高考物理 用单摆测量重力加速度知识和经典试题解析

问题1：为什么要测量重力加速度？

答：重力加速度g是物理学中一个重要的物理量，g的值随纬度和距离地面高度的变化而变化。如图所示，重力加速度g的准确测定对于计量学、精密物理计量、地球物理学、地震预报、重力探矿和空间科学等都具有重要意义。测量重力加速度g的方法多种多样（高三复习的关键问题梳理中会进行系统的整理和详细介绍），如图所示。理论上，与重力相关的物理现象都可以用来测量g。利用单摆测量重力加速度这一方法由于精确度较高，从16世纪末到19世纪初被利用了大约200年。问题2：为什么利用单摆可以测量重力加速度？答：通过上节课的学习可知，单摆振动周期T的大小取决于摆长l和当地的重力加速度g：根据上面的表达式可知，选取一些合适的材料构建一个单摆，测量这个单摆做简谐运动的周期T和摆长l，就能测量当地的重力加速度。为了让单摆的振动是简谐运动，单摆的摆线要轻且不可伸长，摆球要小而重的，单摆的摆角尽量控制在10°以内（所以摆线的长度应当在1m左右）。问题3：如何测量单摆的摆长？答：答：如图甲所示，测量单摆的摆长就是要测量悬点O到摆球中心O＇之间的距离。观察图乙不难发现：小球的球心位置在测量时较难确定。为减小实验误差，一般会先利用刻度尺测量摆线长度l0，然后用游标卡尺测量小球直径d，则摆长：问题4：如何测量单摆的周期？

答：如图所示，单摆从A点开始运动，先后经过O—B—O再回到A点所用的时间即为单摆振动的周期。实际实验中，为了减小实验误差，一般会从单摆经过O点时开始计时，利用秒表等计时工具测量单摆振动n（n=30～50）次全振动的时间t，则单摆的周期T=t/n。子问题1：为什么需要通过测量30～50次全振动所用的时间测量单摆的周期？实验中单摆的摆长为1m左右，因此单摆的周期在2s左右。人的反应时间一般在0.2s左右。假设人的反应时间为∆t，若测量单摆完成一次全振动所用的时间t，则单摆的周期t–∆t≤T≤t+∆t。若测量n（n=30～50）次全振动所用的时间为t，则单摆的周期（t–∆t）/n≤T≤（t+∆t）/n。显而易见，通过测量30～50次全振动所用时间求周期和只测量一次全振动相比，人的反应时间造成的测量误差较小。值得提醒的是，虽然通过上面的分析可知n越大，人的反应时间对时间测量的误差越小，但n并不是越大越好。这是因为随着振动次数的增加，阻力对振动的影响越来越大，由此造成周期的测量误差也越大。子问题2：为什么测量30～50次全振动所用的时间要从平衡位置开始计时？答：这是因为测量时间时需要用眼睛确定摆球的位置，这种判断是不精确的。假设眼睛判断的位置与实际位置之间存在∆s的距离偏差，则引起的时间偏差为∆t=∆s/v，显然v越大，由于位置判断不准确造成的时间偏差越小。单摆在振动过程中经过平衡位置时的速度最大，因此以平衡位置作为计时起点对时间测量造成的误差较小。子问题3：实验中还有哪些方面会影响单摆周期的测量？

答：用如图甲所示的方式悬挂摆球，单摆在摆动时悬点位置不断发生变化，使得单摆的摆长不断改变，也因此使单摆的周期在一次全振动中不断变化，这样测量的周期无法与一个固定的摆长对应，造成了实验误差。因此实验中应当采用图乙的方式悬挂摆球。如图所示，若释放摆球的位置A与悬点O不在一个竖直平面内，释放后单摆将做圆锥摆运动。根据圆周运动的知识分析可知，这种情况下摆的周期显然，由于这种情况下测量得到的单摆的周期偏小，因此重力加速度的测量值偏大。子问题4：是否还有其他方法可以测量单摆的周期？答：通过上面的分析可知，单摆周期的测量是利用单摆测量重力加速度的重要误差来源，因此改进周期的测量方法可以减小本实验的误差。随着社会的发展和技术的进步，更为精确地测量单摆运动的周期可以采用以下几种方法：①使用光电计时器如图所示，将光电门放置在单摆的平衡位置处。与光电门连接的传感器记录了电流随时间变化的图像，则单摆的周期T=t3–t1。②使用力学传感器如图甲所示，将单摆的摆线与一个力学传感器相连，就能利用电脑记录单摆摆动时摆线中的拉力随时间变化的关系图像。根据单摆的受力分析可知拉力最小的位置为单摆运动到最大位移处，拉力最大的位置为单摆运动到平衡位置处，因此图乙所示的图像单摆的周期T=1.6s，图丙所示的图像单摆的周期T=0.4πs。③使用手机中的phyphox软件phyphox是由德国亚琛工业大学开发一款手机物理实验软件。将单摆的小球磁化后，将手机放在单摆平衡位置的正下方，利用phyphox中的磁力计可以记录磁化的小球摆动时手机所在位置磁感应强度B的变化，如图所示。（图片来自河南张怀化老师的公众号—豫见物理）根据图像可知，摆球经过平衡位置10次所用的时间为11.6s（三位有效数字），则单摆的周期T=11.6/5s=2.32s。问题5：如何利用多次（不少于3次）的实验数据更加精确地得到当地的重力加速度？答：多次测量得到单摆的摆长和周期之后，为了得到更加精确的得到当地的重力加速度值常常采用两种方法处理数据：方法①：多次测量取平均值。用问题2中推导的表达式，多组周期和摆长的实验数据可得到重力加速度的多组值，则对这些值取平均可以得到更加精确的重力加速度值。如图所示，6次测量的重力加速度平均值g=9.73m/s2。方法②：利用图像法处理数据根据问题2中的表达式

可知单摆周期的平方与摆长成正比：T2=kl。因此若利用多次测量的周期和摆长做出如图所示的T2—l图像，则图线为过原点的直线，直线的斜率k=4π2/g。以图上表格中的实验数据为例，在T2—l

图像中描点如图所示，观察点的分布不难发现（0.5，2.19）这个点与其他点的趋势有较大偏差。因此利用其他五组数据点做出一条过原点的直线，k≈4.0，则g=9.85m/s2。图像法处理实验数据的本质是也是多次测量取平均。但与直接将所有数据取平均值相比，图像法不仅易于发现实验中的粗大误差，还将有限次测量取平