模煳控制的数学基础

10:39:51人工智能与模糊控制1/1502.1清晰向模糊的转换一、模糊控制的提出以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型。在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制。10:39:51人工智能与模糊控制2/1502.1清晰向模糊的转换二、模糊控制的特点（1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。（2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。10:39:51人工智能与模糊控制3/1502.1清晰向模糊的转换（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如“今天气温高，则今天天气暖和”，易于被一般人所接受。（4）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。（5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。10:39:51人工智能与模糊控制4/1502.1清晰向模糊的转换为了对事物进行识别，必须对事物按不同的要求进行分类。许多事物可以依据一定的标准进行分类。用于这种分类的数学工具就是集合论。解决精确性的集合问题可以用经典集合论。世界上大多数事物具有模糊性。为了描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的概念。10:39:51人工智能与模糊控制5/1502.1清晰向模糊的转换经典集合：具有某种特性的所有元素的总和。

模糊集合：在不同程度上具有某种特性的所有元素的总和。10:39:51人工智能与模糊控制6/150模糊集合论的诞生，解决了数值和模糊概念间的相互映射问题。以模糊集合论为基础的模糊数学，在经典数学和充满模糊性的现实世界之间，架起了一座桥梁，使得模糊性事物有了定量表述的方法，从而可以用数学方法揭示模糊性问题的本质和规律。2.1清晰向模糊的转换10:39:51人工智能与模糊控制7/1502.1清晰向模糊的转换三类数学模型第一类是确定性数学模型确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。第二类是随机性数学模型随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确定的，但是它的发生与否却不是确定的。概率论、随机过程第三类是模糊性数学模型模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不分明，在概念的归属上不明确。模糊数学、模糊逻辑、粗糙集、熵空间等10:39:51人工智能与模糊控制8/1502.1清晰向模糊的转换模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。

“精确”：“老师”、“学生”、“工人”

“模糊”：“高个子”、“热天气”、“年轻人”模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。10:39:51人工智能与模糊控制9/1502.1.1普通集合集合是数学中最基本的概念之一。任何一个概念都有它的内涵和外沿。

概念的内涵指这一概念的本质属性；

概念的外沿指这一概念的全体对象，即一个集合。讨论某一概念的外沿时总离不开一定的范围。这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。10:39:51人工智能与模糊控制10/1501）集合的概念*集合具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如：“湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，……，Z来表示。*元素组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，……，z来表示。*论域所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。*空集不包含任何元素的集合，称为空集，记做Φ。*子集集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。若元素a

是集合A的元素，则称元素a

属于集合A，记为a∈A；反之，称a不属于集合A，记做。*属于*包含若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为；或者集合B包含集合A，记为。对于两个集合A和B，如果和同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。*相等*有限集如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。2.1.1普通集合10:39:51人工智能与模糊控制11/1502）集合的表示法将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为

A={10，12，14，16，18，20}*表征法

表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。上例中的集合A也可用表征法表示为A={a|a为偶数，10≤a≤20}*特征函数法：设A是论域X上的一个集合，定义论域X上的函数称μA（x）为集合A的特征函数。可简记为A（x）。*列举法2.1.1普通集合10:39:51人工智能与模糊控制12/150*集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X，Y的交集，记作P=X∩Y

*集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=X∪Y*集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为3）集合的运算

2.2普通集合10:39:51人工智能与模糊控制13/150具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。*集合的直积设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为4）集合的特征函数设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0。即2.2普通集合*幂集：对于给定集合A，以它的全体子集为元素组成的集合，T（A）

10:39:51人工智能与模糊控制14/150经典集合：清晰确定，彼此可以区分，边界周延明确，非此即彼。自然界：亦此亦彼，模糊性沙堆悖论：·问题：计算机如何识别、刻画模糊现象1965年L.A.ZadehFuzzySet特征函数取值{0,1}扩充到闭区间[0,1]，描述亦此亦彼现象。2.1.2模糊集合

