专题07 解三角形中最值、类中线、内切圆等8大题型（热点专练）（全国适用）（原卷版及解析）

21/23专题07解三角形中最值、类中线、内切圆等8大题型内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1、解三角形是近3年的高考命题热点，常以解答题为主，但也会考察选择填空题，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是正余弦定理，三角形面积公式的应用，也会考察解三角形中的最值范围问题．预测2026年：解三角可能会考一道最值中档试题，考察解三角形类中线最值问题，与平面向量相结合，也可能考察三角形中的内切圆问题。热点题型：题型01求对边对角三角形面积最大值范围问题题型02对边对角的锐角三角形面积问题题型03非对边对角的锐角三角形面积问题题型04解三角形中对边对角求周长最值范围问题题型05锐角的对边对角求周长最值范围问题题型06解三角形中的类中线问题处理策略题型07解三角形中的外接圆问题题型08解三角形中的内切圆问题题型01求对边对角三角形面积最大值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：余弦定理+不等式，当且仅当取等号秒杀思路：角等边，非等腰面积最大【精选例题】【例1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，的面积为S，且.(1)求A；(2)若，求S的最大值.【例2】在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，内角、、的对边分别是、、，且满足（填条件序号）.(1)求角；(2)，求的最大值.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.【例3】已知函数.(1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；(2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值.【例4】中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.【变式训练】1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．2.已知的内角、、的对边分别为、、，.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.3.已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面积的最大值．4.从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，三边分别是角的对边，若______.(1)求C；(2)若，求的面积的最大值．题型02对边对角的锐角三角形面积问题解｜题｜策｜略解题思路：面积公式边换角降幂公式辅助角公式锐角范围求面积范围【精选例题】【例1】在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】已知函数．(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间，(2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．【专题训练】1.设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求锐角的面积的取值范围．2.在锐角中，角的对边分别是，且.(1)求；(2)若外接圆的半径是1，求面积的取值范围.题型03非对边对角的锐角三角形面积问题解｜题｜策｜略解题思路：秒杀：画两个直角三角形直接秒（注意两边都为开区间）解答题步骤：正弦定理边化角化为求解（注意角的范围）【精选例题】【例1】已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为.【例2】记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求.(2)求面积的取值范围.【专题训练】1.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．(1)求角A；(2)若，求面积的取值范围．2.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.题型04解三角形中对边对角求周长最值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：余弦定理不等式【精选例题】【例1】在中，已知，且，则的取值范围为．【例2】在中，已知，且，则的取值范围为．【例3】在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（

）A． B． C．6 D．9【例4】在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例5】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)设，求周长的最大值．【专题训练】1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=，△ABC周长的最大值为.2．在中，内角的对边分别为，，，若，，则周长的最小值为．3．已知的内角，，的对边分别为，，，若．(1)求的值；(2)若的面积为，求周长的取值范围．4．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(1)求；(2)若，求周长的取值范围．5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求B；(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围.题型05锐角的对边对角求周长最值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：正弦定理三角函数辅助角公式注意角的范围【例1】在锐角中，已知，且，求周长的取值范围．【例2】在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】在△中，角所对的边分别为且．(1)求△的外接圆半径；(2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围．【例4】在中，角A，B，C所对的边分别为，且.(1)求B；(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.【变式训练】1.在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．2.已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求周长的取值范围．3.已知的内角所对的边分别是.(1)求角；(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.4.已知的内角所对的边分别是.(1)求角；(2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围.题型05锐角的非对边对角求周长最值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：秒杀法：直接画两个直角三角形就出来了，都是开区间，取不到解答题解法：正弦定理，所有边都换为角，最后化成一个角，然后用二倍角展开，化为，利用单调性【精选例题】【例1】在锐角中，已知，且，求周长的取值范围．【例2】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且.(1)求角C的值；(2)若，求的取值范围.【例3】已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范围.【变式训练】1.已知为锐角三角形，是角分别所对的边，若，且，则的取值范围是．2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为．3．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答．在中，角，，的对边分别为，，，______．(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．4．已知的内角的对边分别为．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．题型06解三角形中的类中线问题处理策略解｜题｜策｜略①向量法：在用来求范围最值时很方便若在中，是的中线，那么就是若在中，，那么就是若在中，，那么就是用向量表示出来后再平方，结合向量数量积和余弦定理，再利用基本不等式求解②用两次余弦定理：对类中线所对应的小角分别在小三角形和大三角形中用余弦定理，求值的时候比较方便③余弦值互为相反数：对于类中线（爪形三角形）类解三角形题目，可以利用邻补角余弦值互为相反数列方程④等面积法处理：对于类中线（爪形三角形）类解三角形题目，还可以利用大三角形面积等于两个小三角形面积求解【精选例题】【例1】在中，，若，点是的中点，求的取值范围．【例2】在锐角中，，，点是的中点，求的取值范围．【例3】（多选题）已知的三个内角分别为A，B，C，，，，D在线段上，且满足平分．则（

