【《高考数学中向量试题题型分析综述》6900字】

高考数学中向量试题题型分析综述目录TOC\o"1-3"\h\u22400高考数学中向量试题题型分析综述 120791.1向量知识点的分类 1324781.2高考试卷中向量题型的分值统计 268411.1.1向量在高考试卷中所占总分值统计 2146121.1.2平面向量题型分值统计 3291041.1.3空间向量题型分值统计 542271.3高考试卷中平面向量的考点分类解析 638421.3.1向量的线性运算 691681.3.2平面向量夹角的计算 643381.3.3与平面向量相关的最值问题 7290831.3.4平面向量的数量积 759851.3.5平面向量与三角形相结合 8202171.3.6平面向量与圆锥曲线结合 9278771.4高考试卷中空间向量的考点分类解析 10181011.4.1点在面内的证明 10229111.4.2线线垂直的证明 11203851.4.3线面垂直与平行的证明 12297341.4.4面面垂直与平行的证明 14313691.4.5异面直线所成角的计算 15126691.4.6线面夹角 16318651.4.7点到面的距离计算 1785601.4.8二面角 18246941.5高考数学中向量的命题趋势 1968021.5.1结构稳定,适当变化 19173821.5.2与实际相结合 19187871.5.3知识交叉综合 20当今社会,高考作为许多人人生的分水岭,高考成绩显得格外重要,作为三大主科之一的数学,占了高考总分的1/5,为了更好的抓住分值,学生就需要逐个突破每一部分内容,因此本章对向量知识做了如下统计.1.1向量知识点的分类结合教材,对向量的内容进行整体分析,其具体内容分布如表2-1表2-1向量知识点统计概念线性运算定理应用平面几何1.定义1.加法运算1.共线定理1.夹角（定义,范围,角度判定）1.几何意义1.模1.减法运算1.基本定理1.投影定义、计算1.三角形中线及四心向量表达式3.表示3.数乘运算3.数量积定义,几何意义,性质3.三角形,平行四边形等的向量表示4.单位、相等、相反向量4.平面垂直计算与判定5.模计算由表2-1可以看出在学习了向量的基础知识之后,其考点有线性运算,向量的夹角,投影,数量积,模等计算,有与平面几何相结合的应用问题,还有证明（平行,垂直）,掌握了这些知识,接下来来看具体试题.1.2高考试卷中向量题型的分值统计全国34个省市共分为8类高考试卷,本章将研究2016-2020这五年8类高考试卷中向量知识所占总分值.1.1.1向量在高考试卷中所占总分值统计各省向量知识所占总分值如表2-2所示.表2-2高考试卷中向量所占总分统计省份20162017201820192020全国卷Ⅰ1717222817全国卷Ⅱ1722221717全国卷Ⅲ1723232317北京卷1919271918天津卷1819181825江苏卷2720151927浙江卷1925192019上海卷1018132421在2016-2020这5年中,共有34套全国高考数学学科试卷,从表2-2可以看出,每套试卷中都有用到向量知识的题,且用到向量知识的题目的总分值在10-30分之间.高考数学试卷总分值为150分,在2016-2020这5年中,全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中向量所占分值在17-28分之间,占总分的11.3%-18.7%,北京卷中向量所占分值在18-27分之间,占总分的11.0%-18.0%,天津卷中向量所占分值在18-25之间,占总分的11.0%-16.7%,江苏卷中向量所占分值在15-27之间,占总分的10.0%-18.0%,浙江卷中向量所占分值在19-25之间,占总分的11.7%-16.7%,上海卷中向量所占分值在10-24之间,占总分的6.7%-16.0%,从这些数据可以看到,向量在高考理科数学试卷中占比6.7%-18.7%,由此可知向量在高考中占有很重要的地位.1.1.2平面向量题型分值统计通过1.2对向量具体内容的列举,初步了解可能出现的考点内容,在网页上查找2016-2020年各省市理科高考数学试卷,找到与向量相关的题目,进行分析解题并思考用到的知识点,抓住考题的核心考点,争取做到知己知彼,百战不殆.下面是以2016--2020年各省高考理科数学试卷作为统计资料,对高考题中与平面向量和空间向量有关的内容分别进行了统计与分析.