2025年高三数学逻辑能力测评期末试卷

2025年高三数学逻辑能力测评期末试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班

2025年高三数学逻辑能力测评期末试卷

一、选择题

1.已知集合A={x|2x-1>0}，B={x|x^2-3x+2<0}，则集合A∩B等于

A.(-1,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,2)

2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,1)上单调递增，则实数a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.若复数z满足|z-1|=1且arg(z)=π/3，则z等于

A.1/2+√3/2i

B.1/2-√3/2i

C.-1/2+√3/2i

D.-1/2-√3/2i

4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_4=12，则a_7等于

A.14

B.16

C.18

D.20

5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则φ的可能取值是

A.π/4

B.π/2

C.3π/4

D.π

6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和大于8的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值是

A.0

B.2

C.3

D.4

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则sinC等于

A.√2/2

B.√3/2

C.√6/4

D.√5/4

9.已知直线l：y=kx+1与圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=1相交于两点，则k的取值范围是

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,2)

10.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_10等于

A.1023

B.1024

C.2047

D.2048

11.已知直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0垂直，则a等于

A.-2

B.1

C.-2或1

D.-1

12.函数f(x)=e^x-1的的反函数f^-1(x)的图像过点

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(1,1)

D.(0,-1)

13.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，BC=6，则AC等于

A.3√3

B.6√3

C.2√3

D.4√3

14.已知函数f(x)=tan(x+π/4)，则f(π/4)等于

A.1

B.-1

C.√2

D.-√2

15.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则b_5等于

A.16

B.32

C.64

D.128

二、填空题

1.若函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1处取得最小值，则a等于______.

2.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x≤5且x为正整数}，则A∪B的元素个数是______.

3.若复数z=1+i，则z^4的实部等于______.

4.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则S_10等于______.

5.已知函数f(x)=sin(πx)cos(πx)，则f(1/2)等于______.

6.抛掷一枚质地均匀的硬币三次，则恰好出现两次正面的概率是______.

7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则f(x)在区间[-1,3]上的最小值是______.

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则cosC等于______.

9.已知直线l：y=kx+1与圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=1相交于两点，则k的最大值是______.

10.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n-1，则a_6等于______.

三、多选题

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.f(x)=2^x

B.f(x)=log_1/2(x)

C.f(x)=x^2

D.f(x)=sin(x)

2.已知集合A={x|x^2-4x+3>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B等于

A.(-∞,1)

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.(-∞,3)∪(3,+∞)

3.下列复数中，模等于2的是

A.1+√3i

B.-2i

C.1-i

D.2

4.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，则下列说法正确的有

A.b_1=2

B.公比q=2

C.b_6=64

D.b_3=8

5.下列函数中，周期为π的是

A.f(x)=sin(2x)

B.f(x)=cos(x/2)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=sin(x)+cos(x)

6.已知直线l1：y=kx+1与直线l2：y=-x+k+1相交于点P，则点P的轨迹方程是

A.y=x+1

B.y=-x+1

C.y=x

D.y=-x

7.下列命题中，真命题的是

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若sinα=1/2，则α=π/6

C.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行

D.若x^2=1，则x=1

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则下列说法正确的有

A.sinC=√6/4

B.cosC=-√2/4

C.tanC=√3

D.sinA>sinB

9.已知函数f(x)=e^x-1，则下列说法正确的有

A.f(x)在R上单调递增

B.f(x)的反函数是ln(x)+1

C.f(0)=0

D.f(x)的图像关于点(0,0)中心对称

10.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，S_10=55，则下列说法正确的有

A.公差d=5

B.a_5=11

C.S_20=210

D.a_10=21

四、判断题

1.若a>b，则f(x)=ax^2+bx+c在R上单调递增

2.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π

3.复数z=1+i的模等于√2

4.在等差数列{a_n}中，若S_10=55，则a_5=11

5.若直线l1：y=kx+1与直线l2：y=-x+k+1相交于点P，则点P的轨迹方程是y=x

6.命题“若x^2=1，则x=1”是真命题

7.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行

8.函数f(x)=log_a(x)在x>0时单调递增，则a>1

9.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则cosC=-√2/4

10.数列{a_n}满足a_n+1=a_n+2，则{a_n}是等差数列

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，BC=6，求AC的长度

3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_10的值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：集合A={x|2x-1>0}即x>1/2，集合B={x|x^2-3x+2<0}即(x-1)(x-2)<0，解得1<x<2，故A∩B=(1,2)。

2.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在(-1,1)上单调递增，则a>1。

3.A

解析：复数z满足|z-1|=1即z到点(1,0)的距离为1，arg(z)=π/3即z位于直线y=(√3/3)x的上方，满足条件的z为1/2+√3/2i。

4.B

解析：由a_1+a_5=10得2a_1+4d=10，由a_2+a_4=12得2a_1+6d=12，解得d=2，a_1=3，故a_7=a_1+6d=3+12=15。

5.D

解析：函数f(x)=sin(2x+φ)图像关于y轴对称即f(-x)=f(x)，代入得sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)，解得φ=kπ，k∈Z，故φ=π。

6.D

解析：抛掷两次骰子总共有36种情况，点数之和大于8的情况有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5)共9种，概率为9/36=7/36。

7.B

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-1，f(1)=0，f(3)=0，f(1±√3/3)的值大于0，故最大值为2。

8.C

解析：由A+B+C=180°得C=75°，sinC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√6/4。