10:39:51人工智能与模糊控制15/150(1)模糊集合的定义：

2.1.2模糊集合

例2.1.1论域为15到35岁之间的人，模糊集表示“年轻人”，则模糊集的隶属函数可定义为则年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：给定论域E中的一个模糊集，是指任意元素x∈E，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数∈[0，1]来表示。10:39:51人工智能与模糊控制16/150

经典集合和模糊集合在数轴上的映射，即它们的特征函数或隶属函数取值可以形象地画在图2-2中，左侧图中的A为模糊集合，右侧图中的A为经典集合。

10:39:51人工智能与模糊控制17/15010:39:51人工智能与模糊控制18/150(2)模糊数1）F集合的支集、核和正规F集设,记集合SuppA={x,x∈U,A(x)>0},称SuppA为F集合A的支集(Supporter);KerA={x,x∈U,A(x)=1},称KerA为F集合A的核(Kernel）正规F集：KerA≠的F集合。F集合A的支集和核，都是经典集合2）数与集合A的数积设，称10:39:51人工智能与模糊控制19/15010:39:51人工智能与模糊控制20/1503）凸F集：

凸F集的实际意义在于它是实数域上满足下述条件的F集合：任何中间元素的隶属度，都大于两边元素隶属度中的小者。如图2-5所示。

为什么这样规定？10:39:51人工智能与模糊控制21/1504)F数10:39:51人工智能与模糊控制22/15010:39:51人工智能与模糊控制23/150(3)模糊集合的表示法：1）Zadeh表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：注意：式中的“＋”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。例2.3.2假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为高个子

2.3模糊集合

10:39:51人工智能与模糊控制24/1502）序偶表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为：或简化为：

对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为

高个子或高个子2.3模糊集合

10:39:51人工智能与模糊控制25/1504）隶属函数描述法论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。假设年龄的论域为U=[15，35]，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：

该隶属函数的形状如图

2.3模糊集合

10:39:51人工智能与模糊控制26/1503）向量法10:39:51人工智能与模糊控制27/15010:39:51人工智能与模糊控制28/15010:39:51人工智能与模糊控制29/1502.2隶属函数10:39:51人工智能与模糊控制30/1502.2.1确定隶属函数的基本方法凸F集，单峰，单调10:39:51人工智能与模糊控制31/1502.2.1确定隶属函数的基本方法10:39:51人工智能与模糊控制32/1502.2.1确定隶属函数的基本方法10:39:51人工智能与模糊控制33/1502.2.2常用隶属函数在Matlab中已经开发出了11种隶属函数，即双S形隶属函数（dsigmf）、联合高斯型隶属函数（gauss2mf）、高斯型隶属函数（gaussmf）、广义钟形隶属函数（gbellmf）、II型隶属函数(pimf)、双S形乘积隶属函数（psigmf）、S状隶属函数（smf）、S形隶属函数（sigmf）、梯形隶属函数（trapmf）、三角形隶属函数（trimf）、Z形隶属函数（zmf）。10:39:51人工智能与模糊控制34/1502.2.2常用隶属函数在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下6种隶属函数。（1）高斯型隶属函数高斯型隶属函数由两个参数和c确定：其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为10:39:51人工智能与模糊控制35/150图高斯型隶属函数（M=1）10:39:51人工智能与模糊控制36/150fisMat=newfis('tipper');fisMat=addvar(fisMat,'input','service',[010]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'poor','gaussmf',[1.50]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'good','gaussmf',[1.55]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'excellent','gaussmf',[1.510]);plotmf(fisMat,'input',1);10:39:51人工智能与模糊控制37/150(2)广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定：其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为10:39:51人工智能与模糊控制38/150图广义钟形隶属函数（M=2）10:39:51人工智能与模糊控制39/150(3)S形隶属函数尽管Gauss隶属函数和钟型隶属函数具有平滑性，但它们不能规定非对称的隶属函数，因此模糊逻辑工具箱中内置了sigmoidal隶属函数，它是左开或右开的。非对称的隶属函数可以由两个S形函数结合构成。S形函数sigmf(x,[ac])由参数a和c决定：其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为sigmf(x,[ac])10:39:51人工智能与模糊控制40/150图S形隶属函数（M=3）10:39:51人工智能与模糊控制41/150（4）梯形隶属函数梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定：其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。Matlab表示为：trapezoid

