相似与圆综合经典题选

相似与圆综合经典题选在平面几何的璀璨星河中，相似三角形与圆是两颗尤为耀眼的明珠。它们的结合，往往能编织出变化多端、引人入胜的几何图景，既考查学生对基础知识的掌握程度，也考验其综合分析与逻辑推理能力。这类问题不仅在各类考试中频繁出现，更是培养几何直观与数学思维的绝佳载体。本文精选数道经典的相似与圆综合题，并辅以细致解析，旨在帮助读者洞悉其中的解题规律与思想方法。一、基础知识与常用思路在着手解决相似与圆的综合题之前，我们首先需要梳理一下相关的核心知识点与常用思考方向，这是我们破解难题的基石。1.圆的核心性质回顾：*垂径定理及其推论：涉及弦长、弦心距、半径之间的关系，常与勾股定理结合。*圆心角、圆周角定理及其推论：特别是同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，这些是构造等角、寻找相似条件的重要依据。*切线的性质与判定：切线垂直于过切点的半径；经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。切线常作为构造直角三角形或等腰三角形的关键元素。*切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。此定理常带来等线段、等角。*圆内接四边形的性质：对角互补，外角等于内对角。这为角的转化提供了途径。2.相似三角形的判定与性质：*判定定理：AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）。其中，AA定理在圆中应用最为广泛，因为圆的性质容易提供等角条件。*性质：对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。3.常用辅助线：*遇直径，常构造直径所对的圆周角（直角）。*遇切线，常连接圆心与切点（得垂直）。*遇弦，常作弦心距（垂径定理）。*遇等角或欲证相似，常观察图形，寻找公共角、对顶角或利用圆周角定理转化角。*遇比例线段，常考虑构造相似三角形或利用圆幂定理（相交弦定理、切割线定理、割线定理）。二、经典题选与解析（一）圆中相似的判定与基础应用例题1：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。思路引导：要证AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠CAB。已知CD是切线，自然想到连接OC，得OC⊥CD。又AD⊥CD，故AD∥OC，从而∠DAC=∠ACO。而OC=OA（半径），所以∠ACO=∠CAB。等量代换即可得证。这里虽未直接证相似，但利用了切线性质、平行线性质和等腰三角形性质，是圆中角相等证明的典型思路，也为后续相似证明奠定了角的基础。证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD（切线的性质）。又∵AD⊥CD，∴AD∥OC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。∴∠DAC=∠ACO（两直线平行，内错角相等）。∵OC=OA（⊙O的半径），∴∠ACO=∠CAB（等边对等角）。∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB。（二）利用相似求线段长度或比值例题2：如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，若PA=3，PB=4，PC=6，求PD的长。若AD=2，BC=4，求AD与BC的相似比。思路引导：两条弦相交于圆内一点，这是相交弦定理的典型图形。我们可以通过证明△PAD∽△PCB来得到比例线段，进而求解。∠A与∠C是同弧BD所对的圆周角，故∠A=∠C；同理∠D=∠B。因此，△PAD∽△PCB。解答：∵∠A与∠C都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠C。同理，∠D=∠B。∴△PAD∽△PCB（AA相似判定）。∴PA/PC=PD/PB=AD/CB。由PA/PC=PD/PB，得3/6=PD/4，解得PD=2。由AD/CB=PA/PC=3/6=1/2，故AD与BC的相似比为1:2。（注：相交弦定理的结论PA·PB=PC·PD可直接由相似三角形对应边成比例推出，本题也可直接应用该定理求PD。）（三）切线与相似的综合应用例题3：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接AB，过点A作⊙O的直径AC，连接PC交AB于点D。求证：PA²=PD·PC。思路引导：要证PA²=PD·PC，即证PD/PA=PA/PC，这提示我们考虑证明△PAD∽△PCA。已知PA是切线，AC是直径，连接BC或PO会是常用辅助线。连接PO，易知PO垂直平分AB（切线长定理）。连接BC，则∠ABC=90°（直径所对圆周角）。可尝试寻找∠PAD与∠PCA的关系。证明：连接PO、BC。∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，PO平分∠APB，且PO⊥AB（切线长定理及其推论）。∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（直径所对的圆周角是直角）。∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴∠PAC=90°（切线垂直于过切点的半径）。在Rt△PAC中，∠PAC=90°。∵PO⊥AB，∴∠PDA=90°=∠PAC。又∵∠APD=∠CPA（公共角），∴△PAD∽△PCA（AA相似判定）。