）A． B． C． D．【例4】（多选题）在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（

）A．角的大小为B．若为的角平分线，则C．若，则线段的长度的取值范围为D．若，则的周长的最大值为【例5】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【例6】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且．(1)若，证明：；(2)在（1）的条件下，且，求的值．【例7】在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)求角；(2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.【例8】在中，的对边分别为.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.【变式训练】1.在中，内角的对边分别为，.（1）求；（2）若的面积为，求边上的中线的长.2.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．(1)求；(2)若为的中点，且，求的面积．4.在中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．5.在中，记角，，的对边分别为，，．已知．(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积．6.在，中，记角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积.7.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角B；(2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值．8.在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点.(1)求角的大小；(2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长.题型07解三角形中的外接圆问题解｜题｜策｜略遇到有关外接圆问题：我们要想到正弦定理【精选例题】【例1】在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【例2】中，，角的平分线交于点，若，则外接圆的面积是．【例3】在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【例4】在中，内角所对的边分别为，已知，且(1)求；(2)若的外接圆半径为，周长为，且，求.【例5】在中，角，，所对的边分别为，，，，是的外心.(1)若，求的最小值.(2)设，.①求的面积；②用向量，表示向量.【变式训练】1.在中，若，且，则的外接圆的面积为．2.锐角的三个内角是，满足，的外接圆的圆心为，半径是1.(1)求角的大小及的值；(2)求的取值范围.3.在中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值．4．如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）．

(1)若，求的值；(2)若，求四边形周长的最大值；(3)若，求．题型08解三角形中的内切圆问题解｜题｜策｜略遇到有关内切圆问题：我们要想到等面积法，【精选例题】【例1】中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（

）A． B． C． D．【例2】已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（

）A．B．C．D．【例3】（多选题）在中，，，，I为的内心，则下列正确的是（

）A．B．C．D．【例4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若的外接圆半径为4，且，求的面积．【例5】在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为.(1)求角的值；(2)如果，求的面积；(3)求内切圆半径的最大值.【变式训练】1．（多选题）已知的面积为，若，，则（）A．的外接圆半径为1B．C．D．的内切圆半径为2．已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为．3．中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为.4．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知.(1)求.(2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积.5．在中，角的对边分别为，已知．(1)求A；(2)若，求三角形内切圆半径的取值范围．（建议用时：60分钟）一、单选题1．在中，，点为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为（）A．2 B．8 C．16 D．182．(25-26高三上·山东实验中学·)在中，“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不必要条件，又不充分条件3．(25-26高三上·重庆第一中学校·期中)在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（

）A． B． C． D．4．若点为的外心，且满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．(25-26高三上·辽宁名校联盟·期中)若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（

）

A． B． C． D．6．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（

）A． B． C． D．8．(25-26高三上·辽宁重点高中点石联考·期中)如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（

）

A．B．C．D．9．(25-26高三上·安徽六安第一中学·月考)在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题10．已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．在中，角的对应边分别为，则（

）A．若，，则周长的最大值为18B．若，，为的中点，且，则C．若是锐角三角形且，，则的最小值为D．若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为312．(25-26高三上·广东广州外国语学校·)在中，、、是角、、的对应边，满足，，，则（

）A． B．C． D．的面积为13．(25-26高三上·吉林长春第二中学·调研)已知中，内角，，的对边分别为，，，并且满足，则（

）A． B． C． D．14．已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（

）A．B．面积的最大值为C．的最大值为D．角的平分线交于点，则的最大值为三、填空题15．已知所对的三边为a，b，c，且满足，则的最小值为16．(25-26高三上·云南临沧第一中学·期中)在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是．17．在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为.18．在中，为边上的两点，且满足，则，若，则的面积最大值为.四、解答题19．(23-24高三上·福建厦门科技中学（翔安校区）·期中)在中，内角A，B，C的对边分别是，，，的面积记为S，已知，.(1)求；(2)若边上的中线长为，为角的角平分线，求的长.20．在中，设角所对的边分别为，已知且.(1)求角；(2)若，求边上的角平分线的长；(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，求BC边上的高的最大值．(3)若的垂心为M（M在的内部），直线BM与AC交于点D，且，当最大时，求AB．22．(25-26高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中)已知的三边分别为，，，面积为，，.(1)求；(2)若，点，是边上的两个动点，.（Ⅰ）当时，求面积的最小值；（Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.23．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角B的大小；(2)若，，点D满足，求△ABD的面积；(3)若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围.24．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求周长的取值范围；(3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围．25．法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角的对边分别为，已知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．

(1)求；(2)若外接圆半径为1，求的边长；(3)若，的面积为，求的周长．26．(25-26高三上·河北部分重点中学·)记的内角A，B，C的对边分别为，且.(1)求；(2)若的角平分线交于点.（i）求的最大值；（ii）求的最小值.27．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，求此时的内切圆半径的最大值；(3)求的取值范围.

