数学物理方法 课件 05傅里叶变换、06普拉斯变换

目录第5章

傅里叶变换

5.1傅里叶级数5.2傅里叶积分变换5.3傅里叶变换的性质5.4δ

函数第1篇复变函数及应用5.1傅里叶级数1.实数形式的傅里叶级数设

f(x)是一个以2l为周期的函数，即则可以把它展开成如下形式的傅里叶级数利用三角函数系的正交性1.实数形式的傅里叶级数其中符号δn，m

的定义为可以得到式(5.1-2)中的傅里叶展开系数为如果l是一个具有长度量纲的物理量，则式(5.1-2)就是周期函数

f(x)按空间变量x

展开的傅里叶级数。引入波数则可以将式(5.1-2)改写为1.实数形式的傅里叶级数对应的展开系数则变为以后将看到，在研究有限长度细杆的振动或热传导等问题时，通常使用由式(5.1-2)或式(5.1-8)式给出的傅里叶级数展开。如果令ω=π/l，t=x，则式(5.1-2)变为其中ωn=nω，展开系数为1.实数形式的傅里叶级数T=2π/ω

为周期。这样，可以把

f(t)看成是一个随时间变化的周期函数，式(5.1-12)为该函数的傅里叶级数展开。由此可以看出，任何一个随时间周期性变化的信号(如方波、锯齿波等)都可以分解(变换)成直流、基波及高次谐波成分之和。

其中展开系数为这样，可以把式(5.1-16)看成以2π为周期的函数

f(θ)的傅里叶级数展开。1.实数形式的傅里叶级数将图5-1所示的锯齿函数展开成傅里叶级数。解：根据式(5.1-4)~式(5.1-6)，可以求出展开系数为这样有2.复数形式的傅里叶级数也可以把一个周期性变化的函数展开成复数形式的傅里叶级数。选取复指数函数族φn(x)=einπx/l

(n=0，±1，±2，…)为基函数族，则可以把一个变化周期为2l的函数

f(x)表示为其中kn=nπ/l为波数。利用基函数族的正交性，则展开系数为尽管

f(x)为实数，但其傅里叶展开系数有可能是复数。无论是实数形式的，还是复数形式的傅里叶级数展开，它们只适用于函数

f(x)在有限区域中的展开。在这种情况下，展开式中的波数kn

或频率ωn

取值是不连续的，即n=0，1，2，…(实数形式的展开)或n=0，±1，±2，…(复数形式的展开)。在量子力学中，将会看到：如果微观粒子在有界区域中运动，其动量(与波数对应)及能量(与频率对应)的取值将是不连续的。5.2傅里叶积分变换1.实数形式的傅里叶积分变换

其中其中式(5.2-1)即为实数形式的傅里叶变换式，A(k)和B(k)为傅里叶变换的系数。证明：根据上一节介绍的傅里叶级数展开式(5.1-8)1.实数形式的傅里叶积分变换

