数学物理方法（第三版）：积分变换法教学课件

第10章积分变换法10.1傅里叶变换法10.2拉普拉斯变换法10.3联合变换法第2篇数学物理方程10.1傅里叶变换法10.1傅里叶变换法下面通过几个典型的例子，说明如何利用傅里叶积分变换方法来求解无界区域中泛定方程的定解问题。例

1

利用傅里叶积分变换法求解一维无界区域中的波动问题在第六章中，我们介绍了傅里叶积分变换。如果一个函数f(x)是无界区域-∞0<x<∞0中的分段光滑的函数，则可以进行如下傅里叶积分变换其中像函数F(k)为解：根据傅里叶变换式(10.1-1),令(10.1-3)(10.1-4)(10.1-1)(10.1-2)分别为初始位移和初始速度的傅里叶变换。方程(10.1-5)的通解为U(k,t)=A(k)ekat+B(k)e-kat其中系数A(k)及B(k)由初始条件确定将其代入式(10.1-3),则可以得到其中(10.1-5)(10.1-6)(10.1-7)10.1傅里叶变换法这样，最后该波动(10.1-10)这种形式的

解称为达朗

贝

尔

公

式。

可

见，一

旦

知

道了

初

始时

刻(t=O)

的

振

动

位

移中(x)和

振

动

速

度ψ(x),那么任意时刻的解u(x,t)就完

全

确

定了

。10.1傅里叶变换法根据傅里叶变换的定义式(10.1-1),上式右端第一项,而上式右端的第二项可以改写为将式(10.1-8)代入式(10.1-7),并进行反演，有由此可以解得(10.1-8)(10.1-9)解：对该方程及初始条件同时作傅里叶变换，则定解问题变为其中为初始温度的傅里叶变换。方程(10.1-12)的解为

U(k,t)=φ(k)e-k²a²210.1傅里叶变换法(10.1-12)(10.1-13)(10.1-14)(10.1-15)例

2

求解无限长细杆的热传导问题对上式进行傅里叶变换反演，可(10.1-11)10.1傅里叶变换法可见，一

旦知道了初始时刻(t=0)的温度分布φ(x),由上式就可以确定t>0以后任意时刻的温度分布u(x,t)。这就是无限长细杆热传导定解问题(10.1-11)的形式解。利用式(10.1-13),可以进一步得到则最后得到无限长细杆的温度分布为利用积分公式[见式(4.4-8)](10.1-16)10.1傅里叶变换法例3一个位于y=0的无限大金属平板，其上电势分布为f(x)。确定上半平面(y>0)的电势分布。解：根据题意，上半平面的电势分布u(x,y)服从如下拉普拉斯方程及边界条件其中为原函数f(x)

的傅里叶变换。该定解问题在x轴方向是无界的，而在y轴方向则是半无界的。将方程(10.1-17)作关于x

的傅里叶变换，有(10.1-18)(10.1-19)考虑到边界条件，方程(10.1-18)的解为

U(k,y)=F(k)e-Ik¹y(10.1-17)10.1傅里叶变换法进行反演后，并将式(10.1-19)代入，则有这样，最后上半平面中的电势分布为(10.1-20)而10.1傅里叶变换法(10.1-21)(10.1-22)(10.1-23)解：借助于第六章引入的三维无界空间中的傅里叶变化，可以把上面的定解问题转化为例

4

求解三维无界空间中的波动问题其中10.1傅里叶变换法改变上式中的积分顺序，则

有为初始位移和初始速度的像函数。由式(10.1-22)可以解得再进行逆变换(10.1-24)10.1傅里叶变换法其中ro=at。将式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24),并考虑到t>0,则可以得到(10.1-25)(10.1-26)借助δ函数的定义，可以证明有[见式(5.4-21)]10.1傅里叶变换法式(10.1-27)称为泊松公式。式(10.1-27)表明，只要知道了初始时刻(=O)的波动状态，即初始位移中(r)和初始速度ψ,将它们在球面S上积分，就可以得到以后任意时刻(t>0)的波动状态u(r,t)。由于δ(Ir-r'|-at)的出现，上式右边的积分只需在以r为圆心、以at为半径的球面S

