隐形圆相关中考数学复习题集合

隐形圆相关中考数学复习题集合在中考数学的几何综合题中，“隐形圆”问题常常是学生们感到棘手的难点。这类题目往往不直接给出圆的信息，而是通过一些特定的条件暗示圆的存在。能否准确识别并构造出这个隐形的圆，成为解题的关键。下面，我们就结合一些典型例题，梳理一下常见的隐形圆模型及其应用，希望能帮助同学们更好地掌握这类问题的解题思路。一、利用“定点定长”构造隐形圆——圆的定义圆的定义告诉我们，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。如果题目中存在一个定点，并且有一个动点到该定点的距离始终保持不变（定长），那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）。例题1：已知线段AB=4，点P为平面内一动点，且PA=2，则线段PB长度的最大值为多少？最小值为多少？分析与解答：题目中，点A是定点，点P是动点，且PA=2（定长）。根据圆的定义，点P的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆。要求PB的最值，我们可以连接点B和圆心A。线段BA与圆A的交点到点B的距离，就是PB的最小值和最大值。已知AB=4，圆A半径r=2。当点P在线段BA的延长线上时，PB最大，最大值为AB+r=4+2=6；当点P在线段AB上时，PB最小，最小值为AB-r=4-2=2。所以，PB的最大值是6，最小值是2。小结：这类问题的核心在于识别出“定点”和“定长”，从而确定动点的轨迹是一个圆。一旦明确了圆的存在，后续的长度计算、位置关系判断就会变得清晰。二、利用“定弦定角”构造隐形圆——圆周角定理的应用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。反过来，如果一个角的顶点在运动，但角的大小不变，且它所对的边（弦）的长度也不变，那么这个角的顶点的轨迹就是以这条定弦为弦的一段圆弧（不与弦的端点重合）。这里要注意，根据圆周角定理，这样的圆弧可能有两段（位于弦的两侧）。例题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D是边BC上的一个动点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE。当点D在BC上运动时，求线段BE长度的最小值。分析与解答：首先，根据已知条件，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，可求得AB=10。将△ACD沿AD翻折得到△AED，所以AE=AC=6（定长），∠AED=∠C=90°。这里，点A是定点，AE的长度是定长6，∠AED是定角90°。那么，点E的轨迹是什么呢？因为∠AED=90°，AE=6，我们可以把AE看作一条定边，∠AED是AE所对的角。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径。所以，点E在以AE为直径的圆上运动吗？Wait，再仔细想想。∠AED=90°，顶点是E，所以应该是以AD为斜边？不，AE是确定的。我们可以这样考虑：对于点E，AE=6（定点A，定长AE），且∠AED=90°。但点D是运动的，所以DE的长度和方向也在变。换个角度，由于AE=AC=6，点A固定，所以点E到点A的距离始终是6。那么，点E的轨迹应该是以点A为圆心，6为半径的圆上的一段弧！因为翻折，点E初始位置是C，随着D的运动，E在圆A上运动。是的，因为AE=AC=6，A是定点，所以E的轨迹是以A为圆心，6为半径的圆（或其一部分，由翻折范围决定）。那么，要求BE的最小值，就是求定点B到圆A上一点E的距离的最小值。根据圆的性质，这个最小值就是线段AB的长度减去圆A的半径。AB=10，圆A半径AE=6，所以BE的最小值为AB-AE=10-6=4。此时，点E在AB与圆A的交点处（靠近B的一侧）。小结：“定弦定角”模型的关键在于找到那个“定角”和它所对的“定弦”，或者识别出动点到定点的距离为定长。有时需要结合翻折、旋转等图形变换来发现这个“定长”或“定角”。