式(5.2-4)右边的余弦部分为其中把对n

的求和变成了对k

的积分。同理，式(5.2-4)右边的正弦部分为1.实数形式的傅里叶积分变换这样在l→∞时，式(5.2-4)就变为了式(5.2-1)。物理上，通常视x

为空间变量，f(x)是一个随空间变量x

变化的非周期函数，则式(5.2-1)被视为空间上的傅里叶变换，k

为波数。同样，如果

f(t)是一个随时间变量t变化的非周期函数，则有如下傅里叶变换其中通常称A(ω)和B(ω)为谱函数，ω

为圆频率。傅里叶积分变换与傅里叶级数展开最大的区别是物理量变化区域的不同。

对于前者，物理量的变化区域是无界的，对应的波数或频率的取值是连续的；而对于后者，物理量的变化区域是有界的，对应的波数或频率的取值则是离散的。1.实数形式的傅里叶积分变换讨论矩形脉冲函数的傅里叶积分变换，其中T为脉冲半宽度。解：由于f(t)是偶函数，则这样，由式(5.2-5)得到特别是当t=0及T=1时，可以得到这与前面用留数定理得到的结果一致，见式(4.4-4)。2.复数形式的傅里叶变换在许多情形下，复数形式的傅里叶积分变换比实数形式的傅里叶积分变换使用起来更为方便。利用欧拉公式则可以将式(5.2-1)改写为将上式右边第二项积分中的k换成-k，并利用A(-k)=A(k)及B(-k)=-B(k)，则得到即2.复数形式的傅里叶变换其中式(5.2-8)及式(5.2-9)就是函数

f(x)的复数形式的傅里叶变换关系式。通常称

f(x)是原函数，式(5.2-8)为正变换，其变换的核为eikx；称F(k)为像函数，式(5.2-9)为逆变换，其变换的核为e-ikx

。习惯上，通常认为式(5.2-8)和式(5.2-9)是关于空间变量x

的傅里叶变换，k是波数。而对于时间变量t的傅里叶变换，通常表示为2.复数形式的傅里叶变换其中ω

为圆频率。可以看出，与式(5.2-8)和式(5.2-9)不同的是：在正变换中核为e-iωt，而在逆变换中核则为eiωt

。如果一个物理量

f(x，t)既是空间变量x

的函数，又是时间变量t的函数，则可以将它的傅里叶变换式写为其中像函数为更一般地，如果

f(r，t)是一个在三维无界空间中随时间变化的函数，则它的傅里叶变换式为其中r

=xex+yey+zez

是三维空间中的位置矢量，k

=kxex+kyey+kzez

是三维空间中的波矢量，且dr=dxdydz

及dk=dkxdkydkz。2.复数形式的傅里叶变换

解：根据式(5.2-9)，有再利用已知的积分结果[见式(4.4-8)]则可以得到在量子力学中将会看到，函数

f(x)相当于一维谐振子在坐标空间中的基态波函数，而F(k)则为谐振子在动量空间中的波函数。当a

较大时，它在坐标空间中的分布

f(x)较窄，而在动量空间中的分布则较宽。这与量子力学中所谓的“测不准关系”相对应。2.复数形式的傅里叶变换

解：根据式(5.2-9)，则有将这个结果代入正变换式(5.2-8)中，则有即有这与用留数定理得到的结果是一致的。2.复数形式的傅里叶变换

解：根据三维傅里叶变换，则有在球坐标系中，选取k

的方向沿z

轴，并利用则得到

5.3傅里叶变换的性质5.3傅里叶变换的性质傅里叶积分变换有一些基本的性质。利用这些性质，可以简化一些实际问题的傅里叶积分变换过程。为了便于书写，我们将一维傅里叶积分变换简记为其中

f(x)为原函数，F(k)为像函数，符号“⇌”表示两者之间的变换。1.线性定理设f1(x)及f2(x)分别为两个原函数，它们对应的像函数分别为F1(k)及F2(k)，则有其中α，β