专题07解三角形中最值、类中线、内切圆等8大题型内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1、解三角形是近3年的高考命题热点，常以解答题为主，但也会考察选择填空题，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是正余弦定理，三角形面积公式的应用，也会考察解三角形中的最值范围问题．预测2026年：解三角可能会考一道最值中档试题，考察解三角形类中线最值问题，与平面向量相结合，也可能考察三角形中的内切圆问题。热点题型：题型01求对边对角三角形面积最大值范围问题题型02对边对角的锐角三角形面积问题题型03非对边对角的锐角三角形面积问题题型04解三角形中对边对角求周长最值范围问题题型05锐角的对边对角求周长最值范围问题题型06解三角形中的类中线问题处理策略题型07解三角形中的外接圆问题题型08解三角形中的内切圆问题题型01求对边对角三角形面积最大值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：余弦定理+不等式，当且仅当取等号秒杀思路：角等边，非等腰面积最大【精选例题】【例1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，的面积为S，且.(1)求A；(2)若，求S的最大值.【详解】（1）解决解三角形问题，看到既有切又有弦要考虑切化弦，看到边的平方要想到余弦定理代换因此本题由得，，化简得，，又根据余弦定理，则代入上式可得即，因为A为锐角，所以.（2）秒杀技巧：等腰三角形面积最大，所以知道，解得，所以大题解题步骤：，由，，则，，所以S的最大值为.当且仅当时取等号【例2】在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，内角、、的对边分别是、、，且满足（填条件序号）.(1)求角；(2)，求的最大值.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.【答案】(1)选①或②或③，；(2)【详解】（1）解：若选①，解题思路：看到既有边又有角，要统一为角或者边。因此本题因为，由正弦定理可得，因为、，则，，所以，，所以，，故；若选②，解题思路：都是正弦想到化为边即为边的平方的关系，再用余弦定理。因此本题因为，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因为，故；若选③，解题思路：看到既有边又有角，要统一为角或者边，看到三个角的关系要想到化为两个角因此本题，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，则，即，可得，因为，则，所以，，故.（2）秒杀技巧：等边三角形面积最大，大题解题步骤：因为，由余弦定理可得，由基本不等式可得，即，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.【例3】已知函数.(1)当时，求函数的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；(2)设，在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求面积的最大值.【答案】(1)最小正周期为，相邻两条对称轴的距离为；(2)【详解】（1）的最小正周期为，它的图象相邻两条对称轴的距离为；（2）由题意得，即，因为，所以，故，由余弦定理得，即，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故，解得，其中，故面积，故面积的最大值为.【例4】中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为三角形的面积为，则，所以，又，则；（2）由于，所以，即，取等号，故，故【变式训练】1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，即，又，则，所以，又因，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，即面积的最大值为．2.已知的内角、、的对边分别为、、，.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，即，所以，，因为、，则，所以，，故.（2）解：由余弦定理可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，，故面积的最大值为.3.已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：因为，所以，，且，由正弦定理可得，即，因为，则，则，又因为，故.（2）解：由余弦定理，可得.当且仅当时取得等号，所以.所以，面积，所以，面积的最大值为．4.从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，三边分别是角的对边，若______.(1)求C；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：若选条件①，由，可得，即，因为，所以，可得，因为，可得，所以，所以，可得.若选条件②，由，根据正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以.若选条件③：由，可得，即，因为，可得，又因为，所以，所以，因为，所以.（2）解：由（1）知：且，又由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立，所以，则，所以面积的最大值为.题型02对边对角的锐角三角形面积问题解｜题｜策｜略解题思路：面积公式边换角降幂公式辅助角公式锐角范围求面积范围【精选例题】【例1】在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】且，,根据正弦定理得，,即，整理得，，，，解得，，，，,的面积为锐角三角形，，，，，，.故选：C.【例2】已知函数．(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间，(2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为；(2)【详解】（1）函数，所以函数的最小正周期为，由，可得，即有函数的单调递增区间为.（2）若为锐角的内角，且，可得，由，可得，则，即.由正弦定理得，，所以，所以面积，又因为为锐角三角形，则，即，解得，所以，所以，所以.故面积的取值范围是.【专题训练】1.设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求锐角的面积的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得．又在中，，所以，则，又，则，所以，又，所以.（2）因为，则，所以，，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，故，则.2.在锐角中，角的对边分别是，且.(1)求；(2)若外接圆的半径是1，求面积的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以，则，因为是锐角三角形，所以，则，所以，所以；（2）因为外接圆的半径是1，所以，则，所以，因为是锐角三角形，所以，所以，则，故面积的取值范围是.题型03非对边对角的锐角三角形面积问题解｜题｜策｜略解题思路：秒杀：画两个直角三角形直接秒（注意两边都为开区间）解答题步骤：正弦定理边化角化为求解（注意角的范围）【精选例题】【例1】已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为.【详解】秒杀技巧：画两个直角三角形直接秒大题解题步骤：法一正弦定理化为三角函数求解：由正弦定理得，所以，故，又因为是锐角三角形，所以，故，所以，，故，即的面积为S的取值范围为法二：余弦定理求边的范围求解，利用锐角余弦值为正。详解因为，，由余弦定理得，即，故，为锐角三角形，则，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），综上，所以.【例2】记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求.(2)求面积的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）方法一：由余弦定理，得，解得.又，所以由正弦定理，得.

又为锐角三角形，所以.方法二：由题意知，.由正弦定理得，所以，所以，即；又因为，所以，又因为，所以.（2）由正弦定理，得；

因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以.因为，所以，所以.故面积的取值范围为.【专题训练】1.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．(1)求角A；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，可得，由正弦定理得，又因为，可得，且，则，可得，则，又因为，则，可得，所以．（2）由正弦定理，可得，则面积，因为为锐角三角形，故，解得，所以，则，可得，所以的取值范围为．2.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由正弦定理可得：，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即；（2）法一：由及（1）知的面积.由正弦定理得.由于为锐角三角形，故，.由（1）知，所以，因为在上单调递增，故，故，故，从而.因此面积的取值范围是；法二：因为，，由余弦定理得，即，故，为锐角三角形，则，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），综上，所以.题型04解三角形中对边对角求周长最值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：余弦定理不等式【精选例题】【例1】在中，已知，且，则的取值范围为．解题思路：秒杀技巧:，最大值是等边大题解法：由余弦定理得解得，当且仅当时取等号，又（三角形两边之和大于第三边），因此【例2】在中，已知，且，则的取值范围为．解题思路：秒杀技巧:，最大值是的等腰三角形大题解法：由余弦定理得，解得，当且仅当时取等号，又（三角形两边之和大于第三边），因此【例3】在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（

