【《含参变量反常积分与函数项级数收敛性研究》8900字（论文）】

引言引言级数分为数项级数、函数项级数。数项级数对应无穷积分，函数项级数对应含参变量反常积分[1]，它们都是数学分析中基本的概念。含参变量反常积分和函数项级数，有许多一致收敛判别方法，且二者在一致收敛时，均可讨论它们的分析性质，二者的收敛性是数学分析中的重要组成部分。此外，在给出函数项级数的相关定义、概念、分析性质、一致收敛的判别方法等之后，可以运用类比的数学思想，平行推导出含参变量反常积分的相关概念。在研究含参变量反常积分和函数项级数收敛性时，不但加深了对数学分析内容的理解，而且掌握类比思想可以更好地提升思维能力。本文将从三个方面进行讨论。先给出含参变量反常积分的定义、分析性质、一致收敛判别方法的证明及应用.再针对函数项级数给出其定义、分析性质、一致收敛判别方法的证明及应用.在上述的基础上，研究含参变量反常积分和函数项级数收敛性之间的关系，建立二者之间的联系，然后研究收敛性的相关问题.在讨论二者之间的联系时，可利用类比的方法进行探究，从函数项级数入手，平行推导出含参变量反常积分的相关问题.进而推广至含个参变量的反常积分与元函数项级数之间的收敛性，并将含单个参变量反常积分的分析性质推广至含个参变量的情形以及给出证明过程.这在学习数学分析中，可以对整个知识的体系有更好的把握.含参变量反常积分含参变量反常积分的定义性质含参量的无穷限反常积分和含参量的无界函数反常积分都是含参变量反常积分.首先，分别介绍它们的相关概念.（1）含参量的无穷限反常积分.定义1.1.1[2]设函数在上有定义，是一个区间，固定，反常积分（1.1）均为收敛的，则其值记为，函数是在上取值的，则,，此时，称（1.1）是定义在上的含参量的无穷限反常积分，即含变参量反常积分.为了讨论其收敛性的相关问题，给出了什么是一致收敛，以及常用的柯西一致收敛准则和确界描述.定义1.1.2（一致收敛）[2]对于任意的，总是存在实数，使得，，都有即，称含参变量反常积分（1.1）在上一致收敛.即,有.定理1.1.1（一致收敛准则）[3]式（1.1）在上一致收敛对于，，时，对于，有.定理1.1.2[3]式（1.1）在上一致收敛，其.关于含参变量反常积分（1.1）在区间上一致收敛,以上三个说法是等价的：定义1.1.2定理1.1.1定理1.1.2.(2)含参量的无界函数反常积分.对含参量的无界函数反常积分，可参照（1）的情给出它的定义、定理.也就是说，参考上述的相关定义、定理，就可以仿照它们，写出以下的定义、定理.定义1.1.3[4]设函数在区域上有定义.若对于的某些值，是函数的瑕点，则称反常积分（1.2）是含参量的无界函数反常积分，即含变参量反常积分.一致收敛的定义：含参变量反常积分（1.2）收敛（为瑕点）对于任意的，总是存在，使得时，，都有.一致收敛准则：式（1.2）在上一致收敛对于任意的，总是存在，使得当时，对于，都有.一致收敛的确界描述：式（1.2）在上一致收敛，其中.关于含参变量反常积分（1.2）在区间上一致收敛,以上三个说法也是等价的：一致收敛的定义一致收敛准则一致收敛的确界描述.其次，当含参变量反常积分一致收敛，就可以对它的性质进行讨论[5]，其分析性质是：连续性、可微性、可积性.下面分别给出了这三个性质的定理.定理1.1.5(连续性)[6]设关于变量是连续的，若含参变量反常积分关于x在上一致收敛，则在上连续.定理1.1.6(可微性)[6]设与均为上的连续函数.若在上收敛,在上一致收敛,则在上可微，且.定理1.1.7(可积性)[6]设为上的连续函数，若在上一致收敛，则在上可积，且.1.2含参变量反常积分一致收敛性判别法与证明要想证明参变量反常积分在它给定的区间里的一致收敛性，可以运用的方法有以下三种：判别法、判别法、判别法.这三个判别法都是证明一致收敛性的充分必要的条件，下面给出了这三个判别法和它们的证明过程.定理1.2.1（判别法）[6]设函数，使得,,,且收敛，则（1.1）在上一致收敛.