高中二分法.零点问题.根的分布问题解析版2026

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页二分法,零点问题,实根分布问题知识点一：二分法一、单选题1．小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】二分法求方程近似解的过程【分析】根据二分法的计算方法即可判断.【详解】因为，则方程的解应该落在区间内，根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即.故选：D.2．用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【难度】0.65【知识点】二分法求方程近似解的过程【分析】根据二分法的原理计算即可.【详解】因为区间的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次二分法的操作，区间的长度变为，由，解得.故选：C.3．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（

）A．或都可以 B．C． D．不能确定【答案】B【难度】0.85【知识点】二分法求方程近似解的过程【分析】借助二分法定义计算即可．【详解】设，则，，第一次取，有，故第二次取，有，故此时可确定近似解所在区间为．故选：B．4．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断.【详解】解：由得，构造函数，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间.故选：C5．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求函数零点的过程【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断.【详解】由，且，，得在内有零点；由，且，，得在内有零点；所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为．故选：B知识点二：零点问题1．若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】A【难度】0.94【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、一元二次方程根的分布问题【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意；当时，为一次函数，函数在区间上存在零点的充要条件为，即，即．解得或．故选：2．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】判断零点所在的区间【分析】结合单调性与零点存在定理求解即可.【详解】由于单调递增，且，则零点所在的区间为，故选：B.3．已知幂函数的图象经过点，则函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】求幂函数的解析式、判断零点所在的区间【分析】根据题意，求出幂函数的解析式，从而得到的解析式，通过判断的单调性，结合零点存在定理，确定其零点所在的区间.【详解】由题可设，则，求得.所以，.易知，函数的定义域为.因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数.又，，所以函数的零点在区间内.故选：C.4．若函数在上存在零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】零点存在性定理的应用【分析】根据函数的零点存在性定理即可求解.【详解】令，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因此函数在上为增函数，因此，函数在上存在零点的充要条件是且，所以，即，解得故选：B5．已知函数函数有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围【分析】由题作出函数图象，将题意转化为与有4个交点，结合图象分析求解即可.【详解】当时，，当时，，当时，，，所以，当时，，，所以，当时，，，所以，当时，，，所以，作出函数的大致图象，若函数有4个零点，即与有4个交点，当直线过点时，；当直线过点时，；由图可知，与有4个交点时，有，故选：D6．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.4【知识点】根据函数零点的个数求参数范围【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】令，由可得，即，解得或，当时，即当时，，当时，，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，直线与函数的图象有两个交点，又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点，由图可得，故实数的取值范围是.故选：A.7．已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求零点的和【分析】将问题转化为与有三个或四个交点，根据对称性可知，化简得到；结合韦达定理可构造方程，利用和可确定的范围，结合二次函数值域可确定的范围.【详解】有四个实根等价于与有三个或四个交点；若有三个交点，则或；若有四个交点，则且；作出大致图象如下图所示，结合图象可知：，，；令，则，由图象可知，，则，；，，，若，则，整理可得：恒成立，，，，解得：；综上所述：；当时，，，即的取值范围为.故选：D.三、填空题8．已知函数，令函数，若函数有3个零点，则的取值范围为.【答案】【难度】0.65【知识点】根据函数零点的个数求参数范围【分析】根据函数解析式画出的图象，数形结合确定的取值关系，进而求出范围.【详解】函数，则，画出的图象，如图：由函数有3个零点，得函数的图象与直线有3个交点，观察函数图象，得，，，因此，即，解得，则，所以的取值范围为.故答案为：9．已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为.【答案】【难度】0.65【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围【分析】将问题转化为方程有2个非零根，画出的图象，再根据与直线有2个交点数形结合求解即可.【详解】方程即，显然为方程的一个根，由题意方程有2个非零根，则函数与有两个交点，画出函数的图象，如图所示：由图可知，故实数的取值范围为.故答案为：三解答题10．已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数.(1)求和的值；(2)用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(3)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).【难度】0.4【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数【分析】（1）分和两种情况分别可得函数的最大值及最小值，进而可得a的值，再由函数为奇函数可得，进而得b的值；（2）根据定义直接证明函数是增函数；（3）直接将函数的零点转化为方程有两个不同的根，再令，进而将方程转化为有两个不同的正根，再根据对勾函数的性质可得所求值的范围.【详解】（1）因为函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，当时，函数在上单调递减，，解得(舍去)或（舍去），均不符合题意.当时，函数在上单调递增，，解得或（舍去）.所以.又有函数是奇函数，且定义域为R，所以，解得.经检验，符合题意，故，.（2）设，且，由（1）得，所以，.，由，在R上单调递增，所以，即，且，所以.所以，即，所以函数在上单调递增.（3）因为由（1）可得，，所以.令，所以.又因为函数恰有两个不同的零点，所以方程，即有两个不同的正根，而由对勾函数，当且仅当时等号成立，且函数在单调递减，在上单调递增，.所以方程即有两个不同的正根，即与有两个不同的交点，得.如图：故的取值范围为.知识点三：根的分布问题1．已知方程一个根比1大，一个根比1小，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题【分析】令，进而转化为有两个的零点，一个根比1大，一个根比1小，再结合二次函数的性质求解即可.【详解】令，因为方程一个根比1大，一个根比1小，所以有两个零点，一个根比1大，一个根比1小，因为开口向上，故只需，解得.所以实数的取值范围为故选：D2．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．【详解】设，则由题意可知，即，解得，故实数的取值范围是.故选：C．3．方程的两根都大于1的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】一元二次方程根的分布问题、根据二次函数零点的分布求参数的范围、判断命题的充分不必要条件【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得.【详解】令，其图象对称轴为，由方程的两根都大于1，等价于，即，解得即对于A：因是的真子集，故是方程的两根都大于1的充分不必要条件，故A正确；对于B：由上分析知，是方程的两根都大于1的充要条件，故B错误；对于C：因，若取，故不是方程的两根都大于1的充分条件，故C错误；对于D：因，若取，故不是方程的两根都大于1的充分条件，故D错误.故选：A.填空题4．若二次函数在区间有两个零点，则实数的取值范围是.【答案】【难度】0.65【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】根据二次函数的性质，结合区间零点个数列不等式求参数范围.【详解】由的图象开口向上，且对称轴，所以，则.故答案为：5．已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】零点存在性定理的应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】根据二次函数性质，以及零点存在定理，列出不等式，求出参数范围.【详解】设函数，依题意，函数有两个零点，且在区间内有一个零点，根据零点存在定理，可知需使，即，化简得，解得，当时，即，解得，此时方程有两根为1和3，符合条件；当时，即，解得，此时方程有两根4和，不合题意.综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.6．若，是关于的方程的解，且满足，则的取值范围是【答案】【难度】0.65【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】根据题意得到二次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】由题知：方程在有两个不相等的实数根，所以.故答案为：三.解答题7．关于的方程，若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围.【答案】【难度】0.85【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围【分析】根据一元二次方程根的分布性质，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】若方程一个根在内，另一个根在内，令，则，解得，即的取值范围是.知识点四：综合应用一、多选题1．（多选）下列说法正确的是（

