理论力学CAI数学基础

理论力学CAI版权所有,2002(c)上海交通大学工程力学系理论力学CAI数学基础2026/2/51理论力学CAI数学基础前言矩阵矢量方向余弦阵平面矢量数学基础2026/2/52理论力学CAI数学基础前言理论力学中的许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算矢量的代数描述及其运算以矩阵为工具对复杂的问题优于矢量几何及其运算理论力学中必须区分矢量与矩阵的概念。在许多科技著作中并不区分这两种数学量本章简要介绍本书将要涉及到的有关内容，并统一符号前言2026/2/53理论力学CAI数学基础矩阵矩阵的定义与运算

矩阵的导数

矩阵2026/2/54理论力学CAI数学基础矩阵的定义与运算矩阵的定义常见的矩阵运算方阵列阵

矩阵/定义与运算2026/2/55理论力学CAI数学基础矩阵的定义将

m×n

个标量

Aij

排列成

m

行，

n

列的表，定义为

m×n

阶(维)矩阵矩阵/定义与运算/定义用一黑斜体的大写字母来表示无法区分黑白时可加下横线2026/2/56理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/定义矩阵A的转置矩阵，记为AT例2026/2/57理论力学CAI数学基础常见的矩阵运算矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等矩阵与标量乘同阶矩阵求和矩阵乘2026/2/58理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等Aij=Bij(i=1,

,m;j=1,

,n)？例元素间的关系2026/2/59理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵与标量乘交换律例(i=1,

,m;j=1,

,n)元素间的关系2026/2/510理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵求和结合律转置运算交换律例(i=1,

,m;j=1,

,n)元素间的关系2026/2/511理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘(i=1,

,m;j=1,

,n)例元素间的关系2026/2/512理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算(i=1,

,m;j=1,

,n)例？2026/2/513理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算例(i=1,

,m;j=1,

,n)2026/2/514理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘运算律结合律转置运算分配律求积无交换律2026/2/515理论力学CAI数学基础矩阵/方阵方阵：m=n

对角阵方阵的迹方阵2026/2/516理论力学CAI数学基础矩阵/方阵例单位阵2026/2/517理论力学CAI数学基础矩阵/方阵对称阵：Aij=Aji

(i,j=1,

,n)例反对称阵：Aij=-Aji

(i,j=1,

,n)Aii=0

(i=1,

,n)对称阵反对称阵2026/2/518理论力学CAI数学基础矩阵/方阵非奇异阵与逆矩阵对于方阵A，存在同阶方阵B，有称A为非奇异阵；B为A的逆矩阵，记转置与逆运算2026/2/519理论力学CAI数学基础矩阵/方阵正交阵对于正交阵有满足如下等式的非奇异阵A

称为正交阵例A与B互为正交阵+互为逆阵互为转置阵2026/2/520理论力学CAI数学基础矩阵/列阵列阵：只有一列（m个元素）的矩阵为m×

1阶矩阵称为m

阶列阵m

阶列阵a

的转置aT

为1×m

阶矩阵称为m

阶行阵用一黑斜体的小写字母来表示

无法区分黑白时可加下横线列阵2026/2/521理论力学CAI数学基础矩阵/列阵矩阵的列阵分块表达定义列阵(j=1,

,n)2026/2/522理论力学CAI数学基础矩阵/列阵/列阵分块表达例定义列阵(j=1,

,n)2026/2/523理论力学CAI数学基础矩阵/列阵矩阵的行阵分块表达定义列阵的转置(i=1,

,m)(i=1,

,m)2026/2/524理论力学CAI数学基础矩阵/列阵/行阵分块表达例定义列阵(i=1,

,m)2026/2/525理论力学CAI数学基础矩阵的导数矩阵对时间的导数矩阵对变量的导数

矩阵/导数2026/2/526理论力学CAI数学基础矩阵对时间的导数元素为时间t的函数，记为Aij(t)，该矩阵记为A(t)

矩阵/导数/对时间的导数矩阵对时间导数的定义矩阵对时间的导数为一同阶矩阵其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数2026/2/527理论力学CAI数学基础矩阵对时间导数的运算矩阵/导数/对时间的导数2026/2/528理论力学CAI数学基础例已知矩阵/导数/对时间的导数验证2026/2/529理论力学CAI数学基础例已知矩阵/导数/对时间的导数验证2026/2/530理论力学CAI数学基础矩阵对变量的导数标量函数对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数

矩阵/导数/对变量的的偏导数2026/2/531理论力学CAI数学基础标量函数对变量的偏导数多变量的标量函数(多元函数)矩阵/导数/对变量的偏导数对于一组（n个）变量，通常引入一n

阶列矩阵表示这组变量，即如果有一个标量a，它是这组变量的函数(n元函数)，记为[例]对于二元函数引入二阶变量阵标量函数a可表为2026/2/532理论力学CAI数学基础标量函数对变量的偏导数多变量函数a

对n

阶变量阵q

的偏导数为一n

阶行阵其元素分别为该标量函数对各自变量qj

的偏导数矩阵/导数/对变量的偏导数[例]对于二阶变量阵的标量函数2026/2/533理论力学CAI数学基础标量函数阵对变量的偏导数多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数对于有n个变量，通常引入一n

阶列矩阵表示这组变量，即如果有一个m

阶标量函数列阵它的元素是上述变量的函数，记为2026/2/534理论力学CAI数学基础标量函数阵对变量的偏导数多变量的标量函数阵矩阵/导数/对变量的偏导数[例]对于二阶变量阵有如下的标量函数阵2026/2/535理论力学CAI数学基础标量函数阵对变量的偏导数m

阶标量函数列阵对n

阶变量阵q的偏导数定义为一m×n

阶矩阵且矩阵/导数/对变量的偏导数q1q2qnF1