∴PD/PA=PA/PC，∴PA²=PD·PC。（四）圆中动态问题与相似的探究例题4：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ。当t为何值时，以P、D、Q为顶点的三角形与△ABC相似？思路引导：这是一道动态几何与相似结合的问题。首先要明确动点的运动过程，用含t的代数式表示相关线段的长度。PD∥BC，则△APD∽△ACB，可表示出PD和AD。然后分析以P、D、Q为顶点的三角形与△ABC相似的可能性。由于∠C是直角，△ABC是直角三角形，所以△PDQ也必须是直角三角形才可能相似。需要分情况讨论哪个角是直角：∠DPQ=90°或∠DQP=90°或∠PDQ=90°（需判断是否可能）。解答：由题意得：AP=tcm，PC=(6-t)cm，CQ=2tcm，QB=(8-2t)cm。∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB（AA相似，∠A为公共角）。∴AP/AC=PD/CB=AD/AB。∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10cm。∴t/6=PD/8=AD/10，∴PD=(4/3)tcm，AD=(5/3)tcm。△ABC是直角三角形，要使△PDQ与△ABC相似，则△PDQ也必须是直角三角形。点D在AB上，PD∥BC，所以∠PDQ与∠B互补，不可能是直角。故只可能∠DPQ=90°或∠DQP=90°。情况一：当∠DPQ=90°时，∵PD∥BC，∠C=90°，∴∠PDC=90°。若∠DPQ=90°，则四边形PDCQ为矩形。∴PQ∥AC，DQ=PC。此时，△PDQ∽△BCA（对应关系需注意）。PQ=DC=AC-AD=6-(5/3)t。DQ=PC=6-t。由矩形性质，PD=CQ，即(4/3)t=2t，解得t=0。但0<t<4，故t=0舍去。此情况不成立。（另一种思考：∠DPQ=90°，PD⊥PQ，PD∥BC，则PQ⊥BC，而QC⊥BC，故点Q、P、C共线，但P在AC上，Q在BC上，只有t=0时P与A重合，Q与C重合，故舍去。）情况二：当∠DQP=90°时，此时∠DQP=∠C=90°。∵PD∥BC，∴∠PDQ=∠B。∴△DQP∽△ACB（AA相似）。∴DQ/AC=PQ/BC=PD/AB。或△DQP∽△BCA？需看对应角。∠DQP=90°=∠C，∠QDP=∠B，故对应关系是△DQP∽△ACB。DQ=AD-AQ？不，应从坐标或线段和差入手。过D作DE⊥BC于E，则DE=PC=6-t，EC=PD=(4/3)t，∴QE=EC-CQ=(4/3)t-2t=-(2/3)t。（长度不能为负，说明Q在E点左侧）QE=CQ-EC=2t-(4/3)t=(2/3)t。DQ²=DE²+QE²=(6-t)²+[(2/3)t]^2。PQ²=PC²+CQ²=(6-t)²+(2t)^2。PD=(4/3)t。由△DQP∽△ACB，得DQ/AC=PD/AB。即√[(6-t)²+((2/3)t)²]/6=((4/3)t)/10。两边平方并化简：[(6-t)²+(4t²)/9]/36=(16t²)/900[(36-12t+t²)+(4t²)/9]=36*(16t²)/900通分，分子分母同乘9：[324-108t+9t²+4t²]=(36*16t²*9)/90013t²-108t+324=(5184t²)/90013t²-108t+324=(576t²)/10013t²-108t+324=(144t²)/25两边同乘25：325t²-2700t+8100=144t²181t²-2700t+8100=0判别式△=2700²-4*181*8100。此数值较大，计算复杂，可能我的思路有误。换一种更简便的方法：∵∠DQP=90°，PD∥BC，∴∠PDQ+∠DQB=180°，而∠PDQ=∠B（PD∥BC，同位角），∴∠B+∠DQB=180°，∴DQ∥AC。∴四边形PDQC是直角梯形，且DQ∥AC。∴DQ=PC=6-t，PQ=DC。由DQ∥AC，得△BDQ∽△BAC（AA相似）。∴BQ/BC=DQ/AC，即(8-2t)/8=(6-t)/6。化简：6(8-2t)=8(6-t)48-12t=48-8t-12t+8t=0-4t=0t=0。again，t=0舍去。这说明此路也不通？反思：或许相似的对应关系考虑不周。点P、D、Q构成的三角形，顶点顺序不同，三角形形状不同。我们应考虑△PQD与△ACB相似。∠QPD是否可能等于∠C=90°？若∠QPD=90°，则在Rt△QPD中，PD∥BC，∠PDQ=∠B，所以△QPD∽△ACB（∠QPD=∠C=90°，∠PDQ=∠B）。则QP/AC=PD/CB。QP是Rt△QPC的斜边，QP=√[PC²+CQ²]=√[(6-t)²+(2t)²]。PD=(4/3)t。所以√[(6-t)²+(2t)²]/6=(4t/3)/8√[(6-t)²+4t²]/6=t/6两边同乘6：√[(6-t)²+4t²]=t两边平方：(6-t)²+4t²=t²36-12t+t²+4t²-t²=04t²-12t+36=0t²-3t+9=0判别式△=9-36=-27<0，无实根。若∠PQD=90°，则△PQD∽△ACB（∠PQD=∠C=90°，∠PDQ=∠B）。则PQ/AC=QD/CB。PQ=√[(6-t)²+(2t)²]，QD如何表示？过D作DF⊥BC于F，则DF=PC=6-t，FC=PD=4t/3，QF=CQ-FC=2t-4t/3=2t/3。QD=√[DF²+QF²]=√[(6-t)²+(2t/3)²]。所以√[(6-t)²+(2t)²]/6=√[(6-t)²+(2t/3)²]/8两边平方：[(6-t)²+4t²]/36=[(6-t)²+4t²/9]/64交叉相乘：64[(6-t)²+4t²]=36[(6-t)²+4t²/9]64[(6-t)²+4t²]=4[