28.2.2(第2课时)利用仰俯角解直角三角形（培优教学课件）-2025-2026学年九年级数学下册（人教版2024）

第28

章锐角三角函数数学人教版

数学

九年级下册28.2.2(第2课时)利用仰俯角解直角三角形情境引入思考：你能想出个可行的办法吗?果果暑期和家人去旅游，当他们到达如图所示的点A

处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.视线仰角水平线俯角从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰

角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.仰角与俯角在进行测量时，铅直线视线典例精析例

1

如图，为了测量旗杆的高度BC,

在离旗杆底部10米的A处，用高1.20米的测角仪DA

测得旗杆顶端C

的仰角α=52°.求旗

杆BC的高.(tan52°≈1.28,精确到0.1米)解：

在

Rt△CDE

中，∵CE=DE×tan

a=AB×tan

a=10×tan

52°≈12.80,∴BC=BE+CE=DA+CE≈1.20+12.80=14.0(米).答：旗杆BC的高度约为14.0米.典例精析例2港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018

年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界

之最.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔

造型取自“风帆”,寓意“扬帆起航”,某校九年级学生为了测量该主塔

的高度，站在B处看塔顶A,仰角为60°,在距B处160米的C

处看塔顶A,仰

角为30°,求该主塔的高度.典例精析例2解：过点A作AD⊥CB于点D,设AD=x,由题意得，∠ABD=60°,∠ACD=30°,在Rt△ADB中，∴3x=x+160√3,∴x=80√3.答：该主塔高80

√3米.在Rt△

ADC中，1.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽

象为数学问题.2.视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度.3.

弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解.方法归纳A仰角、俯角问题的常见基本模型模型四例3榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念.果果所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度PQ,如

图，他在M

处放置了一面平面镜(大小忽略不计),然后沿QM方向移动，

当他站在点D处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端P的像，已知果果的眼睛距离地面的高度CD

为1.5米，DM=1.5米；小组成员在大厦另一侧点B处安装一个1.5米高的测角仪AB,测得大厦顶端P的仰角为56.3°,已知BM=164

米

，AB⊥DB,PQ⊥DB,CD⊥DB,点B,Q,M,D

在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内.请你帮助该小组求出该大厦的高度PQ.参考数据：

sin56.3°≈0.83cos56.3°≈0.55tan56.3°≈1.50典例精析∴设PQ=QM=x,∵AB⊥DB,PQ⊥DB,CD⊥DB,四边形ANQB是矩形，∴PN=PQ-NQ=x-1.5,AN=QB=BM-QM=164-x,在Rt△PAN中，,

∵∠PAN=56.3°,tan56.3°≈1.5,∴

,

∴x=99,经检验x=99是原方程的解，答：该大厦高99米.典例精析例3解：过点A

作AN⊥PQ

于点N,∵PQ⊥BD,CD⊥BD,

∴∠PQM=∠CDM=90°,

由题意得，∠PMQ=∠CMD,∴△PQM一△

CDM,.

∵CD=1.5,DM=1.5,

例4

如图，为了测量学校教学楼AB

的高度，果果同学先在教学楼前点的高度，

果果同学先在教学楼前点D

处测得楼顶A的仰角为45°,再沿BD

方向后退了

16米到点C处，此时测得楼顶A

的仰角为22°

(B、D、C

在一条直线上),

根据这些数据，请你帮助果果求出教学楼AB的高度(精确到0.1米).参考数据：

解：设AB=x,

由题意得，∠ABD=90°,∠ADB=45°,∠C=22°,CD=16m,∴∠DAB=∠ADB=45°,∴BD=AB=x,∴BC=x+1.6,∴在Rt△ABC

中，

∵∠PAN=56.3°,tan56.3°≈1.5,∴x≈10.7,答：教学楼AB

的高度为10.7米.典例精析课题测算树木的高度工具卷尺，测角仪等示意图说明先在点C处测得树顶A的仰角，再从点C处前进至坡底D处，

测得山坡与平地CD之间的夹角∠CDE,最后测得坡底D与树

底B之间的距离测量数据点C处测得树顶A的仰角为30°,∠CDE=135°,BD=20

√2m,CD=40m典例精析例5∴BF=BDsin∠BDF=20√2sin45°=20,DF=BDcos∠BDF=20√2cos45°=20,又∵

CD=40,∴CF=CD+DF=60,在Rt△

ACF中，∠ACF=30°,

,

∴AF

=CF·tan∠ACF=20√3,∴AB=AF-BF=20√3-20≈14.6(m).例5

解：过点B作BF⊥CD交CD的延长线于点F,

∴在

Rt△BDF

中，∠

BDF=180°-∠CDE=45°,

∠F=90°,BD=20√2,典例精析例6

如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB

长为40cm,

灯罩BC

长为30cm,

底座厚度为2cm.

