热点7-2 圆锥曲线的定义、方程与几何性质（10题型+高分技法+限时提升练）（教师版）

热点7-2圆锥曲线的定义、方程与几何性质三年考情分析2025考向猜测考查内容主要包括圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质．题型多样，以选择题和填空题为主，部分解答题涉及直线与圆锥曲线的综合应用．命题综合性增加，常与其他学问结合，同时留意创新性题型的设计．圆锥曲线的定义、方程与几何性质将连续作为高考的重点内容，题型不会有太大变化．简单的代数运算和几何推理仍旧是解题的关键，特殊是涉及离心率、渐近线、弦长等几何性质的计算．题型1椭圆的定义及标准方程1、在椭圆的定义中条件不能少，这是依据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段；②当时，其轨迹不存在．2、利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．3、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤：（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及确定的值；（3）写出标准方程．1．（24-25高三下·全国·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在其次象限内的一点，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆的定义得，结合，解得，，所以，从而，所以故选：D.2．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【解析】由题意，，，，当且仅当时，等号成立，的最大值是25．故选：D．3．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，结合选项可知，曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“”.故选：A.4．（24-25高三上·海南·月考）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知、是椭圆的短轴的两个端点，所以，设，由为的重心，所以，又为椭圆上一动点，所以即，所以有：，又为的重心，所以，即的轨迹方程为.故选：B.题型2椭圆的几何性质及应用1、已知椭圆的方程争辩性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型；2、焦点位置不确定的要分类争辩，找准与,正确利用求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要留意长轴长、短轴长、焦距不是，，，而应是，，．1．（24-25高三上·湖北随州·月考）已知椭圆，则下列结论正确的是（

）A．长轴长为 B．焦距为C．短轴长为 D．离心率为【答案】D【解析】把椭圆方程化为标准方程可得=1，所以，，，则长轴长，焦距，短轴长，离心率.故选：D.2．（23-24高三下·江苏南通·月考）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得椭圆的焦点在轴上，故，则，得.故选：D.3．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（

）A． B． C．或4 D．或4【答案】D【解析】易知椭圆的离心率为，对于椭圆，当焦点在轴上时离心率为，解得；当焦点在轴上时离心率为，解得，所以或.故选：D．4．（24-25高三下·湖南·开学考试）在直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于两点，连接并延长交于另一点，且，则的长轴长为（

）A．7或10 B．6 C．7或9 D．10【答案】D【解析】依题意，，设椭圆的半长轴长为，则，，在中，，在中，，则，整理得，即，解得或，当时，，不满足题意，当时，，满足题意，所以的长轴长为10.故选：D题型3双曲线的定义及标准方程1、双曲线的定义：判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而依据要求可求出曲线方程．2、双曲线标准方程的求法（1）利用定义求双曲线的标准方程，依据双曲线的定义得到相应的，，的值，再写出方程；（2）待定系数法，先设出双曲线的标准方程或（均为正数），然后依据条件求出待定的系数，最终代入方程即可．留意：当焦点的位置不明确时，可以分类争辩，也可以设双曲线方程为的形式，留意表明条件．1．（24-25高三上·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（

）A．1 B．1或9 C．9 D．3【答案】C【解析】由题意可得，即，又，即，由双曲线的定义可得，解得或9，又，所以.故选：C2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由及双曲线的定义可知，点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则，由于，所以，故点的轨迹方程为．故选：A3．（24-25高三上·湖南·月考）已知分别为双曲线右支与渐近线上的动点，为左焦点，则的最小值为.【答案】4【解析】设双曲线的右焦点为，渐近线为，则，，当且仅当三点共线时，，的最小值为垂直于渐近线时，所以的最小值为.4．（23-24高三上·天津河西·月考）已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，抛物线的焦点，准线方程为，即直线，不妨令点在其次象限，由是等边三角形，得直线的方程为，于是点，明显点在双曲线的渐近线上，则，又，解得，，所以双曲线的方程为.故选：C题型4双曲线的几何性质及应用已知双曲线的方程争辩其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准和，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．留意与椭圆的相关几何性质进行比较．1．（24-25高三下·湖北·月考）若双曲线的焦距为6，则（

