大学数学基础复习讲义及练习题

大学数学基础复习讲义及练习题前言大学数学基础，通常涵盖高等数学（微积分）与线性代数两门核心课程，是理工科各专业后续学习的重要基石，其思想方法与逻辑训练亦对个人思维能力的培养大有裨益。本讲义旨在为同学们提供一份系统的复习纲要与配套练习，帮助大家梳理核心知识点，巩固基本技能，查漏补缺，为后续课程学习或深造打下坚实基础。复习时，建议结合教材与课堂笔记，注重概念的理解与方法的应用，而非简单记忆。第一部分：高等数学（微积分）复习纲要一、函数、极限与连续性（一）函数1.函数的概念：定义域、值域、对应法则。理解函数的两要素。2.函数的特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性。掌握这些特性的几何意义及判定方法。3.基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的定义域、值域、图像及主要性质。4.复合函数与初等函数：理解复合函数的概念，会分解复合函数；了解初等函数的构成。（二）极限1.数列极限的定义：（ε-N语言），理解其几何意义。2.函数极限的定义：（ε-δ语言，ε-X语言），包括自变量趋于有限值和无穷大时函数的极限，理解其几何意义。3.极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。4.极限的运算法则：四则运算法则、复合函数的极限运算法则。5.极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。会用两个重要极限：lim_{x→0}sinx/x=1，lim_{x→∞}(1+1/x)^x=e(或其变形形式)。6.无穷小量与无穷大量：定义、性质、阶的比较（高阶、低阶、同阶、等价无穷小）。会用等价无穷小替换简化极限计算。（三）连续性1.函数连续性的定义：在一点连续的定义（三种等价表述），左连续与右连续。2.间断点及其分类：第一类间断点（可去、跳跃），第二类间断点（无穷、振荡）。3.连续函数的运算与初等函数的连续性：连续函数的和差积商仍连续，复合函数连续，反函数连续；一切初等函数在其定义区间内连续。4.闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理（零点定理是其推论）。二、一元函数微分学（一）导数与微分1.导数的定义：函数在一点处导数的定义，左导数与右导数。导数的几何意义（切线斜率）与物理意义（瞬时变化率）。可导与连续的关系（可导必连续，连续不一定可导）。2.基本求导公式与求导法则：常数、基本初等函数的导数公式；四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）、隐函数求导法、参数方程确定的函数的求导法、对数求导法。3.高阶导数：二阶及二阶以上导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4.微分的定义：微分的几何意义，可微与可导的关系。5.微分的运算法则：基本初等函数的微分公式，微分的四则运算法则，一阶微分形式不变性。（二）微分中值定理与导数的应用1.微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（了解其条件和结论，几何意义，会简单应用）。2.洛必达法则：用于求解“0/0”型及“∞/∞”型未定式极限，会将其他类型未定式转化为上述两种类型。3.函数的单调性与曲线的凹凸性：利用导数判断函数的单调区间；利用二阶导数判断曲线的凹凸区间及拐点。4.函数的极值与最值：极值的定义，极值存在的必要条件，第一充分条件与第二充分条件。会求函数的最值（注意实际应用问题）。5.函数图形的描绘：利用导数研究函数的单调性、凹凸性、极值、拐点，结合渐近线（水平、铅直）描绘函数图形。三、一元函数积分学（一）不定积分1.原函数与不定积分的概念：原函数的定义及存在定理，不定积分的定义、几何意义。2.不定积分的性质：与导数（微分）的互逆关系，线性性质。3.基本积分公式：与基本求导公式相对应。4.换元积分法：第一类换元法（凑微分法），第二类换元法（如三角代换、根式代换、倒代换等）。5.分部积分法：掌握“反对幂指三”的优先顺序选择。6.有理函数的积分：（简单）有理函数的积分方法（部分分式法），可化为有理函数的积分（如三角函数有理式、简单无理函数的积分）。（二）定积分1.定积分的定义：（黎曼和极限），理解其几何意义（曲边梯形面积的代数和）。2.定积分的性质：线性性、区间可加性、比较定理、估值定理、中值定理。3.微积分基本公式：牛顿-莱布尼茨公式，揭示定积分与不定积分的联系。4.定积分的计算方法：换元积分法、分部积分法，注意与不定积分计算的异同。5.反常积分：无穷限反常积分、无界函数反常积分（瑕积分）的定义与计算，会判断其敛散性。（三）定积分的应用1.几何应用：求平面图形的面积（直角坐标、极坐标），求旋转体的体积（圆盘法、壳层法），平行截面面积已知的立体体积。2.物理应用：（简单）变力沿直线做功，水压力，引力（了解基本思想）。四、多元函数微积分初步（简要回顾）（一）多元函数的基本概念1.多元函数的定义：定义域（平面区域）、值域。2.二元函数的极限与连续性：了解二重极限的定义，掌握二元连续函数的性质。3.偏导数与全微分：一阶偏导数的定义与计算，高阶偏导数（混合偏导数连续性）。全微分的定义，可微的必要条件与充分条件。4.多元复合函数的求导法则：链式法则。隐函数求导公式。（二）二重积分1.二重积分的定义与性质：类似于定积分。2.二重积分的计算：在直角坐标系下（X型、Y型区域）与极坐标系下化为累次积分。3.二重积分的应用：求曲顶柱体体积、平面薄片质量（了解）。第二部分：线性代数复习纲要一、行列式1.n阶行列式的定义：（逆序数定义），理解二阶、三阶行列式的对角线法则。2.行列式的性质：转置不变性，换行（列）变号，数乘，分行（列）可加性，倍加法则等。3.行列式按行（列）展开定理：余子式与代数余子式，展开公式。4.行列式的计算：利用性质化简，化为上（下）三角行列式；按行（列）展开降阶；范德蒙德行列式。5.克莱姆法则：用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组，注意其条件与结论。