使用时发现：光线最佳时灯罩BC与水平线

所成的角为25°,求光线最佳时灯罩顶端C

到桌面的高度CD

的值.

(参考数据：sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47).典例精析∴CF≈30×0.42=12.6(cm),∴CD=CF+FE+DE=CF+AB+2=12.6+40+2=54.6(cm).答：光线最佳时灯罩顶端C

到桌面的高度CD

的值约为54.6cm.典例精析例6解：过点B作

BF⊥CD

于点F,过点A

作AE⊥CD

于

点E,如图.∵在Rt△CBF

中

，BC=30cm,∠CBF=25°,概念利用仰俯角解直角三角形求解视线运用解直角三角形解决仰角、俯角问题仰角、俯角的概念视线仰角俯角归纳总结水平线铅

直

线1.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°,在B点处测得树顶C的仰角为60°,且A,B,D三点在同一条直线上.若AB=8

米，则树高度为

(C)米A.8√3

B.4√3+4

C.12-4√3

D.8+2√345°2.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，

A

如代替人们在高空测量距离和角度.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m

的点M

处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°再将无人机沿水平方向飞行73m

到达点N,

测得潮汐塔底端B的俯角为45°(

点M,N,A,B在同一平面内),则潮汐塔AB

的高度为

(C)m

(结果精确到1m,参考数据：sin

22°≈0.37

cos

22°≈0.93

tan

22°≈0.40A.41B.42

C.43

D.77C60°

D

B当堂检测当堂检测3.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为(

C)A.

米

B.30sinα

米C.30tanα米

D.30cos

α

米4.如图，港口A在观测站O的正东方向，

OA=4km,

某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B

处，此时从观测站0处测得该船位于北偏东60°的方向，

则该船航行的距离(即AB的

长

)

为

(C)A.4km

B.2√2km

C.2√3km

D.(√3+1)kmC(当堂检测5.伍家岗长江大桥大桥竣工后，为江城大道增添上一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB

底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图).已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB

的高度约为(

C

)

(参考数据：sin

41.5°≈0.663,cos41.5°≈0.749,tan

41.5°≈0.885)A.34

米B.38

米C.45

米

D.50

米50m6.聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点0是摩天轮的圆心，长为110米的AB

是其垂直地面的直径，小莹在地面C

点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°,测得圆心O的仰角为21°,则小莹所在C点到直径AB所

在的直线的距离约为(tan33°≈0.65,tan21°≈0.38)(C)A.169B.240C.204

D.407米米

米米当堂检测当堂检测7.如图，在高出海平面80米的悬崖顶A处，观测海

平面上一艘小船B,

并测得它的俯角为45°,则船

与观测者之间的水平距离BC=

80

米.8.如图，两建筑物AB

和CD

的水平距离为300米，从A点测得D

点的俯角为30°,测得C

点的俯角为60°,

则建筑物CD

的高为

200

√3米.高为2m,问电视塔的高度为多少米?

(精确到1m)B

单位：

(m)9.如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,

因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B

成一直线的C,D两处地面上，用测角

器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD

为50m.已知测角器当堂检测当堂检测解：设AB₁=xm.在Rt△AC₁B₁

中，

由∠AC₁B₁=45°,得C₁B₁=AB₁

,在Rt△AD₁B₁

中，由∠AD₁B₁=30°,∴AB=AB₁+B₁B≈68+2=70(m)答：电视塔的高度为70m.45°B

单位：

(m)即

,解方程式得x=25(

√3+1)≈6830°50→CD₁当堂检测10.一艘观光游船从港口A

以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至

C

处时发生了侧翻沉船事故，立即发

出了求救信号，

一艘在港口正东方向

的海警船接到求救信号，测得事故船

在它的北偏东37°方向，马上以40海

里每小时的速度往前救援，求海警船

到大事故船C处所需的大约时间.

(温

馨提示：sin53°=0.8,cos53°=0.6)C(游船)A(港口)

B(海景船)当堂检测解：过C

点作CD⊥AB

交AB

延长线于D.在Rt△ACD

中，∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80(海里)。

(海里)在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°,ZCBD=90°-30°=53°,∴海警船到大事故船C

处所需的时间大约为(小时)

.(海里)(1)求轮船M

到海岸线1的距离(结果精确到0.01米).(2)如果