人教版（2024）新教材八年级数学下册第十九章课件：19.1 第1课时 二次根式

人教版八年级(下册)2026新版教材19.1

二次根式及其性质第1课时二次根式学习目标1.了解二次根式的概念，发展抽象能力.2.理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如√a

的

式子有意义时字母的取值范围.知识回顾问题1

什么叫作平方根?一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫作a

的平方根.问

题

2

什么叫作算术平方根?如果x²=a(x≥0),那么x

称为a的算术平方根.用

√a(a≥0)表示.问题3

什么数有平方根?我们知道，负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.新知探究广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么,广播电视塔高h(单位：km)

增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢?实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径之间

存在近似关系r=√2Rh

,

其中R是地球半径，

R≈6400km.新知探究思考用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征.(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m²,

则它的宽为√65

m.(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1

的正方形的面积之和，则大正方形的边长为√a²+1.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：

s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)

的关系近似为h=5t².如果用含有h的式子表示t,

那么t为

h5新知探究思考上面问题中，得到的结果√2Rh,√65,

√a²+1,这些代数式有什么意义?有什么共同点?分别表示2Rh,65,a²+1,根指数都为2.被开方数都是非负数.的算术平方根.新知探究一般地，我们把形如

√a(a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.说明

：(1

)

√a

中的a

既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.(2)已知

√a

是二次根式，就意味着满足a≥0.例

1

给出下列式子：①

√2;√

②³

√3;×③

√-5;×

④

√

(-2)²;

⑤√x+y;×⑥√-a²-1;×⑦√x²+4x+4.是不是形如√a

的式子

是被开方数a是否为非负数是是二次根式其中一定是二次根式的是

①④⑦.(

只

填

序

号

)识别二次根式的方法典型例题不

是

二

次

根

式否否跟踪训练用代数式表示：

一个长方形的面积为S,

且长和宽的比为5:2,则该长方形的长为

●解

：设长方形的长为5x,则它的宽为2x.根据题意，得5x·2x=S,

∴

∵长方形的边长不能为负数，∴

∴长方形的长为√a条件字母表示有意义被开方数为

非负数√a有意义

→a≥0新知探究思考当a满足什么条件时，

√a

在实数范围内有意义?典型例题例2当x满足什么条件时，√x-2

在实数范围内有意义?解

：由x-2≥0,

得x≥2.当x≥2

时，

√x-2

在实数范围内有意义.解

：(1)由a+1≥0,

得a≥-1,∴当a≥-1

时，

√a+1在实数范围内有意义.(2)由且3-a≠0,得3-a>0,∴a<3.∴当a<3

时，在实数范围内有意义.跟踪训练当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?(1)√a+1;

(2)

(3√(a+1)²

.■

7跟踪训练当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?(1)√a+1;(3√(a+1)²

.解

：(3)∵不论a

为何值，(a+1)²≥0

恒成立，∴a

取任意实数，

√(a+1)²

在实数范围内都有意义。②■

7代数式x满足的条件X2x取任意实数X3x取非负数新知探究思考当x满足什么条件时，

√x²

在实数范围内有意义?

√x³

呢?随堂练习1.下列各式是二次根式的是(

A

)A.√a²+1

B.√-7

C.√a

D.³√6随堂练习2.要画一个面积为18cm²

的长方形，使它的长与宽之比为3:2,它的长、宽各应取多少?解

：设这个长方形的长、宽分别为3x

cm,2x

cm.由题意得3x

·2x=18,所以x²=3.所以x=

√3(x=-

√3舍去).所

以

3x=3

√3,2x=2

√3,即这个长方形的长应取3

√3cm,宽应取2

√3cm.随堂练习3.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?(1)

√a-1;

(2)

√5-a;

(3)

√2a+1.解

：(1)由a-1≥0,

得a≥1.所以当a≥1时，

√a-1在实数范围内有意义.(2由5-a≥0,

得a≤5.所以当a≤5

时，√

5-a

在实数范围内有意义.(3由2a+1≥0,

所以当

时

，√2a+1在实数范围内有意义.随堂练习4.当a=5

时，

的值是

√

2解

：(1)

由题意，得

解得x

>-2.所以当x

>-2时，

实数范围内有意义.(2)由题意，

得1≤x≤2.G随堂练习5

.

(1)当x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义?(2)若式子√

2-x+√x-1有意义，求