对高考试卷平面向量内容情况统计表如表2-3所示.表2-32016-2020年各省数学高考理科试卷平面向量内容情况表省份20162017201820192020题号分值题号分值题号分值题号分值题号分值全国卷Ⅰ13.线性运算513.线性运算和数量积56.与三角形结合8.数量积与圆锥曲线结合557.夹角的计算16和19.与圆锥曲线结合55614.线性运算5全国卷Ⅱ3.线性运算511.与三角形相结合54.线性运算53.数量积运算513.线性运算5全国卷Ⅲ3.夹角的计算511.线性运算20.与圆锥曲线结合5613.线性运算20.与圆锥曲线结合5613.夹角的计算21.与圆锥曲线结合566.夹角的计算5北京卷4.命题56.命题56.命题19.数量积与圆锥曲线结合587.命题513.线性运算与数量积计算5天津卷7.与三角形结合513.线性运算68.数量积运算514.数量积运算515.线性运算与数量积18.与圆锥曲线结合55江苏卷13.数量积运算18.与圆锥曲线结合51311.线性运算13.与圆锥曲线结合5511.线性运算511.与三角形结合513.线性运算18.与圆锥曲线结合58浙江卷15.最值问题410.数量积运算15.最值问题469.最值问题417.最值问题517.最值问题4上海卷11.数量积运算416.线性运算58.最值问题53.夹角计算13.线性运算5511.最值问题20.与圆锥曲线结合58由2-3对平面向量的考点进行统计,可以看出近五年试卷中,考察的题目类型分布于选择题、填空题,还有解答题.全国卷Ⅰ考察平面向量题目选择题题号为6-8题,填空题题号为13-14题,而解答题多与圆锥曲线相结合,分布于16-19题,所占分值是5-16分；全国卷Ⅱ考察题目选择题题号为3题与12题,12题作为压轴选择题,一般比较有难度,填空题在13题有考察到,其所占总分值均为5分；全国卷Ⅲ选择题的题号为3-12题,解答题题号为20-21题,其所占总分值为5-11分,北京卷选择题考察题目为4-7题,填空题题号为13题,解答题在19题有考察到,其所占总分值为5-13分；天津卷考察选择题题目题号为7-8题,填空题题号为13-15题,解答题在18题有考察到,其所占总分值为5-10分；江苏卷较特殊只有填空题和解答题,填空题在12-13题考察,解答题题号在18题有考察到,其所占总分值为5-13分；浙江卷考察选择题题目题号为9-10题,填空题题目题号为15-17题,其所占总分值为4-10分；上海卷选择题题号为3-12题,填空题题号在13题与16题,解答题20题与圆锥曲线相结合,其总分值在4-13分之间.试卷中在对平面向量知识的考察上,考点主要有夹角的计算,最值问题,线性运算,数量积运算,与三角形相结合等。在这些考点中,用到线性运算和数量积运算知识的题目占总题目的43.4%,用到平面向量与圆锥曲线相结合知识的题目占总题目的20.7%,用到其他知识的题目约占总题目的24.2%.由此可见,平面向量考察题目分布较广,选择、填空、解答都有,解答题大多与圆锥曲线相结合.一般情况下,在一道大题的三个问题中,会占其中一个小题.1.1.3空间向量题型分值统计通过上表对平面向量的题号等分析,可以从表中判断考察题目类型和分值等,对空间向量内容做统计如表2-4所示.表2-42016-2020年各省数学高考理科试卷空间向量题号及分值情况表省份20162017201820192020题号分值题号分值题号分值题号分值题号分值全国卷Ⅰ18121812181218121812全国卷Ⅱ1912101951292051217122012全国卷Ⅲ19121912191219121912北京卷17141614161416141613天津卷17131713171317131715江苏卷16142210221016141514浙江卷17151915191519151915上海卷196717581781714178由上表2-4中对2016-2020年各省数学高考理科试卷空间向量的题目、分值统计,可以看到,在近五年试卷中,全国卷Ⅱ和上海卷考察题目类型有选择题,有解答题,其他卷子考察题目类型均为解答题。