上进行，即其

中ro=at。将式(10.1-25)及式(10.1-26)代入式(10.1-24),并考虑到t>0,则可以得到其

中dSa

=rosinθ₀dθ₀dφo。θo和φ0分别是矢量r₀

的极角和方法角，ro=at。(10.1-27)10.1傅里叶变换法其中为初始温度的傅里叶变换。由式(10.1-29),可以得到(10.1-29)(10.1-30)解：借助于三维空间中的傅里叶变换，可以把定解问题转化为求解三维无界空间中的热传导问题U(k,t)=φ(k)e⁻k²a²例5(10.1-28)10.1傅里叶变换法(10.1-31)(10.1-32)注意到积分则最后可以得到在一维情况下，上式即可以退化为式(10.1-16)。再进行逆变换，并利用式(10.1-方程(10.1-34)是一个一阶非齐次常微分方程，将其两边同乘以因子ek²a²t,则变为将上式两边对时间积分，并利用初10.1傅里叶变换法(10.1-34)(10.1-35)(10.1-36)其中f(x,t)

为已知的热源分布函数。解：对该方程进行傅里叶变换，可以得到其

中为原函数f(x,t)的傅里叶变换。求解无限长细杆的非齐次热传导方程的解例

6(10.1-33)可见，一

旦知道了源函数f(x,t)的形式，由上式即可以确定在任意地点x

和任意时刻的温度分布u(x,t)。由以上讨论可以看出，傅里叶变换法求解定解问题的步骤如下：(1)借助于傅里叶变换把偏微分方程变换成一个关于时间变量的常微分方程；(2)求解这个一阶或二阶常微分方程，并由初始条件确定积分常数；(3)进行傅里叶反演，确定出定解问题的

解。在傅里叶积分变换法中，泛定方程可以是齐次的，也可以是非齐次的，但物理量的变化区域必须是无界的。10.1傅里叶变换法将式(10.1-35)代入上式，有最后再进行反演，则得到(10.1-37)10.2拉普拉斯变换法本

节

介

绍

采

用

拉

普

拉

斯

变

换

法

求

解

偏

微

分

方

程的

定

解问

题。

不

管

方

程

是

齐

次的

还

是

非

齐

次

的，

所

选

的

区

域

是

无

界

的

还

是

半

无

界的，

原

则

上

都

可以

采

用

拉

普

拉

斯

变

换

法。

但

实

际

情

况

下，由

于

拉

普

拉

斯

变

换

的

反

演

过

程

极

为

复

杂，

使

得

这

种

方法的应用也受到一定的限制。现

在

考

虑

一

个

随

空间

变

量x和时间变量变

化的函

数u(x,t),

其中变量x

的

变

化

范围

可以

是

无

界的

或

半

无

界

的，

而

时

间

的

变

化

范围

是(

0

,

∞

)。

根

据

第

六

章

给出

的

拉

普

拉

斯

变

换

的

定

义

式，

原函

数u(x,t)与像函数U(x,p)

之间的

变

换关

系由下

式

给

出(10.2-1)其

中Rep>0。下面通过几个典型的例子，说明如何利用拉普拉斯积分变换方法来求解无界或半无界区域中泛定方程的定解问题。例

1

求解半无限长细杆的热传导定解问题

(10.2-2)10.2拉普拉斯变换法其中F(p)是f(t)的像函数。考虑到在x→

∞

时，定解应该有限，则由式(10.2-3)可以得到利用反演公式[见式(6.4-3)及式(6.4-4)]10.2拉普拉斯变换法解：对上述定解问题作关于时间t的拉普拉斯变换，则有(10.2-3)(10.2-4)(10.2-5)(10.2-6)10.2拉普拉斯变换法这就是半无限长细杆中的温度分布。式(10.2-6)也适用于半无界区域中扩散过程的定解问题。在式(10.2-2)中，如果取u|x=0=u₀(常数),则由式(10.2-6)可以得到其中

