线性代数试题及答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)考试方式:闭卷考试时间:一、单项选择题(每小题3分,共15分)1、设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解得充分必要条件就是得(A).()列向量组线性无关,()列向量组线性相关,()行向量组线性无关,()行向量组线性相关.2.向量线性无关,而线性相关,则(C)。()必可由线性表出,()必不可由线性表出,()必可由线性表出,()必不可由线性表出、3、二次型,当满足(C)时,就是正定二次型.();();();().4.初等矩阵(A);()都可以经过初等变换化为单位矩阵;()所对应得行列式得值都等于1;()相乘仍为初等矩阵;()相加仍为初等矩阵5.已知线性无关,则(C)A、必线性无关;B、若为奇数,则必有线性相关;C、若为偶数,则必有线性相关;D、以上都不对。二、填空题(每小题3分,共15分)6.实二次型秩为2,则7.设矩阵,则8.设就是阶方阵,就是得伴随矩阵,已知,则得特征值为。9.行列式=__________;10、设A就是4×3矩阵,,若,则=_____________;三、计算题(每小题10分,共50分)11.求行列式得值。12.设矩阵,矩阵满足,求。13.求线性方程组得通解。14.已知,求出它得秩及其一个最大无关组。15、设为三阶矩阵,有三个不同特征值依次就是属于特征值得特征向量,令,若,求得特征值并计算行列式、四、解答题(10分)16、已知,求五、证明题(每小题5分,共10分)17、设就是非齐次线性方程组得一个特解,为对应得齐次线性方程组得一个基础解系,证明:向量组线性无关。18、已知与都就是 阶正定矩阵,判定就是否为正定矩阵,说明理由、2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式:闭卷统考考试时间:2011、5、28一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设为阶矩阵,下列运算正确得就是()。A、B、C、D、若可逆,,则;2.下列不就是向量组线性无关得必要条件得就是()。A.都不就是零向量;B、中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C、中任意两个向量都不成比例;D、中任一部分组线性无关;3、设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解得充分必要条件就是得()。A.列向量组线性无关;B、列向量组线性相关;C、行向量组线性无关;D、行向量组线性相关;4.如果(),则矩阵A与矩阵B相似。A、;B、;C、与有相同得特征多项式;D、阶矩阵与有相同得特征值且个特征值各不相同;5.二次型,当满足()时,就是正定二次型。A、;B、;C、;D、。二、填空题(每小题3分,共15分)6.设,则＝;7.设为行列式中元素得代数余子式,则;8.=;9.已知向量组线性无关,则向量组得秩为;10、设为阶方阵,,且,则得一个特征值;三、计算题(每小题10分,共50分)11.设,求。12.设三阶方阵,满足方程,试求矩阵以及行列式,其中。13.已知,且满足,其中为单位矩阵,求矩阵。14.取何值时,线性方程组无解,有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时,求通解。15、设,求该向量组得秩与一个极大无关组。四、解答题(10分)16.已知三阶方阵得特征值1,2,3对应得特征向量分别为,,。其中:,,,。(1)将向量用,,线性表示;(2)求,为自然数。证明题(每小题5分,共10分)17.设就是阶方阵,且,;证明:有非零解。18.已知向量组(I)得秩为3,向量组(II)得秩为3,向量组(III)得秩为4,证明向量组得秩为4。2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)考试方式:闭卷统考考试时间:2010、12、19一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.满足下列条件得行列式不一定为零得就是()。(A)行列式得某行(列)可以写成两项与得形式;(B)行列式中有两行(列)元素完全相同;(C)行列式中有两行(列)元素成比例;(D)行列式中等于零得个数大于个、2.下列矩阵中()不满足。(A);(B);(C);(D)、3、设为同阶可逆方阵,则()。(A);(B)存在可逆矩阵;(C)存在可逆矩阵;(D)存在可逆矩阵、4.向量组QUOTE线性无关得充分必要条件就是()(A)QUOTE均不为零向量;(B)QUOTE中有一部分向量组线性无关;(C)QUOTE中任意两个向量得分量不对应成比例;(D)QUOTE中任意一个向量都不能由其余QUOTE个向量线性表示。5.零为方阵A得特征值就是A不可逆得()。(A)充分条件;(B)充要条件;(C)必要条件;(D)无关条件;二、填空题(每小题3分,共15分)6.设,则=;7.已知设则;8.设就是三阶方阵,且,则;9.已知向量组则该向量组得秩为;10、已知,,且于相似,则。三、计算题(每小题10分,共50分)12.已知3阶非零矩阵得每一列都就是方程组得解、①求得值;②证明、13.设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。14.求向量组得秩及最大无关组。15、设1、求二次型所对应得矩阵;2、求得特征值与对应得特征向量。四、解答题(10分)16.,试讨论为何值时(1)不能用线性表示;(2)可由唯一地表示,并求出表示式;(3)可由表示,但表示式不唯一,并求出表示式。五、证明题(每小题5分,共10分)17.设QUOTE就是一组维向量,证明它们线性无关得充分必要条件就是:任一QUOTE维向量都可由它们线性表示。18.设为对称矩阵,为反对称矩阵,且可交换,可逆,证明:就是正交矩阵。。武汉科技大学2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设为阶矩阵,下列运算正确得就是(D)。