全国卷Ⅰ考察空间向量题目题号为18题,其所占总分值为12分；全国卷Ⅱ考察空间向量知识的选择题题目题号在5、9、10题,解答题题号为17、19、20题,其所占总分值是12-20分；全国卷Ⅲ考察题目的题号均为19题,所占分值为12分；北京卷考察题目题号近四年为16题,2016年为17题,所占分值为13,14分；天津卷考察题目题号均为17题,所占分值为13,15分；江苏卷考察题目题号为15-22题,所占分值为10,14分；浙江卷考察题目题号近四年为19题,2016年为17题,所占分值均为15分；上海卷同全国卷Ⅱ一样,选择题题号在5-12之间,解答题题号在17-20之间,其总分值在最低6分最高14分之间.这些选择题、解答题对于空间向量知识的考察,空间向量的计算题目主要有以下几类：点到平面的距离计算,异面直线所成角的计算,空间直线与平面所成角的计算,二面角的计算,分析论述问题有异面直线位置关系的证明,不同平面间位置关系的证明,平面外一条直线与平面间位置关系的证明等。在以上这些考点中,考察二面角的计算知识的题目占总题目的48.8%,考察空间直线与平面位置关系的题目占总题目的44.2%,考察空间直线与平面所成角的计算的题目占总题目的20.9%,涉及其他知识的题目占总题目的25.9%.由此可见,空间向量考察题目多为解答题,且解答题多与立体几何相联系,对于此类问题,用向量法更容易一些.1.3高考试卷中平面向量的考点分类解析上文的统计分析,将向量知识分为平面向量和空间向量进行分析的,并且对这两块所考察知识点也明确了出来,本章将研究解决不同考点的解题方法.1.3.1向量的线性运算例1（2017全国卷Ⅰ理13）已知向量,的夹角为,,.则__________.解因为,所以.点拨本题测验了向量模的基本性质和向量数量积公式（为两向量间夹角）,通过对做平方运算找到与,之间的关系,进一步借助已经知道的条件得到题目要求解得的式子的结果.1.3.2平面向量夹角的计算例2（2019全国卷Ⅰ理7）已知非零向量,满足,且,则与的夹角为（）.；；、；、.解由,可得,以有.又因为,由,有,.因此此题选.点拨本题用到了两个向量垂直的性质,由性质得出第一个式子,进而利用向量分配律以及等量关系带入求得夹角余弦值,利用常用的三角函数得到夹角大小.1.3.3与平面向量相关的最值问题例3（2020浙江卷理17）已知平面单位向量,,满足,设,向量,的夹角为,则的最小值是_______.解由,可得,所以,因而有.点拨本题考查了向量模的基本性质,通过两边平方运算,利用已知不等式得到需要的的范围,进而利用向量夹角公式求得本题所需求的量的范围,由此得到最值.此题要注意判断不等式方向,容易出现错误.1.3.4平面向量的数量积例4（2019天津卷理14）在四边形中,如图1,,,,,点在线段的延长线上,且,则___________.解因为,,所以在等腰三角形中,又,所以,所以图SEQ图1\*ARABIC\s11图SEQ图1\*ARABIC\s11因为,所以.又由,所以.故答案为-1.点拨本题与图形相结合,首先根据题目条件先画图,由图形可将与用已知量表示出来,利用运算法则把数量积运算展开由已知数解得最终结果.1.3.5平面向量与三角形相结合例5（2018全国卷Ⅰ理6）在中,为边上的中线,为的中点,则=（）.；；、；、.解由图2可得图2图2.所以本题选.点拨做这种类型题思路就是先画图,然后根据图像利用三角形法则将用选项中出现的向量,表示出来,注意向量间系数关系以及向量方向,向量的方向对这种类型题非常重要.1.3.6平面向量与圆锥曲线结合例6（2018北京卷理19）已知抛物线经过点,过点的直线与抛物线有两个不同的焦点,,且直线交轴于,直线交轴于.设为原点,,,求证为定值.解因为抛物线经过点,所以,解得,所以抛物线方程为.由题意可知直线斜率存在且不为0,设直线方程为.由得.设,由联立方程组得到,,直线PA方程为.令,得到点纵坐标为,同理得点的纵坐标为.由,得,,所以.所以为定值.点拨本题与圆锥曲线相结合,运用向量的坐标知识,将,用纵坐标表示,进而化简得到进一步的结论,这里要注意两根之和,两根之积的公式.1.4高考试卷中空间向量的考点分类解析本节主要针对空间向量的题目与解题方法进行分析．1.4.1点在面内的证明例7（2020全国卷Ⅲ理19）如图3(),在长方体中,点,分别在棱,上,且,.证明点在平面内.图3()图3()图3()解设,,,如图3(),以作为坐标原点,的方向为正方向,构建空间直角坐标系.连接,则,,,,,,可得.因此,即,,,,四点共面,所以在平面内.点拨在解决点在面内这样的问题中,首先要明确有哪几种方法,在平常解题中常用的一般是三种,第一种是通过建立直角坐标系将平面上的点通过在轴上的投影所构成的有序实数对来表示位置.