2026届高三数学二轮复习课件：专题突破　专题二　第3讲　数列的综合应用

大二轮专题复习专题二数列第3讲数列的综合应用

探究真题明确方向√

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解析2.(2024·北京，T14)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm，325mm，325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为

mm，升量器的高为

mm.(不计量器的厚度)

2357.5

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证明(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).

解命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分.考查方向：一是数列的实际应用，主要考查等差数列、等比数列的定义及运算；二是数列与其他知识的结合，主要考查数列与不等式、函数导数、解析几何、概率统计等结合，特别是与概率统计相结合，考查概率统计中的递推关系.考点二数列与其他知识的交汇考点一数列在实际问题中的应用内容索引专题强化练考点一数列在实际问题中的应用

(1)(2025·昆明模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为A.癸未年B.辛丑年C.乙酉年

D.戊戌年例1√天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，100÷10=10余0，则2125年对应的天干为乙，100÷12=8余4，则2125年对应的地支为酉，所以2125年为乙酉年.解析(2)现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株(视为第一圈)，第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉比第n-1圈多栽种2(n-1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8圈栽种花卉A.57株 B.56株C.55株 D.54株√

解析数列应用问题首先要仔细审题，抓住数量关系建立数学模型，再设出数列，判断数列模型，利用数列的定义、公式和性质求解.常见数列模型：(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an+1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn+1(或者相邻三项)之间的递推关系.规律方法

√

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例2考向1数列与不等式√

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(2025·菏泽模拟)对于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3，则f(2025)等于A.-1 B.1 C.2025 D.4049例3考向2数列与函数√

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例4考向3数列与几何√

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例5考向4数列与概率统计8m-1由题意知，到达A2点共有1种走法，到达A3点共有1+1=2(种)走法(一种是经过A2点到达A3，一种是直接到达A3)，到达A4点共有1+2=3(种)走法(一种是经过A2，一种是经过A3，所以到达A4的走法是将到达A2，A3的走法加起来)，到达A5点共有2+3=5(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3，所以到达A5的走法是将到达A4，A3的走法加起来)，到达A6点共有3+5=8(种)走法(一种是经过A2和A4，一种是经过A3和A5，所以到达A6的走法是将到达A4，A5的走法加起来)，故按图中所示方向到达A6有8种不同的打卡路线.解析

解析数列与函数、不等式、几何、概率统计的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.规律方法

√

解析(2)(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=x3+x，数列{an}是等差数列，且a1013<0，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2024)+f(a2025)的值A.大于0 B.小于0C.等于0 D.不能确定√函数y=x3，y=x均为奇函数且为增函数，则函数f(x)=x3+x为奇函数且为增函数，由数列{an}是等差数列，得a1+a2

025=2a1

013<0，即a1<-a2

025，于是f(a1)<f(-a2

025)=-f(a2

025)，即f(a1)+f(a2

025)<0，同理f(a2)+f(a2

024)<0，f(a3)+f(a2

023)<0，…，f(a1

012)+f(a1

014)<0，f(a1

013)<0，因此f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2

024)+f(a2

025)<0.解析

√

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解析返回专题强化练对一对答案123456789101112题号12345678答案BCDDBDABD题号1112答案B答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、单项选择题1.(2025·上饶模拟)某统计数据共有13个样本xi(i=1，2，3，…，13)，它们依次成公差d=1的等差数列，若这组数据的60%分位数是26，则x13为A.32 B.31 C.19 D.18123456789101112答案√123456789101112答案

解析12345678

9101112答案√123456789101112答案

解析3.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为A.44π B.64π C.70π D.80π123456789101112答案√123456789101112答案

解析12345678

9101112答案√123456789101112答案

解析123456789101112答案

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123456789101112答案√√123456789101112答案

解析123456789101112答案

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√√√123456789101112答案

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123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

123456789101112答案

解123456789101112答案(2)求{an}的前100项和S100.

解123456789101112答案

123456789101112答案

证明123456789101112答案

123456789101112答案

解123456789101112答案

解123456789101112答案

解123456789101112答案11.(2025·大连模拟)小明同学在如图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A，B，C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1，2，3，4，5，6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为A.31 B.63 C.127 D.128思维创新√123456789101112答案设圆环的个数为n，移动n个圆环所需的最少的次数为an，n∈N*.当n=1时，即只有1个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动1次，所以a1=1.

当n>1时，要把n个圆环从A木桩移动到B木桩，我们可以先把上面n-1个圆环从A木桩借助B木桩移动到C木桩，需要an-1次；然后把最大的第n个圆环从A木桩移动到B木桩，需要1次；最后再把C木桩上的n-1个圆环借助A木桩移动到B木桩，又需要an-1次.所以可得递推公式an=2an-1+1.

解析12