＝90°.∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，试求出△AOB的面积S与x的函数表达式．(2)连结BD，OB，OD，求tan∠BDO的值．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求∠MPN的余弦值；(3)求线段PE的长的最大值．6如图，AC是菱形ABCD的对角线．(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为点D(保留作图痕迹，不写作法)；【解】如图，△ADE即为所作．(2)在(1)所作的图中，连结BD，CE.①求证：△ABD∽△ACE；【解】如图，延长AD交CE于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，CD＝AD

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