自动控制原理 课件 第四章 根轨迹法

闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点在s平面上的分布所决定。利用系统的开环零、极点分布图，采用图解法来确定系统的闭环特征根随参数变化的运动轨迹----根轨迹。第4章根轨迹法内容提要根轨迹的基本条件、幅值方程、相角方程，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制、根轨迹图分析系统的动态、静态特性。知识要点4）如何应用根轨迹？第1章引论1）什么是根轨迹？2）为什么绘制根轨迹？3）如何绘制根轨迹？根轨迹的基本概念

闭环控制系统的动态性能与闭环极点在S平面上的分布位置是密切相关的,分析系统的性能时,往往要求确定系统闭环极点的位置.另一方面,在分析和设计系统时,经常需要研究一个或几个参量变化时,对系统的极点和系统性能的影响。4.1根轨迹的基本概念1948年,W.R.Evans首先提出了求解系统特征方程式的根的图解方法----根轨迹法。其后就在控制工程实践中得到了迅速的发展和广泛的应用。

系统的闭环极点就是系统特征方程式的根,对于三阶以上的系统,采用分解因式的古典方法求特征方程式的根通常不容易,特别是当某一参量发生变化(灵敏度)时,需要反复进行计算,这时采用上述方法就显得十分烦琐,难以在实际中应用。一根轨迹的概念根轨迹法:系统某一参数变化时,绘制闭环系统特征方程的根在S平面的位置变化轨迹的图解方法。根轨迹:

开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在S平面上的变化轨迹。一个根形成一条轨迹。根轨迹法的优点：1：从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。2：系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能与闭环零、极点在S平面的位置密切相关。根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零极点应该怎样变化才能满足给定闭环系统的性能指标要求。设控制系统的开环传递函数为系统开环极点有两个系统的闭环传递函数为系统的特征方程为其特征根为时，系统特征根(闭环极点)变化情况如下：系统的闭环极点为开环极点；时，闭环极点为两个互不相等的负实根时，闭环极点为两个相等的负实根时，闭环极点为实部为负的共轭复根。2.当3.当4.当1.当系统的根轨迹图

由根轨迹图可以直观地分析参数K变化时系统的各项性能。当从0变化到时，根轨迹均在s平面的左半平面，时，闭环极点为负实根，系统为过阻尼时，闭环极点为重根，系统为临界阻尼状态，闭环极点为实部为负的共轭复根，因此，系统是稳定的。状态，系统的阶跃响应为单调变化。系统的阶跃响应为单调变化。系统为欠阻尼状态，系统的阶跃响应为衰减振荡，且系统的超调量随值增大而增大，但是调节时间不变。4.1.2根轨迹的基本条件

对于典型的负反馈控制系统，如图4-3所示，图4-3反馈控制系统闭环传递函数为系统的特征方程为：

系统的闭环传递函数为（4-2）因为s是复变量，所以式（4-2）可以写成式（4-3）幅值(模值)条件和式（4-4）相角条件。（4-3）（4-4）

满足式（4-2）的点，必定是根轨迹上的点。式（4-2）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本条件）当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（4-5）：

（4-5）为系统的开环零点；

为系统的开环极点；

为系统的根轨迹增益。根轨迹的幅值条件和相角条件又可表示为：

根轨迹方程为：幅值条件主要用来确定根轨迹上的某s点对应的K值。表示所有开环零点指向根轨迹上某s点所构成向量的相角之和减去表示所有开环极点指向该s点所构成向量的相角之和

第1章引论根轨迹的幅值条件和相角条件又可表示为：

根轨迹上所有的s点均满足相角条件。对应的参数在指定的实数区间内。

根轨迹以负反馈控制系统进行描述。为什么绘制根轨迹？2）决定系统的动态性能。第1章引论1）决定系统的稳定性。闭环极点对系统性能具有关键性影响：3）当结构固定时，动态性能限定放大系数取值，影响稳态性能。4.2绘制根轨迹的基本规则规则1根轨迹的起点与终点当时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为，即系统的开环极点。时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为，即系统的开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。但是，当时，条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。

如果出现的情况，必有条根轨迹的起点在无穷远处。

规则2根轨迹的分支数、对称性和连续性由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。根轨迹的分支数等于系统的阶数。特征根要么是实数要么是共轭复数。根轨迹关于实轴对称。特征方程的系数关于K的连续函数，特征根随K连续变化，每支根轨迹具有连续性。规则3根轨迹的渐近线