三、利用“对角互补”或“定角对定边”的引申构造隐形圆如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆（圆内接四边形的判定定理）。此外，如果两个点对同一条线段的张角相等（或互补），那么这两个点也可能在同一个圆上。这些都可以作为构造隐形圆的依据。例题3：在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，则∠BDC=多少度，∠DBC=多少度。分析与解答：由AB=AC=AD可知，点B、C、D到点A的距离相等。根据圆的定义，点B、C、D在以点A为圆心，AB为半径的圆上。所以，∠BAC、∠CAD是圆心角。∠BAC=25°，则弧BC所对的圆心角为25°，所以弧BC所对的圆周角∠BDC=1/2∠BAC=12.5°。∠CAD=75°，则弧CD所对的圆心角为75°。那么，弧BD所对的圆心角为∠BAC+∠CAD=25°+75°=100°。所以，弧BD所对的圆周角∠BCD=1/2∠BAD=50°。但题目问的是∠DBC。在△DBC中，我们知道了∠BDC=12.5°，还需要知道另一个角。AB=AD，所以点B和点D关于AC对称吗？不一定，但我们知道∠ABD=∠ADB。或者，因为AB=AC=AD，所以∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠ADC。先求∠ABC：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=25°，所以∠ABC=(180°-25°)/2=77.5°。同理，在△ACD中，AC=AD，∠CAD=75°，所以∠ADC=(180°-75°)/2=52.5°。但这似乎与∠DBC没有直接关系。回到圆的思路。点B、C、D在圆A上，那么∠DBC和哪个圆心角有关呢？∠DBC是圆周角，它所对的弧是弧DC。弧DC所对的圆心角是∠CAD=75°，所以∠DBC=1/2∠CAD=37.5°。是的！因为∠DBC的顶点在圆周上，它对的弧是CD，而弧CD所对的圆心角是∠CAD=75°，所以∠DBC=75°/2=37.5°。小结：当题目中出现多条相等线段共端点时，要联想到这些端点可能共圆，从而利用圆的性质（如圆心角、圆周角关系）来解决角度计算问题。对角互补是四点共圆的一个重要信号。四、利用“最值问题中的隐形圆”——常见于“一箭穿心”模型在一些几何最值问题中，虽然没有直接给出圆，但通过分析动点的运动轨迹，可以发现其轨迹是一个圆，此时要求某个线段或图形面积的最值，就可以转化为圆上的点到定点的距离最值问题，通常可以用“一箭穿心”（即连接圆心与定点，与圆的交点即为最值点）的方法求解。例题4：已知点A(0,3)，点B(4,0)，点P是x轴上的一个动点，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PC，连接BC。求线段BC长度的最小值。分析与解答：点A(0,3)，点B(4,0)是定点。点P是x轴上的动点，设P(t,0)。将PA绕点P顺时针旋转90°得到PC。我们需要找到点C的坐标与t的关系，或者发现点C的轨迹。设点C的坐标为(x,y)。根据旋转的性质，PA=PC，且PA⊥PC。向量PA=(-t,3)，向量PC=(x-t,y-0)=(x-t,y)。因为PA绕点P顺时针旋转90°得到PC，所以向量PA旋转90°后得到向量PC。将向量PA=(-t,3)顺时针旋转90°，得到的向量应该是(3,t)（可以通过画图或旋转公式得到：(a,b)顺时针转90°为(b,-a)，这里原向量是从P到A：A-P=(0-t,3-0)=(-t,3)，顺时针旋转90°后得到向量PC：C-P=(3,t)）。所以，C-P=(3,t)，即x-t=3，y=t。因此，x=t+3，y=t。消去参数t，可得y=x-3。所以点C的轨迹是直线y=x-3？这似乎不是圆。看来我的旋转向量分析可能哪里出了问题，或者这个模型不适用“定长定角”。（嗯，这个例题似乎选得不太好，它的轨迹是直线。我需要换一个更典型的“最值问题中隐形圆”的例子。）例题4（修正）：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是△ABC内部一动点，且满足∠ADB=90°，求线段CD长度的最小值。