第二种是从向量的角度来判断点的位置,选取一个点,确定两个非零向量,那么固定的向量便可用这两个向量来表示,第三种就是通过到两向量间的距离来判断.通过判断好方法选取好求取的量来解决问题.1.4.2线线垂直的证明图4()图4()例8（2019浙江卷19）如图4(),已知三棱柱,平面面,,,,,分别是,的中点.证明.图4()图4()证明连接,因为,是的中点,所以.又因为平面面,面,平面面,所以面.如图4(),以作为原点,以射线为轴,为轴的正半轴,构建空间直角坐标系.不妨设,则,,,,,因此,.由,得.点拨本题考查的是线线垂直的证明,这样作为第一问考察的题目来说,往往不止一种做题方法,通过一般方法证明也可得到结果,但相应的需要看出如何利用面面垂直,线面垂直等方法求得线线垂直.当然,在这里也可以使用坐标系依靠向量知识来解决,明确好坐标即可求解.1.4.3线面垂直与平行的证明图5()图5()例9（2019北京卷理16）如图5(),在四棱锥中,面,,,,,为的中点,点在上,且.求证：面图5()图5()证明把点当作坐标原点,面内与垂直的直线为轴,方向为轴,轴,构建如图5()所示的空间直角坐标系.易知,,,,,,,,,由此可得,.又因为,所以面.点拨在证明线面垂直过程中,有两种方法可以用来证明,第一种是证明直线所在的方向向量和平面内任意两条相交的直线都垂直,第二种方法和第一种方法类似,也是选取所在的方向向量,但平面要计算其法向量,让和面的法向量平行来得证线面垂直,构建空间直角坐标系找到相应点的坐标即可解题.例10（2019天津卷理17）如图6(),面,,,,,.求证面.图6()图图6()图6()证明依题意,建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系如图6().可得,,,,.设,则.依题意,是平面的法向量,又由,可得.又因为面,所以面.点拨本题主要考察了线与面平行的知识,空间抽象能力与推理证明的能力,解决此类问题时发现不能直观的利用特殊图形之间关系来解决问题时,学生可以借助直角坐标系通过向量间关系来判断他们的位置关系.1.4.4面面垂直与平行的证明图7()图7()例11（2016全国卷Ⅰ理18）如图7(),在以,,,,,为顶点的五面体中,面为正方形,,,且二面角与二面角都是.证明平面平面.图7()图7()证明因为面为正方形,所以.过点做的垂线,即为轴,以为轴,为轴,构建如图7()空间直角坐标系.设,则,有,,.由题意可知是二面角的平面角,由此可得,,.设面的法向量是,则有即可取.由已知得,设面的法向量是,即可取.又因为,所以平面平面.点拨使用向量法来证明两个平面垂直,有两种方法,第一种方法是先通过分析题目或者计算求得平面与平面的法向量,对这两个平面的法向量做数量积运算,当数量积结果为零时,则两个面垂直,第二种方法是先找出平面内任意一条直线所在的方向向量,再让得到的这个方向向量与平面内任意两条相交的直线都垂直,并且由于这条直线在这个面内,因此得到这两个面垂直.1.4.5异面直线所成角的计算例12（2018上海卷理17）已知圆锥顶点为,底面圆心为,半径为1.设,是底面半径,且,为线段中点,如图8()所示,求异面直线与所成角的大小.图8()图图8()图8()解由题目所给条件,可得,,,所以以为原点,为轴,为轴.为轴,构建如图8()所示空间直角坐标系.,,,,,,.设异面直线与所成角为,则,.所以异面直线与所成角为.点拨这道题将向量内容与高二所学的立体几何里面的圆锥图形相结合,题目要求学生要求得异面直线间所成的角的大小,学生可以使用已经学过的向量夹角公式,主要考察运算能力,选取好坐标系,判断好点的坐标,计算仔细一些,即可解题.1.4.6线面夹角例13（2019上海卷理17）如图9,在长方体中,为上一点,已知,,,.求直线与平面的夹角解连接,面,则即为直线与平面的夹角。图9在中,,图9则.点拨在做线面夹角类型题时,首先先看线与面的夹角是否在平面上,若在平面上可利用平面图形来判断角的大小,若此夹角不在平面上,那么则可利用向量法来解决,通过构建空间直角坐标系确定所在的方向向量以及平面的法向量,然后使用以前学习过的向量夹角公式来求得最终的夹角.1.4.7点到面的距离计算例14（2019上海卷理17）在长方体中,为上一点,已知,,,.求点到平面的距离.解如图10构建空间直角坐标系.,,,,,.设面,则图10图10令,则.所以.点拨计算点到平面间的距离这样的问题,首先要计算