九年级数学圆的性质综合练习题

九年级数学圆的性质综合练习题圆，作为平面几何中的基本图形之一，其性质丰富且相互关联，一直是初中数学学习的重点与难点。掌握圆的性质，不仅能够提升我们的逻辑推理能力和空间想象能力，更能为后续更复杂的几何学习奠定坚实基础。本次综合练习，我们将通过几道典型题目，深入探究圆的对称性、垂径定理、圆心角与圆周角的关系、切线的判定与性质等核心知识点的综合应用。一、核心知识梳理在开始练习之前，我们先来简要回顾一下圆的核心性质，这将是我们解决问题的基石：1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，也是中心对称图形。其对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心。2.垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。反之，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。3.圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4.圆周角定理及其推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。同弧或等弧所对的圆周角相等。半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。5.切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。6.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。二、综合练习题题1：基础综合应用如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、AD。已知AB=10cm，CD=8cm，求：(1)OE的长；(2)∠ADC的度数（结果保留整数，参考数据：cos37°≈0.8）。思路点拨：(1)涉及弦长、直径、弦心距，垂径定理是首选。连接OC后，OC为半径，OE为弦心距，CE为弦CD的一半，在Rt△OEC中运用勾股定理即可求出OE。(2)要求∠ADC的度数，观察图形，∠ADC是圆周角，它所对的弧是AC。我们可以先求出∠AOC的度数，因为∠AOC是弧AC所对的圆心角，再利用圆周角定理求出∠ADC。或者，也可以在Rt△AED中，通过求出AD的长度（或AE、DE的长度关系）来计算∠ADC的三角函数值，进而得到角度。题2：切线的判定与性质综合已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：(1)BD=CD；(2)DE是⊙O的切线。思路点拨：(1)要证BD=CD，AB是直径，易联想到直径所对的圆周角是直角。连接AD，则∠ADB=90°，即AD⊥BC。又因为AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可证得BD=CD。(2)要证DE是⊙O的切线，已知D在⊙O上（因为D在BC上，且AB是直径，AD⊥BC，所以D点在圆上），所以只需证明OD⊥DE即可。连接OD，因为O是AB中点，D是BC中点（由(1)知），所以OD是△ABC的中位线，从而OD∥AC。又因为DE⊥AC，所以OD⊥DE，得证。题3：动态几何与圆的综合如图，已知⊙O的半径为5，点P是⊙O外一点，OP=8。(1)求点P到⊙O上的点的最短距离和最长距离。(2)若过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B，求PA的长。(3)在(2)的条件下，求弦AB的长。思路点拨：(1)点P到圆上点的最短距离和最长距离，均在经过点P和圆心O的直线上。最短距离为OP减去半径，最长距离为OP加上半径。(2)切线PA垂直于半径OA，所以△OAP是直角三角形。已知OA=5，OP=8，利用勾股定理可直接求出PA的长。(3)要求弦AB的长，可以考虑在Rt△OAP中，利用面积法求出斜边上的高（即弦AB的一半到圆心O的距离），或者先求出∠AOP的度数，再在等腰三角形OAB中利用三角函数求出AB的一半。也可以连接AB、OP，它们交于点C，易证OP垂直平分AB，然后在Rt△OAC中，已知OA和OC（可通过相似三角形或三角函数求出），再用勾股定理求AC，进而得到AB。题4：圆内接四边形与圆周角综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，∠BAC=30°，∠CBD=45°，AD=CD。(1)求∠CAD的度数；(2)求∠BCD的度数。思路点拨：(1)因为AD=CD，所以△ADC是等腰三角形，∠CAD=∠ACD。又因为∠ACD和∠ABD是同弧AD所对的圆周角，所以∠ACD=∠ABD。而∠ABD=∠ABC-∠CBD，∠ABC与∠ADC互补（圆内接四边形对角互补），∠ADC=180°-2∠CAD。这里可能需要设未知数，通过角之间的关系建立方程求解。或者，考虑∠BAC=30°，即弧BC的度数为60°（圆心角），∠CBD=45°，即弧CD的度数为90°（圆心角）。因为AD=CD，所以弧AD=弧CD=90°，从而弧AB的度数可求，进而∠CAD所对的弧CD已知，可求∠CAD。(2)∠BCD是四边形ABCD的一个内角，它等于∠ACB+∠ACD。∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠ACD是弧AD所对的圆周角（或由(1)已求出∠CAD=∠ACD）。三、思路点拨与解答示例（以题2为例）题2证明：(1)连接AD。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。∴AD⊥BC。又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。∴BD=CD（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。(2)连接OD。∵点O是AB的中点，点D是BC的中点（由(1)知BD=CD），∴OD是△ABC的中位线。∴OD∥AC。∵DE⊥AC，∴DE⊥OD（如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它也垂直于另一条）。∵点D在⊙O上，OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。四、练习总结与提示解决与圆相关的综合题，关键在于：1.熟练掌握并灵活运用圆的各种性质，如垂径定理、圆心角与圆周角的关系、切线的性质与判定等。2.善于添加辅助线：如遇直径，常构造直径所对的圆周角；遇切线，常连接圆心和切点；遇弦，常作弦心距；遇中点，常联想中位线等。3.注意知识的综合运用：圆常常与三角形（特别是等腰三角形、直角三角形）、四边形等知识结合，要善于将圆的问题转化为我们熟悉的三角形或四边形问题来解决。4.认真审题，仔细观察图形，从图形中获取有效信息，明确已知条件和求证目标，逐步建立已知