）A．已知方程的解在内，则B．函数的零点是C．函数有两个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【答案】AD【难度】0.65【知识点】求函数的零点、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间【分析】A记，根据零点存在性定理判断；B根据零点的定义判断；C根据图象的交点判断；D由零点存在性定理可判断.【详解】对A，记，易知都在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以存在唯一零点，且，即方程的唯一解在内，所以，A正确；对B，解，得或，所以函数的零点是或，B错误；对C，作出的图象如图：当时，函数和的图象显然有一个交点，又，所以函数和的图象在处相交，所以有三个不同的零点，C错误；对D，因，则由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确.故选：AD2．下列说法正确的是（

）A．函数的零点为0和；B．函数的零点个数为1；C．函数的零点所在的区间为；D．已知方程的实数解落在区间内，用二分法求方程的近似解时，如果将该区间进行一次二等分，则下一个有解的区间是.【答案】BCD【难度】0.65【知识点】二分法求方程近似解的过程、求函数零点或方程根的个数、判断零点所在的区间【分析】由零点的概念，零点存在性定理结合单调性逐项判断即可.【详解】由当时，，得，当时，，得，不满足，故A错；由，由解析式可知在定义域上单调递增，又，由零点存在性定理结合单调性可知：函数的零点个数为1，B对；因为在(0,＋∞)上单调递增，又，，所以f，故在上存在零点；C对；设，由解析式可知其在定义域上单调递增，，，又所以零点所在区间为，所以方程下一个有解的区间是.D对.故选：BCD.（二）、解答题3．已知函数(1)若函数在上存在零点，求实数的取值范围；(2)当时，若对任意的总存在使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）根据二次函数的性质和零点存在定理求解；（2）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可.【详解】（1）因为，所以该函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递减；又因为函数在上存在零点，所以，所以，解得，所以a的取值范围为；（2）若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集.当时，的值域为.当时，为常数，不符合题意舍去；当时，的值域为，要使，需且，解得.当时，的值域为，要使，需且，解得.综上，的取值范围为.4．已知函数.(1)若关于的方程的一个实数根大于1，一个实数根小于1，求实数的取值范围；(2)若函数在有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题【分析】（1）由且判别式大于零可得；（2）利用判别式大于零，对称轴在内，端点值大于等于零三个