分析与解答：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，可得AB=5。点D是△ABC内部一动点，且∠ADB=90°。因为∠ADB=90°（定角），AB=5（定边，D在△内部，所以AB是∠ADB所对的斜边）。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径。所以，点D在以AB为直径的圆上（且在△ABC内部的一段圆弧）。设AB的中点为O（即该圆的圆心），则O为AB中点，AO=BO=DO=AB/2=2.5。要求线段CD长度的最小值，就是求定点C到圆O上一点D的距离的最小值。连接CO，与圆O的交点（靠近点C的那个）即为使CD最小的点D。在Rt△ABC中，O是AB中点，可求得CO的长度。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，但这里CO不是中线吗？是的！在Rt△ABC中，斜边上的中线CO=AB/2=2.5？Wait，不对，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那CO应该是2.5？但我们来具体算算坐标。以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系。则C(0,0)，B(3,0)，A(0,4)。AB中点O的坐标为((3+0)/2,(0+4)/2)=(1.5,2)。则CO的长度为√[(1.5-0)^2+(2-0)^2]=√(2.25+4)=√6.25=2.5。果然，CO=2.5，这与直角三角形斜边中线性质一致。圆O的半径r=AB/2=2.5。所以，CD的最小值为CO-r=2.5-2.5=0？这显然不可能，因为点D在△ABC内部，当CO=r时，说明点C在圆O上。此时CD的最小值为0，即点C与点D重合，但∠ADB=90°，当D与C重合时，∠ACB=90°，满足条件。但题目说“内部一动点”，严格来说C是边界点。如果题目限定D在内部，则最小值无限接近0。看来这个例子也有瑕疵，主要是因为C点恰好在以AB为直径的圆上。）例题4（再修正，确保C不在圆上）：已知点A(0,0)，点B(4,0)，点D是平面内一动点，且∠ADB=45°，求点D到原点O(0,0)距离的最小值。分析与解答：点A(0,0)，点B(4,0)，AB=4（定弦）。点D满足∠ADB=45°（定角）。根据“定弦定角”模型，点D的轨迹是以AB为弦，所对圆周角为45°的两段圆弧（优弧和劣弧，AB的上下两侧）。我们需要找出圆心和半径。弦AB=4，圆周角∠ADB=45°，则圆心角∠AOB=90°（O为圆心）。设圆心为M(x,y)。因为MA=MB=R（半径），所以M在线段AB的垂直平分线上。AB中点为(2,0)，AB在x轴上，所以AB的垂直平分线是直线x=2。因此，圆心M的坐标为(2,y)。MA=MB，且∠AMB=2∠ADB=90°（圆心角是圆周角的两倍）。在等腰直角三角形AMB中，MA=MB=R，AB=4。根据勾股定理，MA²+MB²=AB²，即2R²=16，解得R²=8，R=2√2。MA的长度为√[(2-0)^2+(y-0)^2]=√(4+y²)=R=2√2。所以，4+y²=8，y²=4，y=2或y=-2。因此，点D的轨迹是两个圆：一个圆心为M1(2,2)，半径为2√2；另一个圆心为M2(2,-2)，半径为2√2。要求点D到原点O(0,0)距离的最小值，即求原点O到这两个圆上的点的距离的最小值，然后取较小的那个。对于圆M1(2,2)，半径R=2√2。OM1的距离为√[(2-0)^2+(2-0)^2]=√8=2√2。所以原点O到圆M1上点的最小距离为OM1-R=2√2-2√2=0。但此时点D与原点O重合，此时∠ADB=0°，不符合题意，所以这个圆上的点D需排除与A、B共线或使角度为0°的点，但此处OM1=R，说明O在圆M1上。对于圆M2(2,-2)，同理，OM2的距离也是√[(2-0)^2+(-2-0)^2]=2√2=R，原点O也在圆M2上。这说明，当∠ADB=45°时，以AB为弦的两个圆都经