当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为，渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为第1章引论例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为系统开环传递函数有三个极点：开环无零点，即系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为渐近线与实轴正方向的夹角为规则4:实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为奇数的区域。

规则5根轨迹的分离点和会合点

几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。1.重根法根轨迹的分离点（或会合点）是系统特征方程的重根，可以采用求重根的方法确定其位置。设系统的开环传递函数为系统的特征方程为（4-15）特征方程有重根的条件（4-16）分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程式（4-15）和式（4-16），联立求解得分离点（或会合点）的d所对应的值为

2．极值法由系统的特征方程式（4-15）求极值得即可确定分离点（或会合点）的值。

3．零、极点法必须说明，采用上式确定的是特征方程的重根点，对分离点（或会合点）来说，它只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点（或会合点），是否是分离点（或会合点）还要看其它规则。例4-2已知系统的开环传递函数为分离点（或会合点）的确定

对应的，对应的所以在根轨迹段上是分离点；而不在根轨迹段上，则舍弃。1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则一定有分离点；2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则一定有会合点；3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没有分离点又没有会合点。当然，分离点（会合点）一般是实数，若是共轭复数，则系统至少是4阶的。两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点（或会合点）。规则6根轨迹的起始角和终止角

根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线（或其反方向）与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角。规则6根轨迹的起始角和终止角起始角终止角若有一对共轭开环极点，那么他们的起始角为相反数。若有一对共轭开环零点，那么他们的终止角为相反数。规则7根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相角为规则8根轨迹与虚轴的交点为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。方法一：令

代入特征方程得联立求解得到临界增益及虚轴交点

方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。例4-4已知系统的开环传递函数为系统的特征方程为

方法一方法二：列劳斯表为系统稳定条件为

系统临界增益K=6由辅助方程

所以根轨迹与虚轴的交点为

当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根规则10根之积根据特征方程根和系数的关系，得规则9根之和第1章引论第1章引论例：系统的开环传递函数为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线的倾角为与虚轴的交点为第1章引论根轨迹的分会点：第1章引论第1章引论例：系统的开环传递函数为解：开环极点为：确定实轴上的根轨迹为：渐近线的倾角为试绘制根轨迹。渐近线与实轴的交点为：判断是否存在分离（会合）点：所以根不是分离会合点第1章引论与虚轴的交点为求共轭虚根的起始角（出射角）：例：系统的开环传递函数为解：开环极点为：确定实轴上的根轨迹为：渐近线的倾角为试绘制根轨迹。渐近线与实轴的交点为：判断是否存在分离（会合）点：所以是分离会合点第1章引论与虚轴的交点为求共轭虚根的起始角（出射角）：第1章引论例：系统的开环传递函数为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线的倾角为与虚轴的交点为根轨迹的分会点：第1章引论第1章引论4.4广义根轨迹常规根轨迹的绘制规则是以负反馈系统的根轨迹增益为可变参数给出的。但是，实际系统中可能研究其它参数变化（如开环零点、开环极点、时间常数等）对系统特征根的影响，或研究正反馈系统参数变化的根轨迹等，上面这些根轨迹统称为广义根轨迹。4.4.1参数根轨迹以非K为可变参数的根轨迹称为参数根轨迹，可以研究系统的开环零点、极点、时间常数等对系统性能的影响。对于参数根轨迹的绘制可采用等效传递函数的原则，即由系统的闭环特征方程，求出所研究参数类似K位置的等效开环传递函数，则常规根轨迹绘制的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。例4-7已知系统的开环传递函数为试绘制极点

时系统的根轨迹。等效的开环传递函数为4.4.2多参数根轨迹族有时需要研究多个参数同时变化时对系统性能的影响，构成了多参数的根轨迹族。以两个参数为例：第一步：选取一个参数为零，绘制另一个参数变化的根轨迹。第二步：令

，绘制另一个参数变化的根轨迹。由系统的特征方程得系统的等效开环传递函数为4.4.3正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）在有些系统中，内环是一个正反馈回路，其正反馈回路的闭环传递函数为系统的特征方程为绘制系统根轨迹的幅值条件和相角条件可写为：