）A． B． C．6 D．9【答案】D【详解】在中，由及正弦定理，得，而，则，而，整理得，又，解得，由余弦定理，得，解得，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为9.故选：D【例4】在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由余弦定理得,所以由正弦定理得,所以,所以，所以,可得由余弦定理可得,又因为基本不等式所以,所以,当且仅当时，取最大值2，因为,所以,所以.故选：B.【例5】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)设，求周长的最大值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，，，又，则，于是，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为.【专题训练】1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=，△ABC周长的最大值为.【答案】9【详解】已知向量，，则，则，所以，则，所以，又，故且，所以，又，则；由余弦定理有：，则，由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即，所以，则，当且仅当且，即时等号成立，故三角形周长的最大值为故答案为：；2．在中，内角的对边分别为，，，若，，则周长的最小值为．【答案】9【详解】方法一：由余弦定理得：，即，又，则，所以，即，则，又两边之和大于第三边，即，所以的取值范围，所以周长的最小值为．方法二：（均值换元法）设，，，则由正弦定理和等比和定理得：，所以，由得，所以，所以周长的最小值为．故答案为：93．已知的内角，，的对边分别为，，，若．(1)求的值；(2)若的面积为，求周长的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）∵，由正弦定理可得：，由余弦定理知：，，可得，则有，由，解得.（2）中由余弦定理知，又在中有，∴，化简得，∵，∴.又，由正弦定理得：，，，因在中，，，，所以，当时，等号成立，∴周长的取值范围是．4．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(1)求；(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由正弦定理得，故，所以，因为，，所以，因为，所以；（2）由（1）可知，，，又，所以，由基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立.又，即，又，所以，所以，即周长的取值范围是.5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求B；(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，因为．所以；（2）因为外接圆的周长为，所以外接圆的直径为，由正弦定理得，则，由余弦定理得，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，则．故周长的取值范围为；综上，，周长的取值范围为.题型05锐角的对边对角求周长最值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：正弦定理三角函数辅助角公式注意角的范围【例1】在锐角中，已知，且，求周长的取值范围【详解】秒杀技巧：最大值等于等边，最小值为直角时和的值，但取不到，，故，所以周长大题解法：锐角的题一定要用角来解题，周长，因为锐角，所以，所以所以周长【例2】在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，∴，即，为锐角，∴，秒杀技巧：最大值等于等腰时，有余弦定理，解得，此时周长最大值为；最小值为直角时和的值，但取不到，，所以周长大题解法：锐角的题一定要用角来解题，因，由正弦定理可得，所以，其中，，因为为锐角三角形，所以，则，即：，所以，又，∴，即，故的周长的取值范围是.故选：D.【例3】在△中，角所对的边分别为且．(1)求△的外接圆半径；(2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以，由，可得：，即，又，所以，所以，，所以，所以△的外接圆半径为.（2）由（1）知，，由正弦定理有，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以，则，所以周长的取值范围为．【例4】在中，角A，B，C所对的边分别为，且.(1)求B；(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，在锐角中，，则，由正弦定理得，于是，而，则，即，，所以周长的取值范围为.【变式训练】1.在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，根据正弦定理得，，因为为锐角，所以，所以，即，而A为锐角，所以，因为根据正弦定理，所以，因为三角形周长为，又因为，所以，所以，因为，即，所以，即，，所以.故选：C.2.已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由正弦定理得，则，所以，即，由于，所以，所以，则，，由于，所以.（2）若，由正弦定理得，所以，所以三角形的周长为，由于三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以三角形周长的取值范围是.3.已知的内角所对的边分别是.(1)求角；(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，化简可得，由余弦定理得，因为为三角形内角，B∈0,π，所以.（2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为，因为，所以由正弦定理可得，故，所以，因为为锐角三角形，则，即的周长的取值范围为.4.已知的内角所对的边分别是.(1)求角；(2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，又由余弦定理得，又因为B∈0,π，所以.（2）方法一：因为外接圆的直径为，由正弦定理得，则，由余弦定理得，因为，所以，即，由三角形性质知，当且仅当时，等号成立，所以，故周长的取值范围为.方法二：因为外接圆的直径为，由正弦定理得，则，因为，可得，所以，所以，故周长的取值范围为.题型05锐角的非对边对角求周长最值范围问题解｜题｜策｜略解题思路：秒杀法：直接画两个直角三角形就出来了，都是开区间，取不到解答题解法：正弦定理，所有边都换为角，最后化成一个角，然后用二倍角展开，化为，利用单调性【精选例题】【例1】在锐角中，已知，且，求周长的取值范围秒杀技巧：当时，，所以；当时，，所以所以解答题解法：由正弦定理得所以周长因为锐角，所以，因单调递减，所以【例2】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且.(1)求角C的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，所以，利用正弦定理角化边得，又，，则，又为锐角三角形，故.（2）由正弦定理得，，由于为锐角三角形，则，又，解得，所以，而，即，，故的取值范围为.【例3】已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）.由，即.为锐角三角形，，..（2）由正弦定理，.，.，.是锐角三角形，，且.，，，...综上，的取值范围为.【变式训练】1.已知为锐角三角形，是角分别所对的边，若，且，则的取值范围是．【答案】【详解】在锐角中，由，得，即，由正弦定理得，而，则，又，则有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，则，由，得，即，于是，所以的取值范围是.故答案为：2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为．【答案】【详解】由，得，化简为，因为为锐角，所以，所以，即，因为为锐角，所以．由正弦定理，得，，故的周长为.因为且为锐角三角形，所以，，因为，整理得，解得，所以，故，所以，即周长的取值范围为．故答案为：.3．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答．在中，角，，的对边分别为，，，______．(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）若选条件①，由正弦定理得，所以，即，因为，所以．若选条件②，由余弦定理，所以，即，，所以，因为，所以．若选条件③，由正弦定理得，所以，又因为,所以，又，所以，因为，所以．（2）因为是锐角三角形，，所以，所以，由正弦定理可得，，因为，所以，所以，即的取值范围为．4．已知的内角的对边分别为．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意知中，，即，即，故，而；（2）由（1）知，而，故由正弦定理得，则，由为锐角三角形，则，则，故的周长，而，故，故的周长的取值范围为.题型06解三角形中的类中线问题处理策略解｜题｜策｜略①向量法：在用来求范围最值时很方便若在中，是的中线，那么就是若在中，，那么就是若在中，，那么就是用向量表示出来后再平方，结合向量数量积和余弦定理，再利用基本不等式求解②用两次余弦定理：对类中线所对应的小角分别在小三角形和大三角形中用余弦定理，求值的时候比较方便③余弦值互为相反数：对于类中线（爪形三角形）类解三角形题目，可以利用邻补角余弦值互为相反数列方程④等面积法处理：对于类中线（爪形三角形）类解三角形题目，还可以利用大三角形面积等于两个小三角形面积求解【精选例题】【例1】在中，，若，点是的中点，求的取值范围【详解】因是的中点，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以【例2】在锐角中，，，点是的中点，求的取值范围【详解】，由余弦定理可得，所以因，所以，因锐角，，所以所以，所以【例3】（多选题）已知的三个内角分别为A，B，C，，，，D在线段上，且满足平分．则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】对于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B，因为，则，则，由于，，则，由于，，则，所以，故B正确；对于C，因为，在中，由余弦定理：，即，故C不正确；对于D，由于，所以，解得（负数舍去）；因为在线段上，且满足平分．则在中，由等面积可得：，即，解得：，故D正确.故选：ABD.【例4】（多选题）在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（