证明因为收敛，由定理1.1.1可得：对于任意的正数，存在某个实数，使得，有,又,,,即，所以（1.1）在上一致收敛.上述定理是含参量的无穷限反常积分的判别法及证明过程.将上述定理中的换成时，并且设为瑕点，就得到含参量无界函数反常积分的判别法.判别法、判别法也是同理类似可得，因此下面就不再赘述了.定理1.2.2（判别法）[6]设（1）（1.1）在上一致收敛.（2）对于任意的，函数为的单调函数；（3）且对参量，在上一致有界.则含参变量反常积分在上一致收敛.证明由于（1.1）在上一致收敛，由定理1.1.1可知，对于任意的，，时，有.又对于任意的，为的单调函数，且对参量，在上一致有界，所以对于任意的正数，存在某一正数，当时，有.那么时，对于任意的，由积分第二中值定理得：其中在与之间.因此，由定理1.1.1可得：在上，一致收敛.定理1.2.3（判别法）[6]设（1）对任意实数，含参变量正常积分对参量在上一致有界，即存在，对于任意的，任意的，有；（2）对于任意的，函数为的单调函数；（3）且当时，对参量，一致收敛于0；则含参变量反常积分在上一致收敛.证明因为，关于在上一致有界，即，当时，对于任意的正数，有，又对于任意的，为的单调函数，且当时，对参量，一致收敛于0，所以对于任意的正数，存在某一正数，当时，有，任意的，由积分第二中值定理，存在，使得.因此，由定理1.1.1（一致收敛准则）可得：在上，积分一致收敛.1.3含参变量反常积分一致收敛判别法的应用讨论一致收敛性的判别例1.3.1[7]证明在上，的一致收敛性.证明因为对任意的实数，有，且反常积分收敛.所以，由定理1.2.1（判别法）可得：在上一致收敛.例1.3.2证明下列各题（1）在上一致收敛；（2）在上一致收敛；（3）在上一致收敛；（4）在上一致收敛.证明(1)因为,又反常积分在上收敛.所以,由定理1.2.1（判别法）可得：在区间上，积分一致收敛.因为，又在上,反常积分收敛.所以,由定理1.2.1（判别法）可得：在上，积分一致收敛.因为,反常积分收敛.所以,由定理1.2.1（判别法）可得：在上，积分一致收敛.因为,反常积分收敛.所以,由定理1.2.1（判别法）可得：在上，积分是一致收敛的.例1.3.3[3]证明在上是一致收敛的.证明因为(1)反常积分是收敛的，，它对于参量在区间上一致收敛.(2)对每一个，函数为的单调函数；(3)且对任何，都有.所以由定理1.2.2（判别法）可得：在上一致收敛.例1.3.4[3]证明在上，内闭一致收敛.证明（1）因为设，则对任意的，都有.而，因此一致有界.又，因此关于单调递减；且当时，对于参量，一致收敛于0.所以，由定理1.2.3（判别法）可得：在上，内闭一致收敛.例1.3.5[7]证明含参变量反常积分在上一致收敛.证法1因为对于任意的，积分是收敛的.（1）又因为收敛，与无关，所以在上一致收敛.对于任意固定的，为的单调函数；且，因此在上一致有界.所以由定理1.2.2（判别法）可得：在上，积分一致收敛.证法2将含参变量积分改写成.任意实数，由于.即对于任意实数，因此在上，是一致有界的.第2章函数项级数对任意固定的，为的单调函数；且当时，，因此当时，关于一致收敛.所以，由定理1.2.3（判别法）可得：在上，积分一致收敛.第2章函数项级数2.1函数项级数的定义性质函数项级数是属于数项级数的一部分内容，而函数项级数和函数列又是紧密联系的。下面首先给出与函数项级数有关的基本概念.定义2.1.1[8]设为定义在上的一个函数列,（2.1）是定义在上的函数项级数,可记为或者.称是函数项级数（2.1）的部分和函数列.定义2.1.2[8]式（2.1）在收敛域上每点与它对应的数项级数的和构成一个定义在上的函数,称为级数的和函数.记为：即. 由此可得,研究函数项级数（2.1）的收敛性的相关问题的时候，可从其部分和函数列的收敛性[9]入手.其次，给出函数项级数（2.1）一致收敛的概念.定义2.1.5[8]设为函数项级数的部分和函数列.如果在上一致收敛于函数,则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛.即.定理2.1.1(一致收敛准则)[8]函数项级数在区间上一致收敛于对于，存在，使得，对于，都有().定理2.1.2[8]函数项级数在上一致收敛于.在区间上一致收敛于,以上三个说法是等价的：定义2.1.5定理2.1.1定理2.1.2.最后，函数项级数具有三个性质，分别是：连续性、逐项求积、逐项求导.下面给出这三个性质.定理2.1.3(连续性)[6]若函数项级数在上一致收敛，且每项均连续，则它和函数在上也连续.该定理说明，一致收敛时，求和和求极限运算可交换，即.定理2.1.4(逐项求积)[6]若函数项级数在上一致收敛，且每项均连续，则.该定理说明，一致收敛时，先逐项求积再求和与先逐项求和再求积是一样的.定理2.1.5(逐项求导)[6]若函数项级数在上每项都有连续的导函数，的收敛点是，，且在上一致收敛，则.该定理说明，一致收敛时，先逐项求导再求和与先逐项求和再求导是一样的.2.2函数项级数一致收敛性判别法与证明证明函数项级数的一致收敛性，除了根据定义等条件来进行判别,还能运用下列方法，观察所给出的级数的各项特点判别.由此介绍一致收敛的充分条件,即判别法、判别法、判别法.并给出三个判别法的证明过程.定理2.2.1（M判别法）[6]若，设且正项级数收敛,则函数项级数在上一致收敛.证明设正项级数收敛,由数项级数的准则,对于,,使得,,有,又由得：,有.所以，由定理2.1.1(一致收敛准则)可得，在上一致收敛.定理2.2.2（判别法）[6]设（1）在区间上一致收敛；（2）对于,单调；（3）在上一致有界,即,使得对于和,有,则在上一致收敛.证明由（1）得,,正数,正整数,,有.由（2）,（3）以及阿贝尔引理可得.所以，由定理2.1.1(一致收敛准则)得：在上一致收敛.定理2.2.3（判别法）[6]设的部分和函数列在上一致有界；对于,单调；在上一致收敛于0,则在上一致收敛.证明由（1）得,正整数,,有.因此当任意正整数，有.对于，再由（2）以及阿贝尔引理可得.再由（3），对于，正数，当时，，有,所以.所以，由定理2.1.1(一致收敛准则)得：级数在上一致收敛.2.3函数项级数一致收敛判别法的应用在讨论函数项级数一致收敛时，可以观察并根据一些级数自身的特性，结合判别法、判别法、判别法这三种判别法，准确地得出结果.例2.3.1判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.（1）,；（2）,；（3）,.解：（1）因为对任意有,又正项级数收敛.因此，由定理2.2.1（M判别法）可得：在上，一致收敛.（2）因为对任意有,又正项级数收敛.所以，由定理2.2.1（M判别法）可得：在上，一致收敛.（3）因为对任意有,又级数收敛，所以，由定理2.2.1（M判别法）可得：在上，是一致收敛的.例2.3.2证明：是上的连续函数，且存在.证明因为，又收敛，所以由定理2.2.1（M判别法）可得：在上，一致收敛.对任意的，因为连续，所以在上连续，因此存在.例2.3.3[10]证明：函数项级数在上一致收敛.证明因为记，，(1)关于一致收敛；(2)对于任意，单调递增；(3)一致有界，即存在，对于任意和任意的正整数，有，所以，由定理2.2.2（判别法）可得：在上，一致收敛.例2.3.4[11]若级数收敛，证明当时，函数项级数一致收敛.证明记，，(1)关于一致收敛；(2)对于任意，单调递增；(3)一致有界，即存在，对于任意和，有，所以，由定理2.2.2（判别法）可得：在上，一致收敛.例2.3.5[10]若数列单调收敛于0，则级数在上一致收敛.证明记，，因为，所以当时，，因为(1)在上的部分和函数列一致有界；(2)对于任意，是单调的；(3)对于任意，，即在上一致收敛于零,所以，由定理2.2.3（判别法）可得：在上函数项级数一致收敛.第3章含参变量反常积分与函数项级数收敛性第3章含参变量反常积分与函数项级数收敛性3.1含参变量反常积分与函数项级数的关系含参变量反常积分与函数项级数均为数学分析中重要内容，二者之间有着密不可分的联系.