这种根轨迹为零度根轨迹。对于零度根轨迹绘制的规则，可由常规根轨迹绘制规则和相角有关的适当调整得到，修改的规则有：规则3根轨迹的渐近线

当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，渐近线与实轴正方向的夹角为规则4实轴上的根轨迹

实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为偶数的区域。规则6根轨迹的起始角和终止角

开环极点出发的起始角根轨迹终止于开环零点的终止角

例4-9已知负反馈系统的开环传递函数为将开环传递函数化成标准的零极点形式，即

等效为正反馈的开环传递函数第1章引论第1章引论4.5根轨迹分析系统的性能根轨迹分析系统首先由系统的开环传递函数绘制出系统的根轨迹，然后再由根轨迹分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。4.5.1根轨迹确定系统的闭环极点根轨迹绘出的是系统根轨迹增益变化特征根的轨迹，对于某一增益下的闭环极点可由幅值条件试探来确定。例4-10设单位负反馈系统的开环传递函数为1.试采用根轨迹法分析系统的稳定性；2.求系统的闭环极点；3.求取系统的单位阶跃响应及超调量和过渡过程时间。解：根轨迹分析系统，为此，构造增益可变的系统为绘制的根轨迹，如图4-13所示

图4-13系统的根轨迹图从根轨迹图可知，系统的增益时，系统是稳定的。

时，特征值为负实根，系统的响应为单调衰减；

时，系统的主导极点为共轭复根，系统的响应为衰减振荡。本例中

因此，系统是稳定的，系统的主导极点为共轭复根，

试探求得系统的主导极点为

根据根之和的关系得系统的另外一个闭环极点为

可近似为如下的二阶系统系统的超调量和过渡过程时间为4.5.2根轨迹分析系统的动态特性闭环系统的动态特性由闭环传递函数的零、极点来决定，系统闭环极点可由根轨迹图求得，而闭环零点为前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点共同确定。1.稳定性若闭环极点均在根平面的左半平面，则系统一定是稳定的，即参数变化时的根轨迹均在s的左半平面。2.运动形式若闭环极点均为左半平面的实数极点，则系统的动态响应为单调变化，系统可近似为一阶系统；若离虚轴最近的极点为复数极点，则系统的动态特性为衰减振荡，系统可近似为二阶系统。3.动态性能指标根轨迹分析系统的动态性能指标可采用主导极点来估算。第1章引论例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为1）试画出系统的根轨迹；2）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的K值及性能指标；3）若要求系统的阻尼比为0.866时，求闭环极点；4）若求K=1时的闭环极点。第1章引论d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28K2=11.79β第1章引论过原点作圆的切线，得最小阻尼比线，等腰直角三角形，第1章引论根据阻尼比的要求，做出等阻尼比线交点对应的闭环极点求K=1时的闭环极点，可采用试探法。第1章引论4.5.3开环零点对根轨迹的影响系统中增加开环零点，对系统的性能的影响，通过举例来说明。解：（1）当

时，系统的开环传递函数为

即表示零点不存在，系统的根轨迹如图4-15(a)所示（2）当根轨迹如图4-15(b)所示；（3）当根轨迹如图4-15(c)所示；（4）当根轨迹如图4-15(d)所示；（5）当根轨迹如图4-15(e)所示；（6）当根轨迹如图4-15(f)所示。图4-15不同值下系统的根轨迹图4-15不同值下系统的根轨迹4.6MATLAB绘制系统的根轨迹对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。通常将系统的开环传递函数写成如下形式分别为分子和分母多项式。

采用MATLAB命令：

pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图；

rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图；

rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。例4-14已知系统的开环传递函数为确定系统开环零、极点的位置。解：在MATLAB命令窗口输入

num=[251];den=[14138];pzmap(num,den);title（‘Pole-zeroMap’）执行后得到如图4-17所示的零、极点图。在MATLAB命令窗口输入

num=[251];den=[14138];rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。例4-16已知系统的开环传递函数为试分别绘制解：在MATLAB命令窗口输入不同值，时系统的根轨迹。num=[11];den=[1

00];rlocus(num,den)执行后得到如图4-19所示不同值下系统的根轨迹图。例4-17已知系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。解：在MATLAB命令窗口输入

num=[11];den=conv(conv([10],[1-1]),[1416]);rlocus(num,den)执行后得到如图所示