中职数学知识点总结与应用题集

中职数学知识点总结与应用题集数学，作为一门基础学科，在中职教育阶段扮演着至关重要的角色。它不仅是后续专业课程学习的工具，更是培养逻辑思维、分析问题和解决问题能力的重要途径。本集旨在对中职数学的核心知识点进行梳理与回顾，并辅以典型应用题示例，希望能为同学们巩固基础、提升应用能力提供有益的参考。一、集合集合是现代数学的基本概念，是研究对象的总体。核心知识点1.集合的概念：具有某种共同属性的确定对象的全体叫做集合，简称集。组成集合的对象叫做这个集合的元素。2.集合与元素的关系：属于（∈）或不属于（∉）。3.集合的表示方法：*列举法：将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{}括起来。例如：{1,2,3}。*描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合。例如：{x|x是大于0且小于5的整数}。4.集合的基本关系：*子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。*真子集：如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A⊂B。*相等：如果A⊆B且B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A=B。5.集合的基本运算：*交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。*并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。*补集：设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作C_UA，即C_UA={x|x∈U且x∉A}。应用题示例例1：某班有学生若干人，参加数学兴趣小组的有25人，参加物理兴趣小组的有20人，既参加数学又参加物理兴趣小组的有5人。问参加数学或物理兴趣小组的共有多少人？分析：此问题涉及集合的并集运算。设A为参加数学兴趣小组的学生集合，B为参加物理兴趣小组的学生集合。则A∩B为既参加数学又参加物理兴趣小组的学生集合。解答：根据并集元素个数公式|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，可得|A∪B|=25+20-5=40（人）。答：参加数学或物理兴趣小组的共有40人。二、不等式不等式是表示数量大小关系的工具，在解决实际问题中有着广泛应用。核心知识点1.不等式的基本性质：（对称性、传递性、加减乘除运算的不等关系，注意乘除负数时方向改变）。2.一元一次不等式（组）及其解法：*解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意系数正负对不等号方向的影响）。*一元一次不等式组的解集：各个不等式解集的公共部分。3.区间的概念：用数轴上的一段来表示数的取值范围。如：(a,b)，[a,b]，(a,b]，[a,b)，(-∞,a)，(b,+∞)等。4.含绝对值的不等式：|x|<a(a>0)的解集为(-a,a)；|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞)。应用题示例例2：某工厂计划生产一批零件，已知甲车间单独完成需要的天数是乙车间单独完成需要天数的1.5倍。如果两车间合作，只需12天就能完成。问甲、乙两车间单独完成各需要多少天？若要求甲车间单独完成的天数不超过25天，则乙车间至少需要多少天才能单独完成？分析：第一问可通过设未知数，根据工作效率之和列方程求解。第二问则是在第一问关系基础上，利用不等式求解。解答：设乙车间单独完成需要x天，则甲车间单独完成需要1.5x天。根据题意，得：1/(1.5x)+1/x=1/12解得x=20。经检验，x=20是原方程的根。则甲车间单独完成需要1.5x=30天。答：甲车间单独完成需要30天，乙车间单独完成需要20天。第二问：设乙车间单独完成需要y天，则甲车间单独完成需要1.5y天。依题意，1.5y≤25，解得y≤50/3≈16.67。但天数应为正整数，且从第一问可知，原乙单独需20天，此处似乎条件与第一问矛盾，可能题目应调整为“若要求乙车间单独完成的天数不超过25天，则甲车间至少需要多少天？”或原题条件为甲的天数是乙的倍数不同。此处按原题“甲车间单独完成的天数不超过25天”，则1.5y≤25→y≤50/3≈16.67，即乙车间至少需要17天（向上取整）才能单独完成（天数越少，乙效率越高，甲所需天数越少）。答：乙车间至少需要17天才能单独完成。（注：实际解题时需仔细审题，确保条件合理）三、函数函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，是中职数学的核心内容之一。核心知识点1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。2.函数的表示方法：解析法、列表法、图像法。3.函数的性质：*单调性：在定义域的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大（增函数）或减小（减函数）。*奇偶性：对于定义域内任意x，若f(-x)=f(x)，则为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数。4.一次函数：y=kx+b(k≠0)。图像是一条直线。当k>0时，函数单调递增；k<0时，单调递减。b是直线与y轴交点的纵坐标。5.二次函数：y=ax²+bx+c(a≠0)。图像是抛物线。对称轴x=-b/(2a)，顶点坐标(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值。6.反比例函数：y=k/x(k≠0)。定义域为x≠0。图像是双曲线。当k>0时，图像在一、三象限；k<0时，在二、四象限。