二者之间的关系本质上为函数极限与数列极限之间的关系.运用类比的思想，从研究函数项级数入手，可以得出含参变量反常积分相关概念.下面给出二者之间的关系.取数列，随着的严格递增，假设，，则可得到如下关系式：上式把含参变量无穷限反常积分分布到可列个有限区间，变成无限个含参量正常积分的和，因而与函数项级数之间建立起联系.即含参变量反常积分与函数项级数一致收敛性之间的联系[12].定理3.1.1[6]含参变量反常积分（1.1）在上一致收敛递增数列，函数项级数（3.1）在上一致收敛.证明必要性：由（1.1）在上一致收敛得，对于，，使，对于，都有.又由当时，可得，对于任意的正数，存在正整数，只要当时就有.由可得：对任意的，都有.因此，函数项级数在上一致收敛.充分性：用反正法.假设（1.1）在上不一致收敛，则存在，使得对于任意的实数，存在着相对应的和，有.此时，取，则，，使得.取，则，以及，使得.由于是递增数列，而且，现对级数进行考察.由：，对于，只要，就有某个，使得.这与级数在上一致收敛的假设矛盾，因此含参变量反常积分（1.1）在上一致收敛.在上述的定理中，可以把式（1.1）当成连续型函数项级数.3.2含参变量反常积分与函数项级数收敛性的关系在上述的基础上，可以从以下两个方面二者之间的一致收敛性联系进行研究.判别方法的平行推导.从函数项级数一致收敛性判别法入手，其一致收敛准则、上确界极限为零、判别法、判别法、判别法，它们都可平行推导出含参变量反常积分相应的一致收敛性判别法.定理2.1.1（函数项级数一致收敛准则）定理1.1.3（含参变量反常积分一致收敛准则）.定理2.2.1（函数项级数判别法）定理1.2.1（含参变量反常积分判别法）.先将定理2.2.1中的函数项级数利用式（1.1）进行替换，再把函数项级数利用反常积分进行替换，就可以平行类推出定理1.2.1.定理2.2.2（函数项级数判别法）定理1.2.2（含参变量反常积分判别法）.先将定理2.2.2中的函数项级数利用式（1.1）进行替换，再把函数列替换成函数，就可以平行类推出定理1.2.2.定理2.2.3（函数项级数判别法）定理1.2.3（含参变量反常积分判别法）.先将定理2.2.3中的函数项级数替换成含参量正常积分，再把函数列替换成函数，就可以平行类推出定理1.2.3.证明过程的平行推导.根据定理3.1.1，二者的一致收敛准则、判别法、判别法、判别法等一致收敛判别法，可直接运用类比的思想平行借鉴得到，因此在相关定理的证明思路上也是可以运用类比的思想平行推导得出[12].定理2.1.1（函数项级数一致收敛准则）的证明定理1.1.3（含参变量反常积分一致收敛准则）的证明.由定理2.1.1可知对于，，使得，对于一切的和正整数，有.函数项级数可以类比成含参变量反常积分，任两个大于的实数，，则.，，因为是递增数列，首项为，且，，令，则，此时，是任意的两个大于的数，令，，即，由此类比出含参变量反常积分的一致收敛准则，即得到定理1.1.3[12].定理2.2.1（函数项级数M判别法）的证明定理1.2.1（含参变量反常积分M判别法）的证明.由定理2.2.1的证明：设正项级数收敛，对于，，，对于，有.又由得：,有.函数项级数可以类比成含参变量反常积分，把函数项级数利用反常积分进行替换，任两个大于的实数，，则，，因为是递增数列，首项为，且，，令，则，此时，是任意的两个大于的数，令，，即，由此类比得到定理1.2.1.以下的平行推导可从第一章的1.2节与第二章的2.2节中看出.因为在第一章的1.2节与第二章的2.2节中已经给出了具体的证明过程，因此下面不在详细写出每个定理的证明过程，只给出它们之间平行推导的关系.定理2.2.2（函数项级数判别法）的证明定理1.2.2（含参变量反常积分判别法）的证明.定理2.2.3（函数项级数判别法）的证明定理1.2.3（含参变量反常积分判别法）的证明.3.3含参变量反常积分与函数项级数收敛性的应用例3.2.1设，讨论含参变量反常积分在区间上关于的一致收敛性.