河南省南阳市六校联考2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题【含答案详解】

高三年级数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则=（）A B. C. D.2.已知复数（i为虚数单位），则z在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（）A. B. C. D.4.想要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位B.各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位C.各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位D.各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位5.展开式中的系数是（）A.-8 B.24 C.-24 D.166.已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A. B. C. D.7.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若相互独立，则C.若相互独立，则D若，则10.记锐角的内角的对边分别为，已知，则（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为11.已知抛物线，直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，点是横坐标为的一定点，当时，弦恰被点平分，则以下结论正确的是（）A. B.C.周长可以为 D.当时，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.有一组正整数从小到大排列为：1，2，6，7，9，m，这组数据的40％分位数等于它们的平均数，则m为________13.已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________14.已知圆台的上下底面积之比为1:4，与圆台的上下底面和侧面都相切的球半径为1，则圆台的表面积为___四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和．16.记的内角A，B，C的对边分别为且．（1）求角B；（2）若面积为为AC边上一点，满足．①求的周长；②求的长．17.如图，在平行六面体中，，，，点在底面上的射影为底面中心．（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知双曲线离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，.（1）求双曲线方程；（2）若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示：①求实数的取值范围；②求面积的最大值.