应用题示例例3：某商店销售一种成本为每件20元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-10x+500。设每天的销售利润为w元。（1）求w与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该商店每天想要获得不低于2000元的利润，那么销售单价x应该控制在什么范围内？分析：利润=（售价-成本）×销售量。据此可列出w与x的函数关系式，此为二次函数，利用二次函数的性质可求最值及满足特定利润时的售价范围。解答：（1）w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x²+700x-____。（2）w=-10x²+700x-____=-10(x-35)²+2250。因为a=-10<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值。当x=35时，w_max=2250。答：销售单价定为35元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。（3）令w=2000，即-10(x-35)²+2250=2000解得x₁=30，x₂=40。因为抛物线开口向下，所以当30≤x≤40时，w≥2000。答：销售单价应控制在30元至40元之间。四、数列数列是按照一定顺序排列的一列数，在实际生活和经济问题中有着广泛应用。核心知识点1.数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。2.等差数列：*定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。*通项公式：aₙ=a₁+(n-1)d。*前n项和公式：Sₙ=n(a₁+aₙ)/2或Sₙ=na₁+n(n-1)d/2。3.等比数列：*定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。*通项公式：aₙ=a₁qⁿ⁻¹。*前n项和公式：当q≠1时，Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)；当q=1时，Sₙ=na₁。应用题示例例4：某工厂今年的产值为100万元，计划在未来5年内每年比上一年产值增长相同的百分数，使5年后的产值达到161万元。求每年的平均增长率（精确到0.1%）。若该工厂希望第5年的产值不低于200万元，则每年的平均增长率至少需要达到多少（精确到0.1%）？分析：产值逐年增长相同的百分数，属于等比数列模型。第n年的产值即为等比数列的第n项。解答：设每年的平均增长率为x。根据题意，得100(1+x)^5=161即(1+x)^5=1.61两边取对数，5ln(1+x)=ln1.61→ln(1+x)=ln1.61/5≈(0.476)/5≈0.09521+x≈e^0.0952≈1.100→x≈0.100，即10.0%。或用计算器开方：1+x=1.61^(1/5)≈1.100。答：每年的平均增长率约为10.0%。第二问：100(1+x)^5≥200→(1+x)^5≥2→1+x≥2^(1/5)≈1.1487→x≥0.1487≈14.9%。答：每年的平均增长率至少需要达到14.9%。五、三角函数三角函数在解决三角形的度量问题以及周期性现象中具有重要作用。核心知识点1.角的概念推广：正角、负角、零角；象限角；终边相同的角。2.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。角度与弧度的换算：180°=πrad。3.任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（除原点外）的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r>0)，那么sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x(x≠0)。4.同角三角函数基本关系：sin²α+cos²α=1；tanα=sinα/cosα。5.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）。6.三角函数的图像与性质：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。7.解三角形：*正弦定理：在△ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为△ABC外接圆半径)。*余弦定理：在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC。*三角形面积公式：S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC。应用题示例例5：为了测量一座山的高度，某测量队在山脚下的A点测得山顶B的仰角为30°。然后沿着水平方向前进了1000米到达C点，在C点测得山顶B的仰角为45°。求这座山的高度（精确到1米，√3≈1.732）。分析：根据题意画出示意图，构造两个直角三角形，利用三角函数关系和已知的水平距离列方程求解。解答：设山高BD=h米。在Rt△ABD中，∠BAD=30°，所以AD=BD/tan30°=h√3。在Rt△CBD中，∠BCD=45°，所以CD=BD/tan45°=h。由题意知，AC=AD-CD=h√3-h=1000即h(√3-1)=1000h=1000/(√3-1)=1000(√3+1)/[(√3-1)(√3+1)]=1000(√3+1)/2=500(√3+1)≈500(1.732+1)=500×2.732=1366（米）。答：这座山的高度约为1366米。六、立体几何初步立体几何主要研究空间几何体的形状、大小和位置关系。核心知识点1.常见几何体：棱柱、棱锥、圆柱、