解法1：由于大于零恒成立，且在上关于单调递减.对于，且.因为，且，所以级数收敛.因此，由定理2.2.1（函数项级数M判别法）可得：在上关于一致收敛.故由定理3.1.1可得：在上关于一致收敛.法2：由于，因此由柯西判别法可得：含参变量反常积分在区间上关于是一致收敛的[3].例3.2.2设的收敛半径为，且收敛，证明：收敛，且.证明，由阿贝尔判别法可知，在上一致收敛，从而可以逐项积分，即.又,，有，而收敛，所以在上一致收敛，从而可以逐项极限，于是.含参变量反常积分性质证明，均运用到了定理3.1.1.下面给出这三个性质的证明.参考文献定理1.1.5(连续性)[6]证明由定理3.1.1，对于任意递增数列，，，在上一致收敛.又因为在区域上连续，所以每一个在区间上均为连续的.根据定理2.1.3（函数项级数的连续性）可知：函数在上连续.定理1.1.6(可微性)[6]证明对于任意递增数列，，，令.且.由在区间上一致收敛和定理3.1.1得，在上一致收敛，因此根据定理2.1.5(函数项级数逐项求导)，得，或者.定理1.1.7(可积性)[6]证明设由定理1.1.5可知在上连续，从而在上可积.又由定理3.1.1中的（3.1）可得：在上一致收敛，且各项在上连续，因此，由定理2.1.4(函数项级数逐项求积)得.3.4含个参变量的反常积分与元的函数项级数的关系及应用在含多个参变量的反常积分与多元函数项级数[13]之间，也可以得到类似于定理3.1.1那样的关系，也就是说，二者之间的一致收敛性可以运用类比思想，平行推导至含K个参变量的情形.首先，推广含个参变量反常积分与元的函数项级数收敛性的关系.含个参变量的反常积分在上一致收敛递增数列，元函数项级数（3.2）在上一致收敛.（其中，是上的有界区域)其次，将上述的推广进行应用.在第一章中所给出的分析性质是含单个参变量的反常积分，现在也将其进行推广，从而给出含两个参变量[14]、三个参变量的情形，经观察发现可以逐步推广至含个参变量的情形也成立.于是再继续推导至含个参变量的情形.并且给出了含个参变量的情形的证明.(1)连续性.含两个参变量：设关于变量是连续的，如果积分关于在上一致收敛，则在上连续.(其中，是上的有界区域)含三个参变量：设关于变量是连续的，如果积分关于在上一致收敛，则在上连续.(其中，是上的有界区域)含个参变量：设关于变量是连续的，如果积分关于在上一致收敛，则在上连续.(其中，是上的有界区域)证明因为在上一致收敛，所以对于，，使得时，,对上一切成立，因此当在上时，也对一切成立，，又在上连续，所以是在上的连续函数，对，，使当时，，因此，当时，有，即是上连续函数.(2)可微性含两个参变量：设和在有界开区域上关于变量是连续的，如果在上收敛，在上关于一致收敛，则在上可微，且和.(其中，是上D的有界投影区域)含三个参变量：设和在上关于变量是连续的，如果在上收敛，在上关于一致收敛，则在上可微，且，和(其中，是上D的有界投影区域)含个参变量：设和在上关于变量是连续的，如果在上收敛，在上关于一致收敛，则在上可微，且.(其中，是上的有界投影区域)证明因为，由含个参变的连续性得：是上的连续函数，沿着积分得：，对上式两边求导，由于连续，得到.（3）可积性含两个参变量：设关于变量是连续的，如果关于在上一致收敛，则在上可积，且.(其中，是上的有界区域)含三个参变量：设关于变量是连续的，如果关于在上一致收敛，则在上可积，且.(其中，是上的有界区域)含个参变量：设关于变量是连续的，如果关于在上一致收敛，则在上可积，且.(其中，是上的有界区域)证明由含个参变反常积分的连续性知：在上连续，从而在上可积.又由（3.2）可得：函数项级数在上一致收敛，且各项在上连续.所以，由函数项级数逐项求积定理得：.结论本文对参变量反常积分与函数项级数收敛性进行研究，分别对含参变量反常积分、函数项级数、参变量反常积分与函数项级数三种情形进行讨论.第一种情形是针对含参变量反常积分，先给出含参变量反常积分的相关概念，三个性质，一致收敛判别法及证明与应用.第二种情形是关于函数项级数的，也是按照第一种的情形