10:39:51人工智能与模糊控制42/150(5)三角形隶属函数三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定：其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。Matlab表示为triangle

10:39:51人工智能与模糊控制43/150图三角形隶属函数（M=5）10:39:51人工智能与模糊控制44/150（6）Z形隶属函数这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。Matlab表示为有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版社，200110:39:51人工智能与模糊控制45/150图Z形隶属函数（M=6）10:39:51人工智能与模糊控制46/15010:39:51人工智能与模糊控制47/15010:39:51人工智能与模糊控制48/15010:39:51人工智能与模糊控制49/150模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。假设和为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为和模糊集交模糊集并模糊集补相等若，总有成立，则称和相等，记作。

包含若，总有成立，则称包含，记作。

2.3模糊集合的运算

10:39:51人工智能与模糊控制50/150例2.3.1：设论域U={a,b,c,d,e}上有两个模糊集分别为：

求2.3模糊集合

10:39:51人工智能与模糊控制51/15010:39:51人工智能与模糊控制52/15010:39:51人工智能与模糊控制53/15010:39:51人工智能与模糊控制54/150交换率，结合率，分配率传递率，，则，幂等率摩根率，复原率2.3.2模糊集合的运算规律幂等率同一率10:39:51人工智能与模糊控制55/15010:39:51人工智能与模糊控制56/1502.3.3模糊集合运算的其它定义10:39:51人工智能与模糊控制57/15010:39:51人工智能与模糊控制58/1502.4模糊关系及其运算“关系”是集合论中的一个重要概念，它反映了不同集合的元素之间的关联。普通关系是用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联。例2.4.1举行一次东西亚足球对抗赛，分两个小组A={中国，日本，韩国}，B={伊朗，沙特，阿联酋}。抽签决定的对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组的对阵关系，则R可用序偶的形式表示为：

R={（中国，伊朗），（日本，阿联酋），（韩国，沙特）}

2.4.1经典关系10:39:51人工智能与模糊控制59/150可见关系R是A，B的直积A×B的子集。也可将R表示为矩阵形式，假设R中的元素r(i,j)表示A组第i个球队与B组第j个球队的对应关系，如有对阵关系，则r(i,j)为1，否则为0，则R可表示为：该矩阵称为A和B的关系矩阵。

2.5模糊关系由普通关系的定义可以看出：在定义了某种关系之后，两个集合的元素对于这种关系要么有关联，r(i,j)＝1；要么没有关联，r(i,j)＝0。这种关系是很明确的。

直积：设任意两个集合AB，从A、B中各取一个元素x，y，按先A后B的顺序搭配成元素对（x，y），称它们为序偶。所有以序偶（x，y）为元素组成的集合，称为集合A到B的直积

1集合的直积10:39:51人工智能与模糊控制60/1502.经典二元关系及其表示方式10:39:51人工智能与模糊控制61/15010:39:51人工智能与模糊控制62/15010:39:51人工智能与模糊控制63/15010:39:51人工智能与模糊控制64/150人和人之间关系的“亲密”与否？儿子和父亲之间长相的“相像”与否？家庭是否“和睦”？这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是模糊关系。我们可以将普通关系的概念进行扩展，从而得出模糊关系的定义。2.4.2模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制65/1501模糊关系的定义假设x是论域U中的元素，y是论域V中的元素，则U到V的一个模糊关系是指定义在上的一个模糊子集，其隶属度代表x和y对于该模糊关系的关联程度。

例2.4.2我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设儿子与父亲的相像程度为0.8，与母亲的相像程度为0.3；女儿与与父亲的相像程度为0.3，与母亲的相像程度为0.6。则可描述为：

2.5模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制66/150模糊关系常常用矩阵的形式来描述。假设x∈U，y∈V，则U到V的模糊关系可以用矩阵描述为则上例中的模糊关系又可以用矩阵描述为：