）A．5 B．3 C． D．【答案】D【解析】若双曲线的焦点在轴上，依题意可得，解得；若双曲线的焦点在轴上，依题意可得，解得.综上可得：.故选：D.2．（24-25高三下·山东·模拟猜测）双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的方程可化为，所以渐近线方程为．故选：B3．（24-25高三下·湖南·月考）若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于双曲线，其渐近线方程为，即.点到渐近线（取这条渐近线计算，取另一条结果相同）的距离，已知距离，则.即，两边同时平方可得，解得.把代入可得虚轴长为.故选：B.4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为，直线与直线交于点，交双曲线于点，由M是线段的中点，得，则，，所以C的渐近线方程为.故选：C题型5抛物线的定义及标准方程1、利用抛物线的定义解决问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、留意机敏运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2)．3、抛物线的标准方程求法（1）定义法：依据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要留意选择．（2）待定系数法：依据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后依据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要留意分类争辩．1．（24-25高三下·辽宁·模拟猜测）已知为抛物线：的焦点，上一点到轴的距离为，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】易知抛物线：的准线方程为，由上一点到轴的距离为，得点到直线的距离为，由抛物线的定义可知.故选：A.2．（24-25高三下·福建·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】记坐标原点为，过点作，垂足为．由已知及抛物线定义可得，，，∴△为等边三角形，，又∵，∴，则．∴，解得.故选：B．3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.过点作于点，由定义可得，所以，由图可得，当三点共线时，最小，此时.故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为．故选：C.4．（24-25高三上·四川德阳·期末）2025年3月20号，我国成功放射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可开放的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线开放后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点设抛物线的方程为，则，解得，抛物线的焦点，准线方程为，，所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为.故选：B题型6抛物线的几何性质及应用1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．1．（23-24高三下·河南驻马店·二模）已知点在焦点为的抛物线上，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解析】抛物线，准线，,由抛物线的定义可知，解得.故选：A.2．（23-24高三下·重庆·模拟猜测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】设，由于的重心恰为F，则，解得，由可知关于x轴对称，即，则，即，又由于，解得.故选：D.3．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，则，由，得，则，由，得，得，联立解得，，所以.故选：C4．（24-25高三上·河北·月考）已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线，准线交轴于点，由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为，过作于，交于，令，，，由，得，即，则，线段中点，过作于，则，由AB的中点到轴的距离为，得，因此，所以.故选：B题型7圆锥曲线的焦点三角形问题1、椭圆的焦点三角形：性质1：AF1+∆AF1F2的周长为A性质2：4c2、在双曲线的“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（

）A．20 B．10 C． D．【答案】D【解析】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c，由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是的中点，则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则，由为线段的中点，得，因此，解得，而，于是，所以的周长为.故选：D2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（

）A． B．离心率为C．的面积为6 D．的面积为12【答案】ABC【解析】由，得，则，由于是椭圆上一点，所以，由于，所以，，故A正确；对于B，离心率为，故B正确；对于CD，由于，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误．故选：ABC3．（24-25高三下·安徽·开学考试）设分别是双曲线的上、下焦点，双曲线上的点满足，则的面积等于（

）A． B．12 C． D．6【答案】D【解析】由可得，故，又，故,即，故的面积为，故选:D4．（24-25高三上·四川成都·期中）设双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线PF1与双曲线的渐近线在其次象限内的交点为Q.若点Q恰好为线段PF1的中点，则直线PF2的斜率的值为（

）A．−2 B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，可得，又由于为的中点，为的中点，所以，，，所以，又，得，由双曲线的定义可得，所以，所以，所以，故选：A题型8圆锥曲线的中点弦问题1、椭圆的中点弦（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．2、双曲线、抛物线的中点弦与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．1．（24-25高三上·河北正定·月考）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点、，由于点为线段的中点，则，，若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，由题意可得，将这两个等式作差可得，即，所以，直线的斜率为.故选：D.2．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题设，，即，可得，过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点，所以，，又，，则，即，所以，故直线的方程为，即.故选：C.3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设中点为，由题设易知，故，由于，故，所以，而，故，故，故.故选：A4．（24-25高三上·陕西宝鸡·模拟猜测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，由于线段的中点坐标为，则，则，两式相减得，则，由于，所以，，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：D.题型9圆锥曲线的离心率问题求圆锥曲线离心率的方法（1）和易求，由求得离心率．（2）在椭圆中，，故；在双曲线中，，故．因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然．（3）和不易求，和的比值不易求，但是以条件可求出，，的关系式，从而得到齐次式，等号两边同时除以，得到关于的方程，求解即可．留意依据的取值范围进行检验．1．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且有用，现保藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，设椭圆方程为，则，，所以该椭圆离心率为.故选：C2．（24-25高三上·河南·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令椭圆的左焦点为，则，由椭圆定义知，则，设直线交椭圆于、两点（如图），而，即，当且仅当点、、共线时取等号.当点与重合时，，则，当点与重合时，，则，所以，即，经检验，此时点在内，所以.故选：B.3．（24-25高三下·贵州·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由于,，所以，所以，.故选：D4．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）已知、分别为双曲线：（，）的左右焦点，为其左支上一点，且，则双曲线离心率的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由双曲线的定义可知，对于双曲线，.已知，即.将代入，可得.化简得，所以，那么.

由于为双曲线左支上一点，有.已知，，且，所以.即，化简得.

双曲线的离心率，且.由可得，所以.则双曲线离心率的最大值为.

