八年级数学下册abz专项突破练7 正方形的几个常考模型

第十八章平行四边形专项突破练7

正方形的几个常考模型荣德基2UDDE模型图①

②

③模型归纳在正方形ABCD中，图①:AE⊥BF⇔AE=BF(互逆);图②:EH⊥FG⇔EH=FG(互逆);图③

:CE⊥BH⇔CE=BH(互逆)模型1十字架模型【模型分析】1.如图①,在正方形ABCD中，点E为边AD上一点，连接BE,点M在边CD上运动.(1)如图②,当点M和点C重合时，过点C作BE的垂线，

垂足为点P,交直线AB于点N.请直接写出MN与BE的数量关系：

MN=BE

;①(2)如图③,过点M

作BE的垂线，垂足为点P,

交直线AB于点N,试证明(1)中的结论仍成立.又∵

MN

⊥BE,

∴AF//MN.∵

四边形ABCD是正方形，

∴AB//CD.∴

四边形AFMN

是平行四边形.证明：如图，过点A作AF⊥BE

于点G,

交CD于点F.∴AF=MN.∵

四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=∠BAE=90°

,AD=BA.∴∠ABE+∠AEB=90°.∵AF⊥BE,

∴∠AGE=90°,

∴∠DAF+∠AEB=90°,∴∠DAF=∠ABE.在△ADF和△BAE中，∴△ADF≌△BAE(ASA).∴BE=AF.又∵

AF=MN,∴BE=MN.模型图模型归纳在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,若∠EOF为直角，则△AOE≌△BOF,△AOG≌△BOH,△OGH是等腰直角三角形

，

正方形ABCD模型2中心直角模型【模型分析】2.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD

相交于

0

,

设E,F分别是AD,AB

上的点，若∠EOF=90°,DO=4,

求四边形AEOF的面积.解：∵四边形ABCD是正方形，AC,BD是对角线，DO=4,∴AO=DO=4,∠EDO=∠FAO=45°,BD⊥AC,∴

∠AOD=90°.又∵∠EOF=90°,

∴∠DOE=∠AOF.∴△DOE≌△AOF(ASA),∴S△DOE=S△AOF.∴S

四边形AEOF=S△AOE+S△AOF=S△AOE+S△DOE=S在△DOE

和△AOF中

，模型图模型归纳方法：在AB上截取AM=EC.点E在正方形ABCD的边BC上运动，若∠AEF=90°,CF平分

∠DCG,则△AME≌△ECF,AE=EF,∠EAF=45°模型3

外角平分线模型【模型分析】3.如图①,四边形ABCD

是正方形，点E是边BC

的中点，∠AEF=90°,且EF

交正方形外角的平分线CF

于点F.求证：AE=EF.

(提示：取AB

的中点G,

连接EG)(1)请思考，提示中添加辅助线的意图是得到条件：

AG=CE; (2)如图②,若点E是BC

边上任意一点(不与点B,C

重合),其他条件不变.求证：AE=EF.∵

四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠B=90°.∵AG=EC,∴BG=BE,∴△BGE是等腰直角三角形，证明：如图，在AB上截取AG=EC,

连接EG.∴∠BGE=∠BEG=45°,∴

∠AGE=135°

.∵CF平分正方形ABCD的一个外角，∴∠DCF=45°,∴∠ECF=135°

,

∴∠AGE=∠ECF.∵AE⊥EF,

∴∠AEB+∠FEC=90°.∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠FEC=∠BAE,∴△GAE≌△CEF(ASA),∴AE=EF.模型图模型归纳方法：旋转△ADF到△ABG的位置.在正方形ABCD中，若∠EAF=45°,则BE+DF=EF,EA平分∠BEF,FA平分∠DFE,S△ABE+S△ADF=S△AEF,AI=AB,C△CEF=2AB模型4

半角模型【模型分析】4.如图，在正方形ABCD

中，点E,F

分别在BC,CD

上连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则

∠FEC一定等于(

A

)A.2a

B.90°-2αC.45°-a

D.90°-a,

AB

E(第4题)5.如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EA