2.5模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制67/1502模糊关系的表示方法

10:39:51人工智能与模糊控制68/15010:39:51人工智能与模糊控制69/15010:39:51人工智能与模糊控制70/15010:39:51人工智能与模糊控制71/15010:39:51人工智能与模糊控制72/150假设R和S是论域上U×V的两个模糊关系，分别描述为：

那么，模糊关系的运算规则可描述如下：模糊关系的相等：

模糊关系的包含：

模糊关系的并：

2.4.3模糊关系的运算1F矩阵的运算10:39:51人工智能与模糊控制73/150模糊关系的交：

模糊关系的补：

2.5模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制74/150例2.4.3已知

求：

解：根据模糊关系的运算规则得：

2.5模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制75/1502F矩阵的运算的性质10:39:51人工智能与模糊控制76/15010:39:51人工智能与模糊控制77/15010:39:51人工智能与模糊控制78/1502.4.4模糊关系的合成1经典关系的合成关系的合成本质上是建立一个新的映射10:39:51人工智能与模糊控制79/15010:39:51人工智能与模糊控制80/15010:39:51人工智能与模糊控制81/1502F关系合成定义10:39:51人工智能与模糊控制82/15010:39:51人工智能与模糊控制83/15010:39:51人工智能与模糊控制84/15010:39:51人工智能与模糊控制85/15010:39:51人工智能与模糊控制86/15010:39:51人工智能与模糊控制87/15010:39:51人工智能与模糊控制88/150x1=-20:0.2:0;x2=0.01:0.2:100;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./x2.^2)^-1)holdplot(x1,x1-x1,x2,(1+100./(0.5*x2).^2)^-1);gridx1=-20:0.2:0;x2=0.001:0.2:100;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./x2.^2).^-1);hold;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./(0.5*x2).^2).^-1);grid10:39:51人工智能与模糊控制89/1502.5模糊关系向清晰的转换自然语言量化模糊的执行机构清晰化10:39:51人工智能与模糊控制90/1502.5.1模糊集合的截集1.模糊集合与经典集合间的转换考试成绩：正态分布，及格与不及格10:39:51人工智能与模糊控制91/15010:39:51人工智能与模糊控制92/1502.模糊集合的截集10:39:51人工智能与模糊控制93/15010:39:51人工智能与模糊控制94/15010:39:51人工智能与模糊控制95/15010:39:51人工智能与模糊控制96/1502.5.2模糊关系矩阵的截矩阵10:39:51人工智能与模糊控制97/15010:39:51人工智能与模糊控制98/1502.5.3模糊集合转化为数值的常用方法由v（包含于R）上的模糊集B（模糊推理机的输出）向清晰点y（属于V）的一种映射。三条准则：言之有据：点y可直观地代表B；例如，它可能位于B的支撑集的中心附近或在B中有很大的隶属度值计算简便连续性：B的微小变化不会造成y的大幅度波动代表性10:39:51人工智能与模糊控制99/1501.面积中心（重心）法（centroid）10:39:51人工智能与模糊控制100/1502.面积平分法（bisector）10:39:51人工智能与模糊控制101/1503.最大隶属度法（maximum）10:39:51人工智能与模糊控制102/15010:39:51人工智能与模糊控制103/15010:39:51人工智能与模糊控制104/15010:39:51人工智能与模糊控制105/15010:39:51人工智能与模糊控制106/15010:39:51人工智能与模糊控制107/15010:39:51人工智能与模糊控制108/15010:39:51人工智能与模糊控制109/15010:39:51人工智能与模糊控制110/15010:39:51人工智能与模糊控制111/150本章结束10:39:51人工智能与模糊控制112/150例2.5.6艺术学院招生，对考生所需考察的素质有：{歌舞，表演，外在}。对各种素质的评语分为四个等级{好，较好，一般，差}。