9.B

解析：直线l过点(0,1)，圆心(1,2)到直线l的距离d=|k*1-2+1|/√(k^2+1)=|k-1|/√(k^2+1)<1，解得-1<k<1。

10.A

解析：数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+1，即a_n+1+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_n是首项为2，公比为2的等比数列，b_n=2*2^(n-1)=2^n，故a_n=2^n-1，a_10=2^10-1=1023。

11.C

解析：直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0垂直即a*(1)+(a+1)*2=0，解得a=-2。

12.C

解析：函数f(x)=e^x-1的反函数f^-1(x)满足y=e^x-1即x=e^(y+1)-1，交换x,y得y=e^x-1，即f^-1(x)=ln(x)+1，其图像过点(1,1)。

13.A

解析：由正弦定理得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√2=6/√3，解得AC=6√2/√3=2√6=3√3。

14.C

解析：f(π/4)=tan(π/4+π/4)=tan(π/2)=√2。

15.C

解析：在等比数列{b_n}中，b_3=b_1*q^2，即8=2*q^2，解得q=2，故b_5=b_3*q^2=8*4=32。

二、填空题答案及解析

1.1

解析：函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1处取得最小值即x=1是对称轴x=a，故a=1。

2.8

解析：A∪B={1,2,3,4,5}，共5个元素。

3.0

解析：z^4=(1+i)^4=[(1+i)^2]^2=(2i)^2=-4，实部为0。

4.-50

解析：S_10=10/2*(2*5+9*(-2))=5*(10-18)=-50。

5.1/4

解析：f(1/2)=sin(π/2)*cos(π/2)=0*cos(π/2)=0。

6.1/8

解析：抛掷三次硬币总共有8种情况，恰好出现两次正面的情况有HHT,HTH,THH共3种，概率为3/8。

7.-1

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-1，f(1)=0，f(3)=0，f(1±√3/3)的值大于0，故最小值为-1。

8.√2/4

解析：由A+B+C=180°得C=75°，cosC=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=√6/4-√2/4=√2/4。

9.√3/3

解析：圆心(1,2)到直线l：y=kx+1的距离d=|k*1-2+1|/√(k^2+1)=|k-1|/√(k^2+1)≤1，解得k∈(-∞,-√3/3]∪[√3/3,+∞)，故k的最大值为√3/3。

10.81

解析：数列{a_n}满足a_n+1=3a_n-1，即a_n+1+1=3(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_n是首项为3，公比为3的等比数列，b_n=3*3^(n-1)=3^n，故a_n=3^n-1，a_6=3^6-1=729-1=81。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：f(x)=2^x在(0,+∞)上单调递增，f(x)=x^2在(0,+∞)上单调递增，f(x)=log_1/2(x)在(0,+∞)上单调递减，f(x)=sin(x)在(0,+∞)上非单调。

2.A,B

解析：A={x|x^2-4x+3>0}即A=(-∞,1)∪(3,+∞)，B={x|x-1<0}即B=(-∞,1)，故A∩B=(-∞,1)∪(1,3)即(-∞,3)∩(3,+∞)=(1,3)。

3.A,B,D

解析：|1+√3i|=√(1^2+(√3)^2)=2，|-2i|=2，|1-i|=√(1^2+(-1)^2)=√2≠2，|2|=2，故模等于2的复数有1+√3i,-2i,2。

4.A,B,D

解析：b_4=b_2*q^2，16=4*q^2，解得q=±2，若q=2，则b_1=b_2/q=4/2=2，b_3=b_2*q=4*2=8，成立；若q=-2，则b_1=b_2/q=4/(-2)=-2，b_3=b_2*q=4*(-2)=-8，也成立，故A,B,D均正确。

5.A,C

解析：f(x)=sin(2x)的周期为π，f(x)=tan(x)的周期为π，f(x)=cos(x/2)的周期为4π，f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为2π。

6.C,D

解析：直线l1：y=kx+1与直线l2：y=-x+k+1相交于点P即kx+1=-x+k+1，解得x=0，y=1，故点P的轨迹方程是y=x或y=-x。

7.C

解析：命题“过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行”是真命题，这是欧几里得几何的第五公设。

8.A,B

解析：由正弦定理得AC/BC=sinB/sinA，即AC/6=√2/2/√3/2，解得AC=3√2，sinC=sin75°=√6/4，cosC=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=√6/4-√2/4=√2/4，sinA=sin60°=√3/2>sinB=sin45°=√2/2。

9.A,C,D

解析：f(x)=e^x-1在R上单调递增，f(0)=e^0-1=0，f(x)的图像关于点(0,0)中心对称即f(-x)=-f(x)，但f(-x)=e^-x-1≠-(e^x-1)，故D错误，正确的是A,C。

10.A,B,C,D

解析：S_10=10/2*(a_1+a_10)=55，即5*(1+a_10)=55，解得a_10=10，故公差d=(a_10-a_1)/9=9/9=1，a_5=a_1+4d=1+4*1=5，S_20=20/2*(a_1+a_20)=10*(1+19)=200，故A,B,C,D均正确。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：若a>b且c<0，则f(x)=ax^2+bx+c在R上单调递减，例如a=1>b=0，c=-1<0时，f(x)=x^2+x-1在R上单调递减。

2.正确

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π。

3.正确

解析：复数z=1+i的模|1+i|=√(1^2+1^2)=√2。

4.正确

解析：在等差数列{a_n}中，S_10=10/2*(2a_1+9d)=55，即2a_1+9d=11，由a_5=a_1+4d得11=5a_1+20d，联立解得a_1=1，d=1，故a_5=1+4*1=5。

5.错误

解析：直线l1：y=kx+1与直线l2：y=-x+k+1相交于点P即kx+1=-x+k+1，解得x=0，y=1