为常数。直接从傅里叶积分变换式(5.3-1)出发，就可以得到这个定理。5.3傅里叶变换的性质2.导数定理

Ⅰ函数

f(x)的n阶导数

f(n)(x)对应的傅里叶积分变换为其中要求

f(n-1)(x)|x=±∞=0。证明：根据式(5.3-2)，则有即类似的，可以得到5.3傅里叶变换的性质3.导数定理

Ⅱ其中F(n)(k)是F(k)的n

阶导数。证明：由傅里叶积分变换式则有即5.3傅里叶变换的性质4.积分定理

由导数定理得到其中Φ(k)是φ(x)的像函数。利用

f(x)⇌F(k)，则有即得到5.3傅里叶变换的性质5.相似性定理其中a

为常数。6.延迟定理其中a

为常数。7.位移定理其中k0

为常数。8.卷积定理定义函数

f1(x)和

f2(x)的卷积为则它的傅里叶积分变换为其中F1(k)和F2(k)分别是函数

f1(x)和

f2(x)的像函数。5.3傅里叶变换的性质证明：由傅里叶积分变换式(5.3-2)，有再令y=x-η，则有证毕。5.4δ

函数1.δ

函数的定义在物理学中，通常要研究一个物理量在空间或时间中的分布，如质量密度、电荷密度或单位时间上的受力等。但为了简化描述，通常采用一些“点”模型，如质点、点电荷及脉冲力等，它们在空间上或时间上都不是连续分布的，而是集中于空间某一点或某一时刻。考虑一质量为m，长度为l的匀质细杆，且其中心位于坐标的原点x=0处，则细杆的线质量密度分布为其质量为当细杆的长度无限小时，即l→0，这时细杆则趋向于一个质点，其质量仍为

m，即式(5.4-2)仍成立，但其质量密度分布为由此可以看出，一个质点的质量密度分布：在x=0点处为无限大；在x≠0处为零。它的积分为m。1.δ

函数的定义为了描述这些质点和点电荷的空间分布，或脉冲力的瞬时分布，在物理学中可引入一个所谓的δ

函数来描述，其定义式为这表明δ函数的分布是无限窄，且当x

→x0

时它的值趋于无限大，见图5-2。δ

函数的这种特征明显不同于常规的函数，但要求它的积分是有限的，即这说明δ

函数的确切含义应在积分运算下来理解。δ

函数最初是由物理学家狄拉克(Dirac)引入的，它在物理学中有着广泛地应用。借助于δ

函数，就可以描述质点的质量密度分布，点电荷的电荷密度分布，以及脉冲力的瞬时分布等。如一个质量为m

且位于x0

点的质点的质量分布为mδ(x-x0)，一个电荷量为Q

且位于x0

点的点电荷的电荷密度分布为Qδ(x-x0)，以及在t0

时刻出现的脉冲力为Kδ(t-t0)，其中K

为冲量。在三维情况下，类似地有三维的δ函数可以用一维δ函数的乘积来表示，即这样有2.δ函数的性质(1)δ(x)函数是偶函数，它的导数则是奇函数，即(2)可以用阶跃函数来表示δ(x)函数，即2.δ函数的性质这是因为(3)δ(x)函数具有挑选性，即其中

f(x)是[-∞，∞]区间中的连续函数。由此，有(4)若φ(x)=0的实根为xk(k=1，2，…)，且全为单根，则3.δ

函数的辅助函数

很容易验证，它们都符合

δ(x)函数的上述两个特征。4.δ

函数的傅里叶变换根据前面介绍过的傅里叶积分变换，可以将δ函数表示为其中傅里叶变换为这样，δ

函数的傅里叶积分为同样，对于三维情况，δ

函数的傅里叶积分为利用δ

函数的傅里叶积分式，很容易推导出它的广义函数表示式(5.4-16)。令k

→∞，则4.δ

函数的傅里叶变换求函数sinax

和cosax

的傅里叶变换，其中a

是实常数。解：由傅里叶积分变换，有严格地讲，函数sinax

和cosax并不满足绝对可积条件，但利用δ函数的定义，可以计算出它们的傅里叶变换式。4.δ

函数的傅里叶变换

解：根据傅里叶变换，有在球坐标系中，选取k

的方向沿z

轴，并利用则可以得到可见，对于三维傅里叶变换，有如下变换关系成立这个变换关系很重要，我们将在第十章中讨论积分变换法时用到。4.δ

函数的傅里叶变换利用傅里叶积分变换，求解如下含有δ

函数的常微分方程其中a>0，x0

为给定的参数。解：令并对方程(5.4-22)两边进行傅里叶积分变换，则得到即将该式代入式(5.4-23)，则有利用留数定理，不难得到4.δ

函数的傅里叶变换利用δ函数的性质，求解如下常微分方程解：根据δ

函数的性质，有并令借助于式(5.4-26)和式(5.4-27)，可以把方程(5.4-25)转化为根据前面例3的结果，则有这样，常微分方程(5.4-25)的解为目录第6章