A、B、C、D、若可逆,,则;2.下列不就是向量组线性无关得必要条件得就是(B)。A.都不就是零向量;B、中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C、中任意两个向量都不成比例;D、中任一部分组线性无关;3、设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解得充分必要条件就是得(A)。A.列向量组线性无关;B、列向量组线性相关;C、行向量组线性无关;D、行向量组线性相关;4.如果(D),则矩阵A与矩阵B相似。A、;B、;C、与有相同得特征多项式;D、阶矩阵与有相同得特征值且个特征值各不相同;5.二次型,当满足(C)时,就是正定二次型.A、;B、;C、;D、。二、填空题(每小题3分,共15分)6.设,则＝;7.设为行列式中元素得代数余子式,则-1;8.=;9.已知向量组线性无关,则向量组得秩为2;10、设为阶方阵,,且,则得一个特征值-3;三、计算题(每小题10分,共50分)11.设,求。解:....................5分..................10分12.设三阶方阵,满足方程,试求矩阵以及行列式,其中。解:由,得,即......................3分由于,,,,...........................6分,....8分所以。......................................................10分13.已知,且满足,其中为单位矩阵,求矩阵。解:因为,所以可逆,...........................2分由,得,故,即,....4分不难求出,.................................8分因此。...............10分14.取何值时,线性方程组无解,有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时,求通解。解:由于方程个数等于未知量得个数,其系数行列式;.......................3分1、当时,有,,原方程组无解;..............................5分2、当时,有,所以原方程得通解为..................................8分3、当时,方程组有唯一解。....................................10分15、设,求该向量组得秩与一个极大无关组。解:.6分所以向量组得秩为2,.................................................8分因为任意两个向量均不成比例,所以任意两个向量都就是该向量组得一个极大无关组。......................10分四、解答题(10分)得分16.已知三阶方阵得特征值1,2,3对应得特征向量分别为,,。其中:,,,。(1)将向量用,,线性表示;(2)求,为自然数。解:(1)把用线性表示,即求解方程故。.................................................5分(2)..........10分五、证明题(每小题5分,共10分)17.设就是阶方阵,且,;证明:有非零解。证明:,................................2分,........................4分所以有非零解。.................................................5分18.已知向量组(I)得秩为3,向量组(II)得秩为3,向量组(III)得秩为4,证明向量组得秩为4。证明:向量组得秩为3,向量组得秩为3,所以为向量组得一个极大无关组,因此可唯一得由线性表示;....2分假设向量组得秩不为4,又因为向量组得秩为3,所以向量组得秩为3,因此也可唯一得由线性表示;...4分因此可唯一得由线性表示,而向量组得秩为4,即线性无关,因此不能由线性表示,矛盾,因此向量组得秩为4。.............................................5分武汉科技大学2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.满足下列条件得行列式不一定为零得就是(A)。(A)行列式得某行(列)可以写成两项与得形式;(B)行列式中有两行(列)元素完全相同;(C)行列式中有两行(列)元素成比例;(D)行列式中等于零得个数大于个、2.下列矩阵中(C)不满足。(A);(B);(C);(D)、3、设为同阶可逆方阵,则(D)。(A);(B)存在可逆矩阵;(C)存在可逆矩阵;(D)存在可逆矩阵、4.向量组QUOTE线性无关得充分必要条件就是(D)(A)QUOTE均不为零向量;(B)QUOTE中有一部分向量组线性无关;(C)QUOTE中任意两个向量得分量不对应成比例;(D)QUOTE中任意一个向量都不能由其余QUOTE个向量线性表示。5.零为方阵A得特征值就是A不可逆得(B)。(A)充分条件;(B)充要条件;(C)必要条件;(D)无关条件、二、填空题(每小题3分,共15分)6.设,则=0。7.已知设则;8.设就是三阶方阵,且,则27;9.已知向量组则该向量组得秩为2;10、已知,,且于相似,则6。三、计算题(每小题10分,共50分)11.解:5分8分10分12.已知3阶非零矩阵得每一列都就是方程组得解、①求得值;②证明、解:①因为非零矩阵得每一列都就是齐次方程组得解,所以齐次线性方程组有非零解,即5分②由题意可得,8分因为,所以,即不可逆,所以10分注:第二问也可以用反证法,方法对即可。13.设3阶矩阵满足等式,其中求矩阵。解:3分8分所以。10分14.求向量组得秩及最大无关组。解:,6分所以,任意两个不成比例得向量组均就是得一个极大无关组。10分15、设1、求二次型所对应得矩阵;2、求得特征值与对应得特征向量。解:1、二次型所对应得矩阵,3分2.(二重)6分当时,,所以为对应得特征向量。8分当时,,所以为对应得特征向量。