某学生表演完毕后，评委对其评价为：好较好一般差歌舞30％30％20％20％表演10％20％50％20％外在40％40％10％10％如果考察学生培养为电影演员的潜质，则对表演的要求较高，其它较低。定义加权模糊集为：A＝{0.250.50.25}试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。2.5模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制113/150解：根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集：综合评判：选取隶属度最大的元素作为最终的评语，评委的评语为“一般”2.5模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制114/1502.6语言规则中蕴涵的模糊关系

“天气很冷，快要下雪了”

气温----

下雪概率(1)语言变量

语言变量是自然语言中的词或句，它的取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。例如“年龄”就可以是一个模糊语言变量，其取值为“年幼”，“年轻”，“年老”等模糊集合。10:39:51人工智能与模糊控制115/1502.4λ水平截集水平截集的定义

在论域U中，给定一个模糊集合A，由对于A的隶属度大于某一水平值λ（阈值）的元素组成的集合，叫做该模糊集合的λ水平截集。用公式可以描述如下：

其中x∈U，λ∈[0,1]。显然，Aλ是一个普通集合。

例2.4.1已知，求A0.1、A0.2、A0.7

10:39:51人工智能与模糊控制116/1502.4λ水平截集水平截集的性质

1）A∪B的λ水平截集是Aλ和Bλ的并集：2）A∩B的λ水平截集是Aλ和Bλ的交集：3）如果λ∈[0,1],α∈[0,1] 且λ≤α，则10:39:51人工智能与模糊控制117/150定义一个语言变量需要定义以下4个方面的内容：

定义变量名称定义变量的论域定义变量的语言值（每个语言值是定义在变量论域上的一个模糊集合）定义每个模糊集合的隶属函数。例2.6.1：试根据定义语言变量的4要素来定义语言变量“速度”。

首先，定义变量名称为“速度”，记做x；其次，定义变量“速度”的论域为[0，200]km/h；再次，在论域[0，200]上定义变量的语言值为{慢，中，快}；最后，在论域上分别定义各语言值的隶属函数为

2.6语言规则中蕴涵的模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制118/150定义的隶属函数形状如图(2)模糊蕴含关系

人类在生产实践和生活中的操作经验和控制规则往往可以用自然语言来描述。譬如，在汽车驾驶速度的控制过程中，控制规则可以描述为“如果速度快了，那么减小油门；如果速度慢了，那么加大油门。”下面就来介绍如何利用模糊数学从语言规则中提取其蕴涵的模糊关系。2.6语言规则中蕴涵的模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制119/1501）简单条件语句的蕴涵关系

2.6语言规则中蕴涵的模糊关系“如果……那么……”或“如果……那么……，否则……”假设u，v

是已定义在论域U和V的两个语言变量，人类的语言控制规则为“如果u是A，则v是B”，其蕴涵的模糊关系R为：式中，A×B称作A和B的笛卡儿乘积，其隶属度运算法则为：所以，R的运算法则为：10:39:51人工智能与模糊控制120/15010:39:51人工智能与模糊控制121/15010:39:51人工智能与模糊控制122/15010:39:51人工智能与模糊控制123/15010:39:51人工智能与模糊控制124/15010:39:51人工智能与模糊控制125/1502.6语言规则中蕴涵的模糊关系假设u，v是已定义的两个语言变量，人类的语言控制规则为“如果u是A，则v是B；否则，v是C”

则该规则蕴涵的模糊关系R为：10:39:51人工智能与模糊控制126/1502.6语言规则中蕴涵的模糊关系例2.6.2：

定义两语言变量“误差u”和“控制量v”；两者的论域：U=V={1,2,3,4,5}；定义在论域上的语言值为：{小，大，很大，不很大}={A，B，G，C}；定义各语言值的隶属函数为：分别求出控制规则“如果u

是小，那么v是大”蕴涵的模糊关系R1和规则“如果u

是小，那么v是大；否则，v

是不很大”蕴涵的模糊关系R2。10:39:51人工智能与模糊控制127/1502.6语言规则中蕴涵的模糊关系解：（1）求解R1

（2）求解R2

10:39:51人工智能与模糊控制128/1502）多重条件语句的蕴涵关系由多个简单条件语句并列构成的语句叫做多重条件语句，其句型为：如果u是A1，则v是B1；否则，如果u是A2，则v是B2

