湖南省2025-2026年高三上摸底考试数学试卷（含解析）

2025—2026高三省级联测考试数学试卷注意事项：改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,则其虚部为2.已知全集U=x|x是小于10的质数〉,A={3},则CuA的元素个数为3.若双曲两条渐近线的夹角为60°,则该双曲线的离心率e为A.√24.若点是函数f(x)=tan(x—φ)CC的图象的一个对称中心，则φ的最小正值为5.已知函数为奇函数，则f(2)的值为6.已知等比数列{an}的前n项和为S,若S₄=7,S₁₂=511,则S₈=A.56B.一56C.63D.—63省级联测考试|数学·摸底卷第1页(共4页)7.已知圆C:(x-2)²+(y—3)²=16,直线l:mx-y+2m+1=0(m≠0),若直线l与圆C交于ABCD8.已知a=log₂02s2026,b=ln³9,则a,b,c的大A.a>b>cB.a>c>b全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.10.已知正实数a,b满足a+b=1,则下面说法正确的是A的最小值为4B的最小值为2√3-311.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,O为坐标原点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B的是A.|AB|的取值范围为[4,十∞]C.若在x轴上存在一点M,使得∠AMO=∠BMO,则点M的坐标为(一1,0)D.当直线l的斜率时，四边形ADBE的面积为3612.已知函数f(x)=xlnx+2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为省级联测考试|数学·摸底卷第2页(共4页)15.(本小题满分13分)某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关系，随机抽取了500名学生的成绩数不优秀不优秀a16.(本小题满分15分)记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a₃=5,S₇=49.(2)若数列{cn)满足,记数列{cn}的前n项和为Tn,17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱AA₁⊥平面省级联测考试|数学·摸底卷第3页(共4页)19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=sinx,g省级联测考试|数学·摸底卷第4页(共4页)2025-2026高三省级联测考试数学参考答案命卷意图本套试卷考查高中数学的基础知识与技能，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力、强调知识的应用与创新，注重考查学生思维过程的表达能力和发散性思维，有利于区分不同层次学生的数学水平。本套试卷考查了高中数学的核心内容，对学生的数学能力进行了一次全方面的考查。例如，第7题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了学生直观想象和数学运算的核心素养；第-13题考查子解三角形的问题，考查子学生逻辑推理和数学运算的核心素养；第17题考查了有关立体几何的综合应用、涉及立体几何中的线面平行、面面角和线面角的问题、考查了学生直观想象、数学运算和数据分析的核心素养。本套试卷主要考查了学生的基本数学能力和基本数学技能的掌握情况。例如，第3题考查了双曲线的离心率问题；第5题考查了函数的奇偶性问题；第9题考查了平行、垂直和异面直线所成的角的问题；第12题考查了导数的几何意义问题。其解题方法都是高中阶段的基本方法。本套试卷中的第11,19题是整套试题的亮点题目。其中，第11题考查抛物线的综合问题，很好地考查了学生的数学建模和数据分析等核心素养；第19题采用了三角函数与导数综合的形式，考查学生的学习能力和分析能力，此题对学生的要求较高，能够很题号23456789ABCBDCDA一56或x=63,因为S,S₈-S,,S₁₂-S₈三者同号，所以S₈=63,故选C.中|CAI=|CB|=4,所以|CA所以点C到直线l的距离为2,则.计算可得m=0(舍)或,故选D..再次分析b=In9<Ine=1,所以,所以c<b,故选A.9.ABD解析：如图所示，因为直线A₁C₁在平面A₁B₁C₁D₁上，又平面A₁B₁C₁D₁//平面ABCD,所以A₁C₁//平面ABCD,故A正ABCD上的投影为AC,因为AC⊥BD,所∠A₁BC₁即为直线A₁B与直线AD₁所成的角或其补角，因为BC₁=A₁C₁=所以,故B不正确；由B选项分析知,所以的最小值为,当且仅当y₂(my₁-t+1)=0,即2my₁y₂+(1—t)(y₁+y₂)=0,计算可得l=-x=my+1(m≠0),则直线I′的方程为1.联立整理得y²—4my-4=0,可得,当直线l的斜率时，m=√2,所以S=36,故D正确.故选BC12.y=x+1解析：因为f(x)=xlnx+2,所以f(1)=2,f'(x)=lnx+1,计算可得f'(1)=1,所以切线方程为y—2=1(x-1),即y=x+1.可得,即a²+c²—49=ac,所以(a+c)²=49+3ac=12△ABC的周长为a+b+c=18. ,可构造等比数列，.因为,所以,P(B)=P(C,),故第6次闪烁时，黄灯亮的概率为在这250人中物理成绩不优秀的有160人，………(2分)所以……………(4分)(2)零假设为H₀:学生的数学成绩与物理成绩无关联。………………(10分)根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为学生的数学成绩与物理成绩有关联.此推断犯错误的概率不大于0.01.…………(13分)计算可得……………分析可得单调递减.所以可故实数m的取值范围为(一∞.1).………………(15分)因为点D是BC的中点，且AE=3EC.连接DM.FM.因为点F,M分别为A₁B₁.A₁C₁的中点，所以FM//B₁C₁且所以FM//BD.FM=BD,故四边形FMDB为平行四边形，所以BF//DM.…………………(3分)因为DMC平面B₁DE,所以BF//平面B₁DE.…………(4分)(2)以D为坐标原点，分别以DA,DC所在直线为x,y轴，过点D作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面ABC是边长为4的正三角形，点D是BC中点.所以AD=2√3.又AA₁=4√3.可得DB₁=(0.—2.4√3)设平面B₁DE的法向量为n=(x,y,z),分析可得平面B₁BD的一个法向量为DA=(2√3.0.0),……………设平面B₁DE与平面BB₁D夹角为θ,则所以平面B₁DE与平面BB₁D夹角的余弦值为…………………(10分)(3)分析可得A₁=(2√3.0.4√3),C(0,2,0).F(√3.-1.4√3),则(x-2√3.y.z-4√3)=λ(-2√3.2.-4√3),计算可得P(2√3(1一λ根据题意可故椭圆C的标准方程………(4分)(2)当直线l的斜率不存在时，直线l:x=2,易得x=2与椭圆C相切；……………(5分)当直线l的斜率存在时，设直线l:y-2=k(x—2),由△=0可得，16²k²(1—k)²—4(1+4k²)[16(1—k)²—4]=0.此时直线l的方程为3x-8y+10=0.(3)设切点分别为A.B,当直线PA斜率不存在或为0时，易得P(±2,±1),…………(11分)当直线PA斜率存在且不为0时，此时xo≠士2,yo≠±1,设直线PA方程为y-yo=k(x—x。),由于直线PA与椭圆C相切，所以△=0,化简得(y₀—kx。)²-1-4k²=0.由于直线PB斜率为所以,…………………(15分)化简得x?+y?=5.此时点P的轨迹方程为x?+y²=5(x。≠±2,yo≠士1).………(16分)因为.所以cosx>0,tanx+x单调递增。所以h(x)=x—ax²—sinx,则h'(x)=1-cosx—2ax.令m(x)=h'(x),则m'(x)=sinx—2a,所以h'(x)<h'(0)=0.h(x)单调递减，不符合题意；……………(6分)若则sinx-2a=0在区间(0,π)上有两个解，不妨设为x₁·x₂(x₁<x₂).列表如下：x一0十0一当0<x<x₁时，h'(x)<h要使h(x)在区间(0.π)上有且仅有1个极值点。则h'(x)在区间(x₁·π)上有且仅有一个变号零点，则需要h'(π)≥0,