相似三角形性质的练习题

相似三角形性质的练习题相似三角形，作为平面几何中的核心概念之一，其性质的灵活运用贯穿于诸多几何问题的解决过程中。掌握相似三角形的性质，不仅能够帮助我们快速找到解题思路，更能培养我们的逻辑推理与空间想象能力。本文将通过一系列具有代表性的练习题，带领大家重温相似三角形的关键性质，并探讨其在不同情境下的应用。一、核心性质回顾在着手练习之前，让我们简要回顾相似三角形的几个核心性质，这是解决所有相关问题的基础：1.对应角相等：若两个三角形相似，则它们的对应角大小相等。2.对应边成比例：相似三角形的对应边长度的比值相等，这个比值称为相似比（或相似系数）。3.周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。4.面积比等于相似比的平方：两个相似三角形的面积之比等于它们相似比的平方。5.对应线段成比例：包括对应高、对应中线、对应角平分线等，它们的长度之比都等于相似比。这些性质并非孤立存在，解题时往往需要综合运用其中几条。二、练习题与解析例题一：基础性质应用题目：已知△ABC与△DEF相似，相似比为k。若△ABC的周长为C₁，面积为S₁；△DEF的周长为C₂，面积为S₂。(1)若k=2/3，C₁=18，求C₂。(2)若S₁:S₂=9:16，求k以及C₁:C₂。解析与解答：(1)根据相似三角形周长比等于相似比的性质，我们有：C₁/C₂=k已知C₁=18，k=2/3，代入上式可得：18/C₂=2/3解得C₂=18*(3/2)=27。(2)根据相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，有：S₁/S₂=k²已知S₁:S₂=9:16，即S₁/S₂=9/16，因此：k²=9/16解得k=3/4（相似比为正数，故取正值）。而周长比等于相似比，所以C₁:C₂=k=3:4。点评：本题直接考察了相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系，是对基础性质的直接应用。解题的关键在于准确记忆并区分这些比例关系，尤其是面积比是相似比的“平方”这一点容易混淆。例题二：性质综合应用与比例计算题目：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。若AD:DB=2:3，BC=10，S△ADE=4，求DE的长度以及S△ABC。解析与解答：首先，由于DE∥BC，根据“平行线分线段成比例定理”的推论（或相似三角形的判定定理），可以得出△ADE∽△ABC。接下来，确定相似比。AD:DB=2:3，意味着AD占AB的2份，DB占3份，因此AB总共是2+3=5份。所以，相似比k=AD/AB=2/5。(1)求DE的长度：因为相似三角形对应边成比例，所以DE/BC=k。已知BC=10，k=2/5，故DE=BC*k=10*(2/5)=4。(2)求S△ABC：因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以S△ADE/S△ABC=k²。已知S△ADE=4，k²=(2/5)²=4/25，故4/S△ABC=4/25。解得S△ABC=25。点评：本题是“一线平行”型相似三角形的典型代表，也是相似三角形性质应用的常见题型。关键在于准确判断出相似关系，并正确计算出相似比。这里的相似比是通过线段的比例关系间接给出的，需要进行简单的比例换算。例题三：结合角平分线与面积的综合题题目：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:4。AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的对应角平分线，且A'D'的长度为8。(1)求AD的长度。(2)若△ABC的一条中线长为m，求△A'B'C'中对应中线的长度。(3)若△A'B'C'的面积为64，求△ABC的面积。解析与解答：(1)相似三角形对应角平分线的比等于相似比。设相似比k=AB/A'B'=3/4。则AD/A'D'=k，已知A'D'=8，所以AD=A'D'*k=8*(3/4)=6。(2)同理，相似三角形对应中线的比也等于相似比。设△A'B'C'中对应中线的长度为n。则m/n=k=3/4，解得n=m*(4/3)=(4/3)m。(3)相似三角形面积比等于相似比的平方。S△ABC/S△A'B'C'=k²=(3/4)²=9/16。已知S△A'B'C'=64，故S△ABC=64*(9/16)=36。点评：本题考察了相似三角形中“对应线段成比例”这一性质的拓展应用，具体到了角平分线和中线。需要明确的是，不仅仅是对应边，所有对应线段（高、中线、角平分线等）的比都等于相似比。三、练习与巩固通过以上例题的分析，相信大家对相似三角形性质的应用有了更具体的认识。为了巩固所学，请尝试解决以下问题：1.思考题：两个相似三角形的对应高之比为5:7，其中较小三角形的周长为35，面积为20，求另一个三角形的周长和面积。2.拓展题：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。请证明：△ABC∽△ACD∽△CBD，并由此推出CD²=AD·BD（射影定理的一部分）。四、总结相似三角形的性质是平面几何中处理比例关系和面积问题的强大工具。其核心在于“对应”二字——对应角相等，对应边及对应线段成比例，面积比为相似比的平方。在解题时，首先要准确识别或证