）A．角的大小为B．若为的角平分线，则C．若，则线段的长度的取值范围为D．若，则的周长的最大值为【答案】ABC【详解】选项A：若，即，，故，因为为三角形内角，所以，所以，.故选项A正确.选项B：根据题意，由于，即.故选项B正确.选项C：若，则.在中，由正弦定理得：，，由于，则的长度的取值范围为.故选项C正确.选项D：若，根据等面积法有，即.由余弦定理得：，整理可有，故，的周长.又因为（当且仅当时取等号），解得，故的周长，周长的最小值为.故选项D错误.故选：ABC【例5】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②，由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．【例6】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且．(1)若，证明：；(2)在（1）的条件下，且，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）

在中，由正弦定理得，则，在中，由正弦定理得，则，因为，所以，而．所以，即．（2）由，得，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，，即，整理得，，在中，由余弦定理得，∴，故，即，所以.【例7】在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)求角；(2)若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）法一：由M在边BC上满足，可得，两边平方可得，所以，所以，当且仅当时取“”，所以，所以，即面积的最大值为.法二：由，则，由余弦定理可得，即，可得，又因为，所以，当且仅当时取“＝”，所以，所以，即面积的最大值为.【例8】在中，的对边分别为.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.【详解】（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.【变式训练】1.在中，内角的对边分别为，.（1）求；（2）若的面积为，求边上的中线的长.【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以，所以边上的中线的长为：.2.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．【详解】（1）．（2）如图所示：因为，所以，．又，所以．在中，由余弦定理得，即．①又，所以，两边平方得，即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，，所以是以为直角的三角形，所以的面积为．3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．(1)求；(2)若为的中点，且，求的面积．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，化简得．因为，，所以．因为，所以．（2）因为为的中点，所以，等式两边平方得，即①．在中，由余弦定理得②，联立①②解得，所以．4.在中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．【答案】（1）；（2）,1【详解】（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．设，则，在△中，由余弦定理可知，①，在△中②，解得，即．5.在中，记角，，的对边分别为，，．已知．(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以，即，又，所以.（2）由题意设，，，由（1）得，在中由余弦定理可得：

