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不动点定理在方程求解中的应用案例分析1多项式方程求近似解巴拿赫不动点定理不但证明了方程的解的存在性和唯一性，而且给出了求其近似解的方法，即逐次逼近法，以及误差估计，这是数学计算中的一个重要方法.在求解线性方程时，次数较低方程借助于零点定理等常见方法即可判断其解的情况，而对于次数高的线性方程，常规方法并不能有效解决问题。例[11]求方程的近似解，．解方程可化为，作映射，迭代函数，对，恒有.根据定义２.5可知,为上的压缩映射.根据定义2.3易知，是完备度量空间.则在上存在唯一的不动点，使得，对任一点，迭代收敛于。不妨设，可得实数解的近似值，误差估计为.如果用Newton切线法求上述方程的近似解，需要考虑函数的单调性、凹凸性、初始近似值的选取等，颇为复杂。若利用不动点定理，在闭区间上构造一个压缩映射，就可以解决问题，更为简便.例计算近似值.解是方程实根，令，则对任意，有.构造函数，则有.由定理3.7可知，是上的一个压缩映射，压缩系数.再令，由函数迭代法，得.由此可得，的近似值的误差估计为.由此可知，计算实数的n次方根时，可以将其转化成方程求解的问题，运用不动点定理求解，更为快捷.2代数方程问题中的应用2.1代数方程解的存在唯一性定理定理设是阶方阵，是一组实数，满足条件，当时，；时，，则可得代数方程组：，对于任意固定的一组，有且仅有一组解存在.证明任取一个向量，构造线性算子，有：则可知，算子是一个到自身的线性变换，并且：又由，可得到算子是到自身的一个压缩映射，因为是巴拿赫空间，所以有且仅有一个不动点，有，即，即存在唯一的，满足代数方程组成立的条件.2.2无穷代数方程组求解问题定理[10]如果满足条件，那么无穷代数方程组，对任意的序列，有且仅有一个解.证明作空间上到自身的映射，记，并且令，.对于任意的定义其距离，所以有因此，映射是到自身的一个压缩映射，又因为空间是完备的度量空间，所以由巴拿赫不动点定理可知，映射在空间上有且仅有一个不动点，即存在，使得，故原方程组的解是唯一的.3积分方程问题中的应用计算数学中经常涉及到积分方程的解的相关问题，首先我们需要判断方程解的存在情况以及唯一性，然后用逐次逼近法进行求解运算.如果运用之前所学的数学分析的知识解决问题，则难度较大，且过程十分复杂.不动点定理不仅证明了一类方程解的存在性和唯一性，并且提供了迭代法来求不动点.定理[12-14]设函数是连续的，函数在正方形区域上连续，并且存在常数，使得，则当时，必然有唯一的满足方程.证明是连续函数空间，在

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