新人教版八年级下册数学 勾股定理教案

勾股定理教案一、课题名称勾股定理二、授课年级八年级下册三、课时安排1课时四、教材分析勾股定理是初中几何的重要组成部分，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。本节课的内容承接了前面所学的三角形相关知识，特别是直角三角形的性质，同时也为后续学习二次根式、解直角三角形以及圆等知识奠定了坚实的基础。勾股定理不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、工程等实际生活中也随处可见其身影。教材通过具体情境引入，引导学生经历观察、猜想、验证和应用的过程，体现了从特殊到一般的认知规律。五、学情分析八年级的学生已经具备了一定的观察、分析和归纳能力，对平面几何图形有了初步的认识，特别是对直角三角形的概念和基本性质已经掌握。他们正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，对新鲜事物充满好奇心，乐于动手操作和参与探究活动。但对于几何定理的严格证明和抽象概括，部分学生可能仍感到困难，需要教师加以引导和启发。六、教学目标（一）知识与技能1.理解并掌握勾股定理的内容，能准确表述直角三角形三边之间的数量关系。2.初步学会运用勾股定理进行简单的计算和解决实际问题。3.了解勾股定理的探究和证明过程，感受数形结合的思想。（二）过程与方法1.通过观察、测量、猜想、验证等数学活动，体验勾股定理的探索过程。2.在探究活动中，发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。3.通过小组合作与交流，培养学生的团队协作精神和语言表达能力。（三）情感态度与价值观1.通过了解勾股定理的悠久历史，感受数学文化的魅力，激发学习数学的兴趣和自豪感。2.在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。3.培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。七、教学重难点（一）教学重点勾股定理的探索过程及其应用。（二）教学难点勾股定理的证明思路的形成和理解。八、教学方法与手段（一）教学方法引导发现法、合作探究法、讲练结合法。（二）教学手段多媒体课件、直尺、直角三角板、若干个全等的直角三角形纸片（可提前让学生准备）。九、教学过程（一）创设情境，引入新课（教师活动）同学们，我们已经学习了三角形的一些基本性质，特别是直角三角形，它有一个角是直角，非常特殊。大家有没有想过，直角三角形的三条边之间是否存在着某种特殊的数量关系呢？（出示课件）展示几幅含有直角三角形的图片，如古代建筑的房梁、楼梯的截面、直角三角尺等。提问：这些图片中都蕴含了哪种特殊的三角形？（学生活动）观察图片，回答：直角三角形。（教师活动）很好。今天，我们就来深入研究直角三角形三条边之间的这种“神秘”关系，这将是一个非常重要的发现，它就是我们今天要学习的——勾股定理。（板书课题：勾股定理）（二）探索新知，形成猜想1.特殊入手，初步感知（教师活动）我们先从一个特殊的直角三角形入手。（出示课件：等腰直角三角形）如图，这是一个等腰直角三角形，两直角边相等。我们设它的两条直角边的长度都为“a”，斜边长度为“c”。请大家在练习本上画一个这样的等腰直角三角形，使直角边的长度为你喜欢的一个整数，比如可以是3厘米或者4厘米。然后分别测量出三条边的长度（精确到整数即可），再计算一下两条直角边的平方和，以及斜边的平方，看看它们之间有什么关系？（学生活动）动手画图、测量、计算。小组内交流测量结果和计算数据。（教师活动）巡视指导，关注学生测量的准确性。待大多数学生完成后，请几个小组代表汇报结果。（预设学生汇报）例如，直角边为3，斜边约为4（实际是√18≈4.24，此处引导学生理解测量存在误差，重点看平方和的关系），3²+3²=18，斜边平方约为18。（教师活动）引导学生发现：对于等腰直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即a²+a²=c²或2a²=c²。2.一般推广，提出猜想（教师活动）等腰直角三角形有这样的关系，那么对于一般的直角三角形，这个关系还成立吗？（出示课件：给出几个不同的直角三角形，非等腰，标注直角边为a、b，斜边为c，并给出各边长度，例如：3,4,5；5,12,13等）。请大家任选1-2个，计算a²+b²和c²的值，比较它们的大小。（学生活动）计算，比较，小组讨论。（教师活动）引导学生汇报计算结果。（预设学生汇报）3²+4²=9+16=25=5²；5²+12²=25+144=169=13²。（教师活动）通过对这些特殊直角三角形的研究，大家能否大胆地提出一个关于直角三角形三边关系的猜想？（学生活动）思考，小组讨论后尝试表述。（教师活动）引导学生共同总结猜想：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²。（板书：猜想：a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边）（三）验证猜想，证明定理1.介绍背景，激发兴趣（教师活动）同学们非常棒，通过自己的探索提出了这个猜想。实际上，这个猜想并不是我们今天才发现的。早在几千年前，古代劳动人民就已经发现了这个规律。在中国古代，将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，所以我们把这个定理叫做“勾股定理”。《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载。2.动手操作，体验证明（教师活动）那么，这个猜想对于任意直角三角形都成立吗？我们需要严格的证明。证明勾股定理的方法有很多种，今天我们来体验一种经典的证法，它与我国古代数学家赵爽的“弦图”有关。（出示课件或实物模型：展示赵爽弦图的动态拼接过程）（教师活动）请大家拿出课前准备好的四个全等的直角三角形纸片。我们来做一个拼图游戏：用这四个直角三角形拼一个大正方形，并且要求这个大正方形的中间也是一个小正方形。大家试试看，小组可以合作。（学生活动）动手拼图，小组合作。（教师活动）巡视指导，对拼出的小组给予肯定，并请一组同学到黑板前利用磁钉展示他们的拼图成果。（教师活动）（结合学生拼出的图形或课件演示）我们来看这个大正方形。