故选：C题型10直线与圆锥曲线位置关系1、直线与圆锥曲线的位置关系推断主要依靠联立直线与曲线方程，通过判别式来确定，但要留意双曲线与抛物线中只有一个交点时的特殊状况．2、弦长公式设，，依据两点距离公式．（1）若，在直线上，代入化简，得．（2）若，在直线上，代入化简，得．（3）构造直角三角形求解弦长．其中为直线斜率，为直线倾斜角．1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，即，故，故渐近线方程为，直线与双曲线没有公共点，则，故.故选：B2．（24-25高三上·北京·月考）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点；当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点；当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：，由于.由，由于，所以方程有两根，故过点可以作两条直线与抛物线相切.综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点.故选：D3．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，所以为椭圆的右半部分．当时，直线与有两个公共点；当时，直线，令，将代入，得，则，得，则．由图可知，所以．综上，的取值范围是．故选：D.4．（24-25高三上·甘肃白银·月考）在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)1【解析】（1）由题意，，分别是，轴上一点，且．动点满足，设，，，∴，，，即∴，解得：，∴曲线的方程为：．（2）由题意及（1）得，在中，过点的直线与曲线交于，两点，易知直线的斜率存在，设其方程为，即，设，，由消去得，由，得，，．设点到直线距离为，的面积为，，解得：设，则，，当且仅当时取等号，∴面积的最大值为1．5．（24-25高三上·浙江金华·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是(1)求双曲线的方程；(2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）由于渐近线方程是，得，，又，，即，整理得，解得：，，故双曲线方程为.（2）设直线的方程为，联立，可得，依据题意，解得点纵坐标为，代入，解得，所以，设线段的中点为，依题意，则点的坐标为，设点，由于是正三角形，所以有，，，则由得，，即，整理有：，所以①.在正三角形中，有，由结合弦长公式得，，化简得.代入①可得，所以点或.（建议用时：60分钟）一、单选题1．（24-25高三上·云南德宏·期末）若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆可得，，，且焦点在y轴上，可知椭圆的长轴顶点为，焦点为，所以双曲线的焦点为，顶点为，设双曲线方程为，可得，，则，所以双曲线的方程为.故选：A.2．（24-25高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接由椭圆对称性知故选：D3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于A，B两点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，令，则，由椭圆的定义可知，，又，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由于，所以，所以，所以.所以的离心率是.故选：A.4．（24-25高三下·广东深圳·模拟猜测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由椭圆：可得，，，由于上一点且在第一象限，则由为等腰三角形，则可得或，当时，，此时的面积为：；当时，，不合题意，舍去.综上，可得的面积为.故选：C．5．（24-25高三上·湖南永州·模拟猜测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】由题，又，.，即（t为参数），取上顶点时最大，此时.不会为直角，只有当或是直角才符合题意，所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4.故选：C.6．（24-25高三上·天津·期末）已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的准线与轴交于，则，设的中点为，，则，在的渐近线上存在点，使得，是以为圆心，半径为的圆与渐近线有公共点，所以，，所以.故选：D7．（24-25高三上·天津·月考）已知抛物线，焦点为F，第一象限的点A、B均在抛物线上，，，，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设抛物线准线为，过两点分别作，垂足分别为，作于点，如下图所示：易知，可得，在直角三角形中，，，可得直线的倾斜角为，易知，所以,即直线的斜率为.故选：B8．（24-25高三上·江苏镇江·模拟猜测）抛物线：的焦点为，直线经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（

）A． B．弦的中点到轴的距离为C． D．点的坐标为【答案】D【解析】对于A，由于抛物线：的焦点为，由题意，所以，即，故A正确；对于D，如图：过点作垂直于轴，由于，所以，由于，所以，所以，代入可得，故D错误；不妨设点在轴下方，则，所以直线的方程为：，即，由得，所以，对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确；对于C，，故C正确.故选：D二、多选题9．（24-25高三下·江西·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（

）A．的离心率为B．若，则的周长为C．若的斜率为1，则的面积为D．若为的右支上两点，则直线的斜率【答案】ACD【解析】由于的一条渐近线方程为，所以，由题知，，故A正确；当为的右支上两点时，由双曲线的定义得的周长为，当分别为的左，右两支上两点时，的周长为，故B错误；由题意的方程为，与联立得，所以，所以，故C正确；由于为的右支上两点，所以或，故D正确．故选：ACD．10．（24-25高三上·江西·期末）已知抛物线（）的焦点为是C上不同的两点，则（

）A．C的方程为B．点F到C的准线距离为4C．的最小值为4D．若共线，则的最大值为【答案】BD【解析】由，得，C的方程为，A错误；依据抛物线的性质知，点F到C的准线距离为，B正确；由抛物线上点到焦点距离最小点为顶点，故，又为不同点，故，C错误；设直线AB的方程为，与联立，得，所以，则，当且仅当且时取等号，D正确.故选：BD11．（23-24高三下·安徽·模拟猜测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（

）A．的轨迹方程为B．的轨迹与椭圆共焦点C．是的轨迹的一条渐近线D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点【答案】BC【解析】对于A，设点，，则，，所以，化简得，所以点的轨迹方程为.故A错误；对于B，由A选项，点的轨迹的焦点为与椭圆共焦点，故B正确；对于C，点的轨迹对应曲线的渐近线为，故C正确；对于D，点在轴上，则，，所以直线，与渐近线平行，但点不在点的轨迹上，故过点只能作点的轨迹两条切线，如图所示，故D错误.故选：BC.三、填空题12．（24-25高三上·北京通州·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则线段的中点的横坐标为.【答案】3【解析】设，，则依据抛物线定义可得，解得，所以线段的中点的横坐标为3．13．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的