二、矩阵1.矩阵的概念：矩阵的定义，几种特殊矩阵（零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵）。2.矩阵的运算：*加法：定义与运算律。*数与矩阵相乘：定义与运算律。*矩阵与矩阵相乘：定义（条件）与运算律（注意不满足交换律和消去律）。*矩阵的转置：定义与性质。3.逆矩阵：*定义：AB=BA=E，则A可逆，B为A的逆矩阵。*性质：可逆矩阵的逆唯一；(A^{-1})^{-1}=A；(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}；(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}；(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T。*判定：n阶矩阵A可逆⇨|A|≠0(非奇异矩阵)⇨r(A)=n(满秩矩阵)。*求法：伴随矩阵法(A^{-1}=(1/|A|)A^*)，初等行变换法(A|E)→(E|A^{-1})。4.矩阵的初等变换与初等矩阵：*初等变换：三种行（列）初等变换。*初等矩阵：单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵。了解初等矩阵与初等变换的关系。*矩阵等价：矩阵A经有限次初等变换化为矩阵B，则A与B等价。5.矩阵的秩：*定义：矩阵的最高阶非零子式的阶数，或行（列）向量组的秩。*性质：初等变换不改变矩阵的秩；r(A^T)=r(A)；r(AB)≤min{r(A),r(B)}；若A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。*求法：用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为秩。三、线性方程组1.线性方程组的表示形式：一般形式，矩阵形式(Ax=b)，向量形式。2.高斯消元法：用初等行变换化增广矩阵为行阶梯形矩阵，判别解的情况。3.线性方程组解的判定定理：*非齐次线性方程组Ax=b有解⇨r(A)=r(A|b)。*当r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)时，有唯一解。*当r(A)=r(A|b)=r<n时，有无穷多解。*齐次线性方程组Ax=0总有零解。*有非零解⇨r(A)<n。*只有零解⇨r(A)=n。4.齐次线性方程组Ax=0的解空间：基础解系的概念，解空间的维数(n-r(A))。会求基础解系，并写出通解。5.非齐次线性方程组Ax=b的解的结构：通解=对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解。四、向量组的线性相关性1.n维向量的概念：向量的定义，向量的线性运算。2.向量组的线性组合与线性表示：定义，判断一个向量能否由一个向量组线性表示。3.向量组的线性相关性：定义（存在不全为零的数），线性相关与线性无关的判定。4.向量组的秩：最大线性无关向量组（极大无关组）的概念，向量组秩的定义。会求向量组的极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示。5.向量组的等价：定义，等价向量组秩相等。6.线性方程组的向量形式：向量组线性相关性与齐次线性方程组解的关系，线性表示与非齐次线性方程组解的关系。五、矩阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义：Aξ=λξ(ξ≠0)。2.特征多项式与特征方程：|A-λE|=0。3.特征值与特征向量的性质：*特征值的和等于矩阵的迹(trA)，特征值的积等于矩阵的行列式|A|。*属于不同特征值的特征向量线性无关。4.相似矩阵：定义(P^{-1}AP=B)，相似矩阵的性质（有相同的特征多项式、特征值、秩、行列式、迹）。5.矩阵的对角化：n阶矩阵A可对角化⇨A有n个线性无关的特征向量。实对称矩阵一定可对角化，且不同特征值的特征向量正交。六、二次型（简要回顾）1.二次型的定义：二次齐次多项式，矩阵表示(f=x^TAx)，A为对称矩阵。2.二次型的标准形：通过正交变换或配方法化二次型为标准形。3.惯性定理：二次型的标准形中，正、负惯性指数是唯一确定的。4.正定二次型：定义（对任意x≠0，f(x)>0），判定（顺序主子式全大于零，特征值全大于零）。第三部分：练习题高等数学练习题一、极限与连续1.求极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2。2.求极限lim_{x→1}(x^m-1)/(x^n-1)，其中m,n为正整数。3.设f(x)={sinx/x,x≠0;a,x=0}，问a为何值时，f(x)在x=0处连续？4.讨论函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的间断点类型。二、导数与微分1.设y=x^sinx(x>0)，求dy/dx。2.设由方程x^2+y^2=e^{arctan(y/x)}确定隐函数y=y(x)，求dy/dx。3.求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在区间[-2,4]上的最大值与最小值。4.证明：当x>0时，1+xln(x+√(1+x^2))>√(1+x^2)。三、积分1.计算不定积分∫xcos(2x)dx。2.计算定积分∫₀^πxsinxdx。3.计算反常积分∫₁^+∞1/x(1+x^2)dx。4.求由曲线y=x^2与y=√x所围成的平面图形的面积。四、多元函数微分1.设z=f(x+y,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂²z/(∂x∂y)。2.求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy的极值。线性代数练习题一、行列式与矩阵1.计算三阶行列式|123;456;789|的值。2.设A=[[1,2],[3,4]],B=[[0,1],[1,0]]，求AB及BA。3.设A=[[1,0,1],[2,1,0],[-3,2,-