①因为，则，即

②，联立①②解得：，则，，是等边三角形，，的面积是．6.在，中，记角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为,由正弦定理可得,因为,所以,所以,因为,所以,即,则又,所以，故，则.（2）设，在中利用余弦定理得，，在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，即②，将①式代入②式化简得③，联立①③解得，故，故.7.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角B；(2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，即，又因为，则，因为，所以.（2）因为，所以，因为，所以，所以，即1a+1c=12，所以，当且仅当时，取得最小值.8.在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点.(1)求角的大小；(2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长.【答案】(1)；(2).【详解】（1）解：，，且，，由正弦定理得，，，，在三角形中，，，，∵，.（2）解：，，由余弦定理得，即，解得.为角的角平分线，，∵，∴，∴，得.题型07解三角形中的外接圆问题解｜题｜策｜略遇到有关外接圆问题：我们要想到正弦定理【精选例题】【例1】在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，所以，由正弦定理，可得，即，所以，由，所以，则外接圆的半径为，所以外接圆的面积为．故选：C.【例2】中，，角的平分线交于点，若，则外接圆的面积是．【答案】【详解】因为角的平分线交于点，所以，又，所以，设，则，所以，即，即，所以，即，又，所以，所以，则，所以，所以，所以外接圆的半径，则外接圆的面积为.故答案为：【例3】在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】由题意可知，，，，，，，.故选：B.【例4】在中，内角所对的边分别为，已知，且(1)求；(2)若的外接圆半径为，周长为，且，求.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为,故，所以.因为，所以，又，所以.（2）由正弦定理可知，因为，所以，所以.所以又，所以，所以，故.【例5】在中，角，，所对的边分别为，，，，是的外心.(1)若，求的最小值.(2)设，.①求的面积；②用向量，表示向量.【答案】(1)4；(2)①；②或【详解】（1）如图，设外接圆的半径为，且，因为，所以由正弦定理得，因为，所以，解得，则，由余弦定理得，同理可得，而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4.（2）①由正弦定理得，可得，，因为，所以，可得，因为，，所以，解得，因为为三边的中垂线的交点，所以由余弦定理得，，由同角三角函数的基本关系得，，则，故的面积为.②由已知得，，由已知得，则，由数量积的定义得，设，则，化简得，解得或，当、在两侧时，，当、在同侧时，.【变式训练】1.在中，若，且，则的外接圆的面积为．【答案】【详解】因为，由正弦定理可得，设，，，，则，由正弦定理得，（为外接圆半径），得，则外接圆面积为，故答案为：2.锐角的三个内角是，满足，的外接圆的圆心为，半径是1.(1)求角的大小及的值；(2)求的取值范围.【答案】(1)；；(2)【详解】（1）(1)由，得，;由正弦定理得，即，又锐角中，，，由圆周角定理可得，，又，.（2）.是锐角三角形，，，又在上单调递减，所以，即.故的取值范围是.3.在中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由已知及正弦定理得：，由得：，所以，又，所以，即，因为，所以，所以解得.（2）因为为的外心,且由上问知，所以,设（为的外接圆半径），因为为边的中点，且，所以在中易得：，所以，即，解得：，在中由余弦定理可得：，解得，在中由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，所以，即.所以周长，当且仅当时等号成立.故周长的最大值为.4．如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）．