拉普拉斯变换

6.1拉普拉斯变换的定义6.2拉普拉斯变换的性质6.3拉普拉斯变换的反演6.4拉普拉斯变换的应用第1篇复变函数及应用6.1拉普拉斯变换的定义6.1拉普拉斯变换的定义由上一章的讨论可以知道，对于傅里叶积分变换，要求原函数

f(x)在区间-∞，∞上分段光滑，而且绝对可积。这个条件相当苛刻，以至于许多常见的函数(如多项式、三角函数等)都不满足这个条件。下面我们将看到，对于拉普拉斯变换，对原函数的要求要宽松得多。拉普拉斯变换的定义为其中

f(t)是原函数，F(p)是像函数，e-pt

是积分变换的核，p=s+iσ

为复数，且要求Re(p)=s>0。这里需要说明的一点是，在式(6.1-1)的积分变换中，要求

f(t)在t<0时刻的值为零，即这样才能保证式(6.1-1)的积分变换有意义。拉普拉斯变换存在的条件是：(1)f(t)在区间0≤t<∞中是分段连续的，而且导数处处连续；(2)存在正常数

M>0及s0

≥0，使得对于任何t值，有在实际应用中，所遇到的大多数函数都能满足上述要求。为了熟悉拉普拉斯变换的方法，我们先举例计算一些简单函数的拉普拉斯变换。6.1拉普拉斯变换的定义求函数f(t)=1的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有所以有求函数f(t)=eαt

的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有其中要求Rep>Reα。这样有6.1拉普拉斯变换的定义求函数

f(t)=tn

的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有即类推，有6.1拉普拉斯变换的定义求函数

f(t)=sinωt(ω

为实数)的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有即类似地，还有6.1拉普拉斯变换的定义求函数

f(t)=sinhωt(ω

为实数)的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有即类似地，还有记住上述简单函数的拉普拉斯变换式非常有用，因为在拉普拉斯反演时要经常用到它们。6.2拉普拉斯变换的性质6.2拉普拉斯变换的性质与傅里叶积分变换一样，拉普拉斯变换也有一些重要的性质。利用这些性质，可以简化一些拉普拉斯变换过程。1.线性定理如果f1(t)⇌F1(p)及f2(t)⇌F2(p)，则有其中α

和β

为常数。求函数cosωt+isinωt的拉普拉斯变换。解：令f1(t)=cosωt及f2(t)=sinωt，则按照线性定理，有6.2拉普拉斯变换的性质2.导数定理

Ⅰ设

f(t)在t=0时刻的值为

f(0)，则它的导数f(1)(t)的拉普拉斯变换为证明：根据拉普拉斯变换的定义，有推广到高阶导数f(n)(t)，则有由此可以看出，在拉普拉斯变换下，一个常微分方程将会变成一个代数方程，而且还把初始值考虑了进去。6.2拉普拉斯变换的性质已知函数f(t)满足如下二阶常微分方程其中ω

为常数，初始条件为

f(0)=1及

f(1)(0)=0。试用拉普拉斯变换的导数定理

Ⅰ

求解该方程。解：根据导数定理

Ⅰ，有即由式(6-1.7)可以知道，该像函数对应的原函数为

f(t)=cosωt6.2拉普拉斯变换的性质3.导数定理

Ⅱ证：根据拉普拉斯变换的定义式，则有即类似地，可以证明：利用导数定理

Ⅱ，求函数tsinωt的拉普拉斯变换。

6.2拉普拉斯变换的性质4.积分定理

其中利用了g(0)=0。再利用

f(t)=g(1)(t)⇌F(p)，则有即5.相似性定理其中a为常数。6.2拉普拉斯变换的性质6.位移定理利用这个定理，就可以得到7.延迟定理证明：由于在拉普拉斯变换中要求原函数