为余误差函数。并代入式(10.2-7),有(10.2-8)(10.2-7)对上式进行拉普拉斯反演，并利用则得到

这与用傅里叶变换法得到的结果一致，见§10.1节的例6。其

中f(x,t)为已知的热源分布函数。解：对方程(10.2-9)作关于时间t的拉普拉斯变换，则有这

是

一

个

二

阶

非

齐

次

常

微

分

方

程

。

考

虑

到

该

方

程

的

解

在x→±∞时应有界，则它的

一

般解为(见§5

.4节中的例4)10.2拉普拉斯变换法(10.2-10)(10.2-11)(10.2-12)例

2

采用拉普拉斯变换法求解无限长细杆的非齐次热传导问题(10.2-9)10.2拉普拉斯变换法该方程为一个二阶非齐次常微分方程。考虑到该方程的解在x→

±∞

时应有界，则它的一般解为例

3

利用拉普拉斯变换法求解一维无界区域中的波动问题解：对泛定方程进行拉普拉斯变换，并利用初始条件，则有(10.2-13)(10.2-14)10.2拉普拉斯变换法这正是§10.1节中得到的达朗贝尔公式。利用拉普拉斯变换，还可以求解有界区域中偏微分方程的定解问题。对式(10.2-14)进行反演，可以得到利用及(10.2-15)10.2拉普拉斯变换法(10.2-16)(10.2-17)这

是

一

个

二

阶

非

齐

次

常

微

分

方

程，

它

的

解由

两

部

分

组

成，

即

对

应

的

齐

次

方

程

的

通

解

和

非

齐

次

方

程

的

一

个

特

解。

对

应解：对定解问题进行拉普拉斯变换，并考虑到初始条件，则得到例

4

利用拉普拉斯变换求解有限长度细杆的热传导问题的齐次方程通解为(10.2-18)可以验证，这与用分离变量法得到的结果是一致的。由

以

上

讨

论

可

以

看

出，

利

用

拉

普

拉

斯

变

换

法

求

解

定

解

问

题

的

步

骤

如

下：(1)借助于拉普拉斯变换把偏微分方程变换成

一

个

关于空间变量的二阶常微分方程，同时包括了初始条件；(2)求解这个常微分方程，并考虑方程的解在x→

±∞

时有界；(3)进行拉

普拉斯反演，确定出定解问题的解。在拉普拉斯积分变换法中，泛定方程可以是齐次的，也可以是非齐次的；考虑的区域可以

是无界的，也可以是有界的。10.2拉普拉斯变换法可以设非齐次方程的一个特解为将该特解代入非齐次方程(10.2-17)中，可以确定出系数为这样非齐次方程(10.2-17)的通解为再考虑到边界条件，有c₁=c₂=0,这样有最后，再进行拉普拉斯反演，可以得到(10.2-19)(10.2-20)(10.2-21)U(x,p)=U₁(x,p)+U₂(x,p)10.3联合变换法解：对上述定解问题进行傅里叶拉普拉斯积分联合变换，并在拉普拉斯变换中考虑初始条件，则有

p²U(k,p)+(ka)²U(k,p)=F(k,p)其中U(k,p)和F(k,p)分别是u(r,t)和f(r,t)在联合变换下的像函数。由式(10.3-2)可以得到首先对式(10.3-3)进行拉普拉斯反演。利用反演公,

则

有1.傅里叶拉普拉斯积分联合变换法(10.3-2)(10.3-3)(10.3-4)(10.3-5)求解三维无界空间中的受迫振动问题其次，对上式进行傅里叶反演，有例

1(10.3-1)1.傅里叶拉普拉斯积分联合变换法式(

1

0

.

3

-

7

)

就

是

所

谓

的

推

迟

势

，

其

中

要

求t-Ir-r'la≥0

。上式表

明

，在r点产生的源，以速度a

传播

，并在t-Ir-r'Va时刻以后才能

在r点

被

观察

到

。最后，再将代入，则有则可以把式(10.3-6)进一步化简为利用积分结果[见式(5.4-21)]解：对上述定解问题进行傅里叶拉普拉斯积分联合变换，并在拉普拉斯变换中考虑初始条件，则有pU(k,p)+(ka)²U(k,p)=F(k,p)

(10.3-9)其中U(k,p)

和F(k,p)分别是u(r,t)和f(r,t)在