2026年数学建模与应用问题试题

2026年数学建模与应用问题试题一、问题求解（共3题，每题20分）第1题（20分）：城市交通流量优化问题背景：某中等城市A的交通网络主要由5条主干道和3个重要交叉口组成，交通流量数据如下表所示（单位：辆/小时）。城市交通管理部门希望通过优化信号灯配时，减少平均等待时间，提高道路通行效率。|道路|与交叉口1连接|与交叉口2连接|与交叉口3连接|||--|--|--||道路1|300|200|0||道路2|150|250|100||道路3|0|180|220||道路4|120|0|300||道路5|80|100|200|问题：1.建立数学模型，描述交叉口信号灯配时与道路流量之间的关系。2.若每个交叉口的绿灯时间占总周期的比例相等，如何分配信号灯周期以最小化平均等待时间？3.若考虑不同时段（早晚高峰、平峰）的流量差异，如何动态调整信号灯配时？第2题（20分）：农产品供应链风险管理问题背景：某农业企业B位于河南省，主要种植小麦和玉米，其供应链涉及种植、仓储、运输和销售四个环节。近年来，极端天气（如干旱、洪涝）和市场需求波动对其经营造成较大影响。以下是供应链各环节的风险评估数据（风险指数为1-10，数值越高表示风险越大）：|环节|极端天气风险|市场需求风险|运输风险|||-|-|||种植环节|6|4|3||仓储环节|3|5|4||运输环节|5|3|7||销售环节|2|8|4|问题：1.建立风险综合评估模型，计算各环节的综合风险值。2.若企业希望通过保险和库存管理降低总风险，应优先关注哪些环节？给出具体建议。3.若考虑不同农产品的风险差异（小麦和玉米的风险权重分别为0.6和0.4），如何调整风险管理策略？第3题（20分）：新能源发电调度优化问题背景：某省C电网主要依赖风电和光伏发电，其日发电量数据如下表所示（单位：亿千瓦时）。电网调度部门需平衡发电量与用电需求，同时考虑新能源发电的不确定性。|时间|风电发电量|光伏发电量|用电需求|||-|-|--||0:00-6:00|0.8|0.2|1.0||6:00-12:00|1.5|2.0|1.8||12:00-18:00|1.2|1.8|2.0||18:00-24:00|0.7|0.5|1.5|问题：1.建立发电调度优化模型，确保各时段供需平衡，同时最小化新能源弃电量。2.若考虑火电作为备用电源，其成本为0.5元/千瓦时，如何确定火电的调度量？3.若引入需求侧响应机制（用户可弹性调整用电），如何设计激励机制以提高系统灵活性？二、数据分析（共2题，每题25分）第4题（25分）：电商用户行为分析问题背景：某电商平台D收集了2023年用户的浏览、加购和购买数据，部分数据如下表所示。该平台希望分析用户行为特征，优化商品推荐策略。|用户ID|浏览商品数|加购商品数|购买商品数|购买金额||--|-|-|-|--||001|50|10|5|800||002|30|5|3|500||...|...|...|...|...|问题：1.计算用户的活跃度指标（如浏览-加购转化率、加购-购买转化率），并绘制分布特征图。2.建立用户分群模型，识别不同行为特征的群体（如高价值用户、潜力用户）。3.若平台希望提升购买转化率，针对不同群体应采取哪些个性化推荐策略？第5题（25分）：城市空气质量预测问题背景：某环保部门E监测了2023年某城市PM2.5、PM10、SO2和NO2的日均值数据，部分数据如下表所示。该部门希望建立预测模型，提前预警重污染天气。|日期|PM2.5|PM10|SO2|NO2|||||--|--||2023-01-01|35|50|15|20||2023-01-02|40|55|18|22||...|...|...|...|...|问题：1.建立时间序列预测模型（如ARIMA），预测未来3天的PM2.5浓度。2.分析PM2.5与其他污染物的相关性，识别主要影响因素。3.若考虑气象因素（如风速、湿度），如何改进预测精度？三、建模设计（共1题，30分）第6题（30分）：智能物流路径优化问题背景：某物流公司F在上海市运营，其配送网络包含10个仓库和20个配送点。以下是部分路段的距离数据（单位：公里）：|路段|距离|||||仓库1→配送点1|5||仓库2→配送点2|8||...|...|问题：1.建立数学模型，描述多仓库、多配送点的配送路径优化问题。2.若考虑车辆容量限制（如每车最多配送100件货物），如何设计配送方案？3.若引入无人机配送（速度为普通车辆的2倍，但成本更高），如何混合使用车辆和无人机以降低总成本？答案与解析第1题答案：1.模型建立：-使用交通流理论，设交叉口i的绿灯时间为gi，总周期为T，则gi=αT。道路j到交叉口i的流量为qij，平均等待时间为tij。-目标函数：最小化所有道路的平均等待时间之和，即min∑(tij)。-约束条件：∑gi=T；tij=min(qij/αT,T-gi)。2.均匀分配方案：-设T=120秒，则gi=24秒。此时，各道路流量计算如下：-道路1：等待时间=min(300/24,96)=12秒。-道路2：等待时间=min(150/24,96)=6.25秒。-...（计算略）-平均等待时间≈25秒。3.动态调整方案：-高峰期（6:00-12:00）：T=180秒，gi=36秒。-平峰期（18:00-24:00）：T=90秒，gi=18秒。-通过调整周期比例优化等待时间。第2题答案：1.综合风险评估模型：-使用加权平均法，综合风险Ri=0.4Wi+0.4Mi+0.2Ti。-种植环节：R1=0.4×6+0.4×4+0.2×3=4.8。-仓储环节：R2=0.4×3+0.4×5+0.2×4=4.2。-...2.优先关注环节：-运输环节风险最高（R4=6.8），应优先购买货运险。-销售环节市场需求风险高，建议建立库存缓冲机制。3.差异化策略：-小麦：侧重极端天气保险（权重0.6）。-玉米：侧重市场风险（权重0.4），可考虑预售模式。第3题答案：1.发电调度模型：-目标函数：min∑(弃风电量+弃光伏电量)。-约束条件：∑(风电+光伏+火电)=用电需求；火电≤1.0亿千瓦时。-求解后，火电需在0:00-6:00补充0.5亿千瓦时。2.火电调度量：-计算缺口，如6:00-12:00缺口为0.7亿千瓦时，需启动火电0.7亿千瓦时。3.需求侧响应机制：-对高峰时段用户给予补贴，引导其错峰用电。第4题答案：1.活跃度指标：-转化率1≈20%，转化率2≈60%。-绘制柱状图展示各指标分布。2.用户分群模型：-使用K-means聚类，识别出：-群体A（高价值）：高购买金额、高转化率。-群体B（潜力）：高浏览、低购买。3.推荐策略：-群体A：精准推送新品。-群体B：加购提醒、优惠券激励。第5题答案：1.ARIMA模型：-拟合模型PM2.5=35+0.5t-0.2(t-1)+0.1(t-2)。-预测未来3天浓度分别为38、39、40。2.相关性分析：-PM2.5与PM10相关性最高（r=0.85），需重点监测扬尘。3.改进预测：-引入风速变量，模型加入滞后项，精度提升15%。