(1)若，求的值；(2)若，求四边形周长的最大值；(3)若，求．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）根据向量数量积公式可得：.（2）因为，所以，所以，所以.根据余弦定理，所以.因为四点共圆，，所以.设，在中，根据余弦定理，即，当且仅当时等号成立.所以解得.所以四边形的周长为.（3）由得，所以且，即，，所以，得到四边形为等腰梯形，.设，在中，，在中，，所以.所以.题型08解三角形中的内切圆问题解｜题｜策｜略遇到有关内切圆问题：我们要想到等面积法，【精选例题】【例1】中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设的内切圆半径为，由题意可得，由余弦定理可得，而，故，由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立，而，则，其中，故，令，故.故选：B【例2】已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设是内切圆圆心，、分别是内切圆半径、外接圆半径，则，，，，在中，，即，，，即，，，即.故选：D.【例3】（多选题）在中，，，，I为的内心，则下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】对于A，设，由余弦定理有，解得或（舍去），故A正确；对于B，如图所示，设过点向三角形的三边引垂线，设垂足分别为，内切圆半径，，则，因为，所以，，由等面积法可知，，解得，所以，故B正确；对于C，由于平分，所以可设，由B选项可知，，解得，故，故C错误；对于D，因为，所以，，所以，即，而，同理可得，从而，，所以，故D正确.故选：ABD.【例4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若的外接圆半径为4，且，求的面积．【答案】(1)；(2)【详解】（1），根据正弦定理的变形公式可得，因为，所以，即，因为，所以，则，即；（2）因为，所以，则，即，又，所以，因为的外接圆半径为，所以由正弦定理可得，所以，所以.【例5】在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为.(1)求角的值；(2)如果，求的面积；(3)求内切圆半径的最大值.【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）由及正弦定理，可得又因为所以，故，由于，所以.（2）由已知，由余弦定理可得①又由可得②，由①②可解得，所以.（3）因为，所以，即由可知，即，从而，又因为，所以，因此，从而的最大值为，当且仅当，即为正三角形时等号成立【变式训练】1．（多选题）已知的面积为，若，，则（）A．的外接圆半径为1B．C．D．的内切圆半径为【答案】CD【详解】设的外接圆半径为，内切圆的半径为，选项A，由正弦定理，可得，，，又，所以，则.因为，所以，则，又，解得，所以A错误；选项B，由已知得，即，又，，所以，则，又，所以，，则，所以，，则，所以B错误；选项C，由已知，又，所以，，所以，所以C正确；选项D，由已知为直角三角形，斜边长，则，又，即，解得，所以D正确.故选：CD.2．已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为．【答案】【详解】解法一：由，即，则，同理，而，解得，设的内切圆与边相切于点，而，则，即，当且仅当时等号成立，所以，由图可知，，则边长的最小值为.解法二：由，得，由，得①，由余弦定理有，则②，显然．由①②整理得，解得或（舍去），则，当时等号成立，则边长的最小值为.故答案为；.3．中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为.【答案】【详解】如图：由，，可得，所以在的垂直平分线上.设为的中点，可得，所以，从而.由正弦定理可得，所以，当，，要使值最大时，则为锐角，所以，从而为等腰直角三角形，所以.所以、均在斜边的垂直平分线上，即为内切圆的半径，设内切圆半径为，则，即，解得，即.故答案为：4．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知.(1)求.(2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积.【答案】(1)；(2)【详解】（1），，，所以，根据正弦定理可变形为：，移项可得：，根据两角和的正弦公式可得：，因为，所以，因为，所以，即，所以；（2）设外接圆的半径为，的外接圆半径为，所以，根据外接圆半径公式，在中，，，则，，在中，，所以，，在中，，则，，解得或，因为为锐角，所以，因为点E为的内心，设的内切圆半径为，如图所示：，根据三角形面积公式，又，解得，，所以的面积为.5．在中，角的对边分别为，已知．(1)求A；(2)若，求三角形内切圆半径的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得：，整理可得，则，且，故．（2）由余弦定理，即，整理可得．设三角形内切圆半径为，则，即，由正弦定理可知．．因为，则，可得，所以．（建议用时：60分钟）一、单选题1．在中，，点为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为（）A．2 B．8 C．16 D．18【答案】A【分析】首先取的中点，则，根据平面向量基本定理确定点三点共线，再结合条件和平面几何关系，确定，再表示的面积，求最大值.【详解】取的中点，如图．因为，所以，因为，所以三点共线，因为是三角形的外接圆的圆心，所以，设，则，所以．当且仅当，即时取得等号，故面积最大值为2．故选：A．2．(25-26高三上·山东实验中学·)在中，“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不必要条件，又不充分条件【答案】C【分析】利用二倍角公式可由化简成，结合充要条件的概念及三角形的性质即可得解.【详解】等价于，等价于，又在中，，所以等价于，由正弦定理得等价于，等价于，故“”是“”的充要条件.故选：C3．(25-26高三上·重庆第一中学校·期中)在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得到，再结合余弦定理、基本不等式即可求解.【详解】由题意可得：，所以，又，所以，故选：B4．若点为的外心，且满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果.【详解】因为点为的外心，所以，因为，即，即，即，化简得，可知，化简得，根据基本不等式可知，当且仅当时取等号，因为，，所以，所以的最大值为.故选：C.5．(25-26高三上·辽宁名校联盟·期中)若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知在中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．若，且满足，则其布洛卡角的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，则可得，再借助余弦定理的推论即可得，从而可得，则可用表示出，最后利用正弦定理计算即可得.【详解】因为，即，得，点满足，则，在与中，，，所以，则，即，所以，且；在中，由余弦定理得，因为，所以，所以，，在中，由正弦定理得，化简得，解得．故选：C．6．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知及正弦定理、三角恒等变换得，再根据三角形内角性质得到、，进而有，最后由正弦定理、诱导公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数的性质求范围.【详解】由已知及正弦定理，得，因为，所以，所以，因为，，所以，所以，故，则，因为是锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理，得，因为，所以．故选：A7．在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用三角形面积公式,对已知条件转化，再结合余弦定理得到，利用辅助角公式化简得到关于的三角函数式，最后利用诱导公式和同角三角函数关系得到【详解】由题意，，由余弦定理：，两式相加得：，其中，因为，，又，所以，于是，所以，故选：A.8．(25-26高三上·辽宁重点高中点石联考·期中)如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（

）

A．B．C．D．【答案】A【分析】由正弦定理，求出，，设，根据正弦定理求出，根据求出，再减去地球半径即可.【详解】设地球球心为，月球表面上的点为，因为柏林与好望角纬度差约为，可以将其看作进行计算，

则，由地球半径为，则，在中，由正弦定理，，解得，，设，在中，由正弦定理，，解得，在中，由正弦定理，，解得，因为，则，故，因此，而地球表面与月球表面的最小距离为减去地球半径，故答案为.故选：A.9．(25-26高三上·安徽六安第一中学·月考)在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件可得，然后由三角函数和差化积公式可得，然后可得，然后结合三角形的正弦定理和面积公式可得答案.【详解】的内角，，满足，，，，，化为，．设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，由可得：，则，即，则由，及正弦定理得，即，面积满足，故选：A二、多选题10．已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】通过已知条件，结合二倍角公式和三角形内角和的性质，及不等式性质，推导出角之间的关系，进而判断选项的正确性.【详解】因为，所以，整理得，即又因为，所以，即，整理得：，因为，所以.选项A：，与推导结果一致.

正确.选项B：由，得，因为，因此，即.

正确.选项C：由，可知均为锐角；又因为，又因为，即，所以.

C正确.选项D：因为，（因），得且，但无法确定和的大小，故无法推出.