；……否则，如果u是An，则v是Bn。

该语句蕴涵的模糊关系为：

其隶属函数为：2.6语言规则中蕴涵的模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制129/1503）多维条件语句的蕴涵关系具有多输入量的简单条件语句，我们称之为多维条件语句。其句型为：如果u1是A1，且u2是A2，…，且um是Am，则v是B该语句蕴涵的模糊关系为：

其隶属函数为：2.6语言规则中蕴涵的模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制130/1502.6语言规则中蕴涵的模糊关系例2.6.3已知语言规则为“如果e是A，并且ec是B，那么u是C。”其中

试求该语句所蕴涵的模糊关系R。解：

第一步，先求R1＝A×B：10:39:51人工智能与模糊控制131/150第二步，将二元关系矩阵R1排成列向量形式R1

T，先将中的第一行元素写成列向量形式，再将中的第二行元素也写成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，再依次写下去。于是R1可表示为：第三步，R可计算如下：2.6语言规则中蕴涵的模糊关系10:39:51人工智能与模糊控制132/1502.6语言规则中蕴涵的模糊关系4）多重多维条件语句的蕴涵关系具有多输入量的多重条件语句，我们称之为多重多维条件语句。其句型为：

如果u1是A11，且u2是A12，…，且um是A1m，则v是B1；否则，如果u1是A21，且u2是A22，…，且um是A2m，则v是B2；……否则，如果u1是An1，且u2是An2，…，且um是Anm，则v是Bn；则该语句蕴涵的模糊关系为：

其隶属函数为：10:39:51人工智能与模糊控制133/1502.7模糊推理常规推理：已知x，y之间的函数关系y＝f(x)，则对于某个x*，根据f()可以推理得到相应的y*。xyf()x*y*=f(x*)推理模糊推理：知道了语言控制规则中蕴涵的模糊关系后，就可以根据模糊关系和输入情况，来确定输出情况，这就叫做“模糊推理”。xyRx*=Ay*=B推理10:39:51人工智能与模糊控制134/1502.7模糊推理（1）单输入模糊推理对于单输入的情况，假设两个语言变量x，y之间的模糊关系为R

，当x的模糊取值为A*

时，与之相对应的y的取值B*

，可通过模糊推理得出，如下式所示：上式的计算方法有两种：1）Zadeh法10:39:51人工智能与模糊控制135/1502.7模糊推理例2.7.1在例2.6.2中，已经求出控制规则“如果u

是小，那么v是大”蕴涵的模糊关系为R1，现在，已知输入量u

的模糊取值为“略小”，记做A1，令A1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量v根据规则相应的取值B1。解：同理，可解得：所以10:39:51人工智能与模糊控制136/1502.7模糊推理2）Mamdani推理方法与Zadeh法不同的是，Mamdani推理方法用A和B的笛卡儿积来表示A

B的模糊蕴涵关系。则对于单输入推理的情况，的计算方法为：叫做和A的适配度，它是A*和A的交集的高度。根据Mamdani推理方法，结论可以看作用α对B进行切割，所以这种方法又可以形象地称为削顶法。10:39:51人工智能与模糊控制137/1502.7模糊推理单输入Mamdani推理的图形化描述（削顶法）

10:39:51人工智能与模糊控制138/150（2）多输入模糊推理对于语言规则含有多个输入的情况，假设输入语言变量x1,x2,…,xm与输出语言变量y之间的模糊关系为R，当输入变量的模糊取值分别为A1*,A2*,,…,Am*时，与之相对应的y的取值B*，可通过下式得到：2.7模糊推理10:39:51人工智能与模糊控制139/150例2.7.2，已知

2.7模糊推理试根据例2.6.3中的语言规则求“e是A*并且ec是B*”时输出u的模糊值C*。解：

10:39:51人工智能与