江西省南昌市2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷（含答案）

2025—2026学年度第一学期期末测试卷九年级（初三）数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上）1.“2025年2月共有30天”这个事件是A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.不确定性事件2.下列烟花图案中，是中心对称图形的为3.用配方法解一元二次方程x2A.(x−1)C.(x+1)4.如图，大圆O与小圆O的半径分别为2cm，1cm，若点P在圆环内（阴影部分，不含边界），则点P到圆心O的距离可能为

A.1cm B.0.8cm C.1.8cm D.2.1cm5.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），以点A为圆心，10为半径画圆，则直线y=A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交6.若小球飞行的高度ym与水平距离xm、飞行时间ts的函数关系式分别为y=−13A.23 B.C.36 D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.若抛掷1枚硬币的次数足够多，出现“正面向上”的频率会稳定在一个常数（概率）附近，则这个常数为______.8.若关于x的一元二次方程ax9.如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，若圆周角∠ACB10.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=111.若关于x的方程(x−2)(x12.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，现将AB绕着点B旋转得到线段BA'，连接A'D，A'C三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解方程：2x（2）求抛物线y=−(14.为响应学校“启迪润智迎新年，同心逐梦向未来”的号召，某班班主任将本班学生分成四组：灵健组、灵动组、灵趣组、灵智组，学生加入哪个组由电脑程序随机自动生成．该班甲、乙两位同学的愿望是进入同一组．（1）甲同学进入灵健组的概率是______；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学实现愿望的概率．15.如图，在∆ACB中，∠BAC=54°，AB=4，现将∆ACB绕着点A逆时针旋转一定的角度α（0°<α<180°（1）求旋转角α的度数；（2）求点B运动的路径长．16.3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．”（1）哪位同学说的对？请说明理由；（2）把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？17.如图，▱ABCD的顶点A，B都在⊙O上，延长CB交⊙O于点E，若EB（1）在图1中，作与边CD相等的弦EF；（2）在图2中，作线段BG，使BG=12BF（四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.活动主题：三角点阵中前n行的点数计算．活动过程：如图是一个三角形点阵，从上往下数有无数多行．（1）探究点数与行数的规律第一行有______个点，第二行有______个点，……，第n行有______个点；（2）探究点数和与行数的规律前4行的点数和为______，前n行的点数和为______；（3）根据规律解决问题这个三角点阵中前n行的点数之和能是300吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．19.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，不与点A重合，（1）求证：PB是⊙O（2）点C是优弧ACB上一点，连接AC，BC，设∠P①求∠C的大小（用α②已知PA=6，若四边形APBC20.已知抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L绕着点M(m,0)（−2<m<0①当m=−1时，直接写出抛物线L②若抛物线L'上恰好存在3个D点，使∠DAO=45°五、解答题（本大题共1小题，共10分）21.【课本再现】（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；【类比迁移】（2）如图2，∆ABC和∆DBC是有公共斜边的直角三角形，判断A，B，C，【拓展延伸】（3）如图3，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形，分别是∆ACB和∆求证：直线AD，BE，∆ABC2025—2026学年度第一学期期末测试卷九年级（初三）数学参考答案及评分意见一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上）1.B2.D3.A4.C5.D6.D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.0.58.－29.310.2611.（－2，－1）12.2，4−3或4+二、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.解：（1）x(2x-3)=0 1分x1=0或x2=32 3分（2）对称轴为直线x=2 5分顶点坐标为（2，4） 6分14.解：（1）14 2分（2）用A，B，C，D分别代替灵健组、灵动组、灵越组、灵智组，列表如下：ABCDA（AA）（BA）（CA）（DA）B（AB）（BB）（CB）（DB）C（AC）（BC）（CC）（DC）D（AD）（BD）（CD）（DD） 4分故P（甲、乙两位同学实现愿望）=416=14 6分15.解：（1）∵BE∴∠BAC=∠ABE=54° 1分∵∆ACB绕着点A逆时针旋转一定的角度α（0°<α<180°∴AB=AE 2分∴∠AEB∴∠BAE=α=72° 3分（2）∵点B运动的路径为扇形的弧， 4分∴l=72π×4180=85π 6分16.解：（1）丙同学说的对.理由如下： 1分∴

P（甲得到奖励）=P（乙得到奖励）=P（丙得到奖励）=故丙同学说得对.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）2

700×13=900答：甲抽到黑桃大约900次.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分17.解：方法一：（1）如图，弦EF为所求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（2）如图，线段BG为所求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分方法二：（1）如图，弦EF为所求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（2）如图，线段BG为所求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分三、解答题（本大题共$3$小题，每小题$8$分，共$24$分）18.解：（1）1，2，n.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（2）10，n(n+1)（3）能.理由如下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分n(n+1)解得n1=24或故n的值为24.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分19.（1）证明：连接PA，PB，OP.∵

PA是⊙∴

∠PAO=90°.在∆AOP和∆{∴

∆PAO≅∆PBO∴

∠PAO∴

PB是⊙O的切线.（2）解：①在四边形APBO中，∠PAO∴

∠AOB=180°−α∵弧AB∴∠C=1②∵四边形APBC为菱形，∴∠∴90°−∴α=60°.∵PA，PB是⊙∴∠APO=30°∴设⊙O的半径为r∴∴r=23∴S阴影部分=220.解：（1）设抛物线L的解析式为y将O(0,0)代入，得解得a故抛物线L的解析式为y=(x+2（2）①y=−x2②由题意可知，n=−4，顶点B(−2,−4)对应的点B∴抛物线L'的解析式为y=−(x若抛物线L'上恰好存在3个D点，使∠则直线y=x+4∴−(x−2m∴∆=(4m+3)解得m=−78五、解答题（本大题共1小题，共10分）21.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC∴OA=OB∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）A，B，C，D四个点在同一个圆上，圆心是边BC的中点.理由如下：⋯⋯4分作BC的中点O，连接AO，DO∴在Rt∆ABC同理，OD=12BC。12 5分∴OA