它的边长可以怎么表示？（引导学生观察：大正方形的边长等于直角三角形的斜边c）那么，这个大正方形的面积可以表示为c²。（教师活动）我们换个角度思考，这个大正方形的面积还可以怎么表示？它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的。每个直角三角形的面积是多少？（1/2ab），四个就是4×(1/2ab)=2ab。中间小正方形的边长是多少呢？（引导学生观察：小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较短直角边，即b-a，假设b>a）那么小正方形的面积就是(b-a)²。所以，大正方形的面积也可以表示为：4个直角三角形面积+小正方形面积=2ab+(b-a)²。（教师活动）因为大正方形的面积是固定的，所以我们可以得到一个等式：c²=2ab+(b-a)²我们把等式右边展开：(b-a)²=b²-2ab+a²，所以2ab+b²-2ab+a²=a²+b²。因此，我们得到c²=a²+b²。（教师活动）这就证明了我们的猜想是正确的！对于任意一个直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的勾股定理。（板书：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。）（四）理解定理，初步应用1.定理辨析（教师活动）大家要注意，勾股定理的适用范围是什么？（学生回答：直角三角形）。必须是直角三角形，已知两条边，才能求第三条边。公式a²+b²=c²中，a、b一定是直角边，c一定是斜边。2.例题讲解（教师活动）我们来看几个简单的应用。（出示例题1）在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）已知a=3，b=4，求c；（2）已知a=5，c=13，求b。（教师活动）第（1）小题，已知直角边，求斜边，直接用公式。解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4∴根据勾股定理，得a²+b²=c²∴c²=3²+4²=9+16=25∴c=√25=5（边长为正数，负值舍去）（教师活动）第（2）小题，已知一条直角边和斜边，求另一条直角边。解：（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13∴根据勾股定理，得a²+b²=c²∴b²=c²-a²=13²-5²=169-25=144∴b=√144=12（教师活动）强调解题格式，已知、求、解、答要规范，计算要准确，开平方时取算术平方根。3.即时练习（教师活动）请大家完成下面两道练习题：1.在Rt△ABC中，∠B=90°，a=6，b=10，求c。（注意：这里∠B是直角，所以b是斜边）2.一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，求斜边。（学生活动）独立完成，同桌互查。教师巡视，对个别学生进行指导。（五）巩固练习，深化理解（教师活动）下面我们来做几道练习题，看看大家掌握得怎么样。1.判断题：（1）若直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5。（）（引导学生思考：3和4可能都是直角边，也可能4是斜边）（2）在△ABC中，a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。（）（此为勾股定理逆定理的雏形，可简单提及）2.填空题：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=7，c=25，则b=______。（2）一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为______。3.选择题：已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是（）A.13B.√119C.13或√119D.无法确定（学生活动）独立完成，然后小组交流答案和解题思路。教师公布答案，并对易错题进行讲解。（六）课堂小结，知识升华（教师活动）同学们，这节课我们一起探索并学习了勾股定理。回顾一下，我们是怎样一步步发现和证明勾股定理的？你有哪些收获？（学生活动）思考，回答。可以从知识、方法、情感等方面总结。（教师活动）总结：我们从特殊的等腰直角三角形入手，通过测量、计算发现了规律，然后大胆猜想一般直角三角形也有此规律，最后通过拼图（赵爽弦图）的方法进行了证明，得到了勾股定理。我们还初步学习了它的应用。勾股定理是数学史上的一座丰碑，它的发现和证明体现了古人的智慧。希望大家能深刻理解它，并能运用它解决更多的问题。（七）布置作业，延伸拓展1.必做题：教材练习题中相应题目（具体页码根据教材版本确定，此处略）。2.选做题：（1）搜集更多关于勾股定理的证明方法，与同学分享。（2）一个长方形门框的宽为1米，高为2米。现有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？为什么？（提示：考虑木板以不同方式通过，如竖放、横放、斜放，斜放时需计算门框对角线长度）3.思考题：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a²+b²=c²，那么这个三角形一定是直角三角形吗？（为下节课学习勾股定理的逆定理做铺垫）十、板书设计勾股定理1.猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（a²+b²=c²，a、b为直角边，c为斜边）2.证明（赵爽弦图）：大正方形面积=c²也=4×(1/2ab)+(b-a)²∴c²=2ab+(b²-2ab+a²)∴c²=a²+b²3.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。4.例题：例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）a=3，b=4，求c。解：c²=3²+4²=25→c=5（2）a=5，c=13，求b。解：b²=13²-5²=144→b=125.练习：（简要板书1-2道典型练习题的关键步骤）十一、教学反思（课后填写）1.学生对定理的探索过程参