f(t)在t<0的时刻为零，则有

6.2拉普拉斯变换的性质8.卷积定理设原函数

f1(t)及

f2(t)对应的像函数分别为F1(p)及F2(p)，则它们的卷积对应的拉普拉斯变换为证明：根据拉普拉斯变换的定义及卷积的定义，有这是一个二重积分，其中先从τ=0到τ=t进行积分，然后再从t=0到t=∞进行积分，积分区域如图6-1所示。现在改变积分顺序，先从t=τ

到t=∞进行积分，然后再从τ=0到τ=∞进行积分。可以看出，两种积分顺序给出的积分结果是相同的。这样有6.2拉普拉斯变换的性质再进行变量代换，令ζ=t-τ，则有可见，两个函数的卷积在拉普拉斯变换下变成了它们对应的像函数的乘积。在解决实际问题中，这种卷积定理非常有用。例如，一个像函数可以分解成两个简单像函数的乘积，则它的反演就可以用这两个简单像函数对应的原函数的卷积来表示。6.3拉普拉斯变换的反演6.3拉普拉斯变换的反演前面讨论的是在已知原函数的情况下，求出它对应的像函数，这叫拉普拉斯变换。反过来，若已知像函数，来求出它对应的原函数，这叫作拉普拉斯变换的反演。在一般的情况下，拉普拉斯变换的反演过程是非常复杂的。但对于一些特殊情况，如：(1)一个像函数可以分解成几个简单的像函数之和；(2)一个像函数可以分解为两个简单的像函数的乘积；(3)经过其他的数学操作，这个像函数可以用一些简单的像函数来表示。这样就可以利用一些已知的简单原函数(如：tn，sinωt，cosωt及eαt等)所对应的像函数及上节介绍的拉普拉斯变换的性质，来完成反演过程。下面举例进行说明。6.3拉普拉斯变换的反演

解：有两种方法，如下：方法一：可以把这个像函数分解为

6.3拉普拉斯变换的反演

解：6.3拉普拉斯变换的反演

6.3拉普拉斯变换的反演

在一般情况下，可以采用所谓的黎曼

梅林反演公式来计算像函数的反演，其中积分路径是p

平面上一条平行于虚轴的直线，且要求像函数F(p)在这条直线的右半平面没有奇点。由于这个公式涉及复平面上的积分，因此计算反演的过程比较复杂，这里不再进行详细介绍。6.4拉普拉斯变换的应用1.求解常微分方程对于电感

电阻串联回路，见图6-2，当开关

K合上之前，回路中没有电流流动，其中E为直流电源的电动势，R为电阻，L为电感。

求开关合上之后，电路中的电流i(t)。解：回路电流i(t)所满足的方程为初始条件为i(0)=0。这是一个典型的一阶常微分方程。根据拉普拉斯变换，则有由此得到所以回路中的电流为该电流包含了两部分，即稳恒部分E/R

和暂态部分Ee-Rt/L/R。1.求解常微分方程对于如图6-3所示的电感-电容串联回路，电容器上的初始电荷为±q0。当电容器进行放电时，回路中的电流i(t)是多少?

这是一个典型的微分

积分方程。根据拉普拉斯变换的导数定理和积分定理，则有由于初始电流i(0)为零，则有很显然，它对应的原函数，即瞬时电流为

1.求解常微分方程在如图6-4所示的电感

阻回路中，交变电源的电压为E(t)=E0sinωt。当开关闭合时，求回路中的电流i(t)。已知初始电流为零，即i(0)=0。解：回路中电流所满足的微分方程为根据拉普拉斯变换，则有由此可以得到由于所以由卷积定理，可以得到1.求解常微分方程一个质量为m、弹性系数为k的弹簧振子在外界强迫力

f(t)=f