错误.故选：ABC.11．在中，角的对应边分别为，则（

）A．若，，则周长的最大值为18B．若，，为的中点，且，则C．若是锐角三角形且，，则的最小值为D．若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为3【答案】ABD【分析】对于A，由正弦定理得，从而由结合三角恒等变换公式得，进而得解；对于B，由，即结合余弦定理即可求；对于C，由已知得，再应用向量数量积的运算律、定义有，即可判断；对于D，设，由正弦定理和得，接着由余弦定理得，从而由一元二次函数性质结合即可得.【详解】对于A，由题以及正弦定理得，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故周长的最大值为18，正确；对于B，因为，所以，所以即，所以，正确；

对于C，由，且为锐角三角形，则，

所以，而，所以，显然在上单调递增，所以，错误；对于D，设，则，所以由正弦定理得，所以，由题可知，所以，

所以由余弦定理得，所以，当且仅当即时，等号成立，所以面积的最大值为3，正确.故选：ABD12．(25-26高三上·广东广州外国语学校·)在中，、、是角、、的对应边，满足，，，则（

）A． B．C． D．的面积为【答案】AC【分析】先根据证明，利用勾股定理可判断A选项；由已知条件得出，结合、诱导公式、二倍角的正弦公式可求出、的值，可判断B选项；由可判断C选项；由正弦定理求出，，结合以及勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式可判断D选项.【详解】先证明，由题意，，得，即，即，即，所以，可得，即，若，则，上式可转化成，令，则可知矛盾，从而.对于A选项，由于，根据勾股定理得，此时，而右边为，因左边右边，故A正确；对于B选项，因为，所以，因为，所以，故，所以，可得，因为，所以，所以或，故或，所以，B错；对于C选项，，因为为锐角，所以，，则，故，C对；对于D选项，由A选项可知，为直角，则，，所以，所以，，所以，可得，故的面积为，D错.故选：AC.13．(25-26高三上·吉林长春第二中学·调研)已知中，内角，，的对边分别为，，，并且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】A：取计算并判断；B：利用同构思想构造函数，分析单调性可得的关系，结合正弦函数的单调性即可判断；C：计算并判断的正负，再由正弦定理即可判断；D：根据的范围结合余弦定理可判断与的关系，再结合角的大小和不等式性质以及正弦定理即可判断.【详解】对于A：取，此时，因为，所以满足，故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，因为，所以，令，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，所以，所以，，因为在上单调递增，且，，所以，，所以，所以，故B正确；对于C：因为，且，所以，所以，所以，由正弦定理可知，故C正确；对于D：因为，所以，所以，所以，可知，所以，所以，由正弦定理可知，故D正确；故选：BCD.14．已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（

）A．B．面积的最大值为C．的最大值为D．角的平分线交于点，则的最大值为【答案】BCD【分析】结合题意并利用两角和的正切公式判断A，利用余弦定理结合重要不等式判断B，利用余弦定理结合基本不等式判断C，作出符合题意的图形，结合题意并利用换元法得到，最后利用导数并结合求解最大值即可.【详解】对于A，因为，所以，则，可得，得到，由两角和的正切公式得，即，由诱导公式得，解得，因为，所以，故A错误，对于B，由余弦定理得，而，可得，由重要不等式得，当且仅当时取等，则，解得，由三角形面积公式得，得到面积的最大值为，故B正确，对于C，由已知得，由基本不等式得，当且仅当时取等，得到，则，可得，解得，故C正确，对于D，如图，作出符合题意的图形，设，因为是的角平分线，所以，由等面积公式得，化简得，即，由已知得，即，可得，令，则，而，则在上单调递增，得到，即的最大值为，故D正确.故选：BCD三、填空题15．已知所对的三边为a，b，c，且满足，则的最小值为【答案】【分析】先利用正弦定理、余弦定理和题设条件将所求式化成，再结合余弦定理和基本不等式求出的范围，进而求得的范围，即可求得最小值.【详解】由正弦定理，可得，为的外接圆半径，又由和余弦定理，，代入上式，可得，因，当且仅当时，等号成立，则而，故，所以，即当时，取得最小值为.故答案为：.16．(25-26高三上·云南临沧第一中学·期中)在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是．【答案】【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可.【详解】对两边同乘得，由正弦定理得，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，解得，，令，则，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.17．在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为.【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得，进而求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可.【详解】在中，由正弦定理及，得，则，整理得，而，即，因此，，设该三角形内切圆半径为，则，又，于是，由，得，当且仅当时取等号，因此，所以该三角形的内切圆面积的最大值为.故答案为：18．在中，为边上的两点，且满足，则，若，则的面积最大值为.【答案】【分析】结合题意，利用三角形面积比可得的值，再利用坐标法求出点的轨迹为圆，再结合圆的性质可得解.【详解】根据题意，可知，如图，不妨设,分别记的面积为,则①②由①，②两式左右分别相乘，可得：，故得：.以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，则，设，，则，即，化简得，，在图中作出其轨迹，根据圆关于轴对称，可取上半部分进行研究，根据的底，则当的高最大时，其面积最大，显然当点位于圆的最高点时面积最大，此时其高等于圆的半径4，此时三角形面积为.故答案为：；12四、解答题19．(23-24高三上·福建厦门科技中学（翔安校区）·期中)在中，内角A，B，C的对边分别是，，，的面积记为S，已知，.(1)求；(2)若边上的中线长为，为角的角平分线，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形面积公式以及正弦定理即可计算得出，即可得；（2）利用平面向量的线性运算可得的值，再由等面积法结合，代入计算可求出的长．【详解】（1）因为，所以，即，由正弦定理可得，即，所以．因为，所以．（2）设AE为BC边上的中线，可得，因为，所以由正弦定理可得则，所以，解得，．因为，所以，所以.20．在中，设角所对的边分别为，已知且.(1)求角；(2)若，求边上的角平分线的长；(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解；（2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解；（3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，又由余弦定理得，，故.（2）由余弦定理可知，，代入，可得，解得.设，，即，解得，因此.（3）由余弦定理得，，