答案详解（5星学霸数学中考册）

参考答案模块一数、式、方程、不等式中考提优1规律探究1.D解析：∵3×2+2=8,8×2+2=18,18×2+2=38,第5个数为38×2+2=78,第6个数为78×2+2=158,第7个数为158×2+2=318,故选D.2.D解析：这一列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数.由于2024÷3=674……2,即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有674×2+2=1350(个).故选D.4+5+6+7=28,则第八行左起第1个数是第29个数，即号的平方与序号加1的积减去序号加1的结果等于序号加1的平方与序号减1的积，所以第n个等式为n²(n+1)-(n+2025=45²,在第45行、第1列，2024在第45行、第2列，6.C解析：第①个图案中有2+3×(1-1)=2(个)菱形，第②个图案中有2+3×(2-1)=5(个)菱形，第③个图案中有2+3×(3-1)=8(个)菱形，第④个图案中有2+3×(4-1)=11(个)菱形……∴第7个图案中有2+3(n-1)=(3n-1)个菱形，7.B解析：第一幅图中有1个正方形，第二幅图中有5=I²+2²个正方形，第三幅图中有14=1²+2²+3²个正方形……第六幅图中有1²+2²+3²+4²+5²+6²=91(个)正方形，故选B.9.D解析：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,函数的图象关于点y₃+…+y19+y₂o=y1+y2₀.而A₁₀(1,0),∴y1₀=0.∵y=x³-3x²+0+1=1,故选D.的余数为1,继而向上平移1个单位长度得到P₄(2,3),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2,继而向左平移1个单位长度得到P₅(1,3),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数①Q₁₆先向右平移1个单位长度得到Q₁₅(0,9),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0,则应该是Q₁₅向右平移1个单标之和除以3所得的余数为1,则应该是Q₁₅向上平移1个单位长度得到Q1₆,故符合题意点Q1₆先向下平移1个单位长向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为(-1+7,9-8),即(6,1),∴最后一次若向右平移则为(7,1),若向左平移则为(5,1),故选D.中考提优2非函数型代数推理∴b=a+1.∵0<a+b+1<1,∴0<a+a+1+1<-1,0<4b<2,∴-2<2a+4b<1,选项4.D解析：第1次构造得a₁=2+6+4=12,此时k=1=2¹-1;第2次构造得a₂=12+8+10=30=3a₁-6,此时2,k=3=2²-1;第3次构造得a₃=30+10+14+16+14=84=3a₂-2学霸5星|数学九年级(RJ)和10m+n,如图①,由题意得mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,图③,∴运算结果可以表示为1000(4a+1)+100a+25=44足条件的整式有3x²,2x²+x,2x²+1,x²+2x,x²+2,x²n=1时，1+a₁+a₀=5,(a₁,ao)为(4,0),(3,1),(1,3),有1+4+6+4+1=16(个),故③符合题意.故选D.2023a-b=a²+2024a-(a+b)=4-(-2024)=4+20故答案为2028.得k=2.故答案为-1或2.于两个中心圆圈的数字a,b只可能是1或8.故答案为1(或8).∴x=5,把x=5代入①,得5a+2y=5a-2,解得y=-1,∴方程 案为16.12.(2,1)解析：点(1,4)经过1次运算后得到的点为(1×3+1,4÷2),即为(4,2);经过2次运算后得到的点为(4÷n=5时，有{1,5},2,5},{3,5},4,5},{2,4},13,4}六种取5,6},12,5},{3,5},{4,5},3,4}九种取法，则k=5+3+1=中考提优3定义新运算4+4=8.中考参考答案|学霸5星3得而中考提优4定义新概念——数式1.C解析：∵8=1×8=2×4,1+2+4=7≠8,∴8不是完美数，故选项A不符合题意；∵18=1×18=2×9=3×6,1+2+3+6+9=21≠18,∴18不是完美数，故选项B不符合题意；∵28=1×28=2×14=4×7,1+2+4+7+14=28,∴28是完美数，故选项C符合题意；∵32=1×32=2×16=4×8,1+2+4+8+16=31≠32,2.C解析：∵√12+4=4,(4,12)是完美方根数对，故①正3.1188或4752解析：设四位数m的个位数字为x,十位数字为y(x是0到9的整数，y是0到8的整数),∴m=1000·(9-y)+100(9-x)+10y+x=99(100-10y-x).∵m∴99(100-10y-x)是四位数，即1000≤99(100-10y-x)<是完全平方数，∴3(100-10y-x)既是3的倍数也是完全平方数，∴3(100-10y-x)只有36,81,144,225这四种可能，满足-是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.又m是偶数，∴m=1188或4752.0≤b≤8,a,b均为整数),由题意得m²-n=(10a+b)²-(10a+18-b,∴m²-n=(10+b)²-(18-b)=100B=1000a+100b+10a+8-b=1010a+99b+8.∵B除以19余数为1,∴1010a+99b+7能被19整除，∴为整数.又2m+n=k²(k为整数),∴2(10b+8最小为49,最大为256,即7≤k≤16.设3a+4b+7=19t,t是完全平方数.又1≤a≤9,此时无整数解；当t=357=19×3,30×6+8+8=196=14²,即t=3,k=14,∴m=68,n=60,∴A=68²-60=4564. b+c=9.又∵b-a=c-b=1,∴b=4,c=5,a=3,d=6,∴这个数为是整数，31≤3a+b+6≤38,此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题足3a+b+6是13的倍数，则此时b=2,∴d=3,c=7.∵要使M最大，则一定要满足a最大，∴满足题意的M的中考提优1数学文化(代数)1.A解析：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可2.C解析：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价3.>解析：(√10)²=10,4.2.5解析：设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的5.128解析：∵(a+b)¹=a+b,系数之和是2¹=2;(a+b)²=为2⁷=1281=0.又∵b≠-2a,是一元二次方程x²+mx-1=0的两由①-②,得(p²-q²)+n(p-q)=-(p-q).∵p,q为两个不相等q)²-2pq+n(p+q)-2=p+q,∴(-n-1)²-2pq+n(-n中考提优2跨学科融合(代数)0.1⁵x=785,∴x=7.85×10⁷,.需要H₁提供的能量约为7.85×10⁷千焦.故选C.中氢原子的个数为4=1×2+2;第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2;第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2;第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4×2+2……所以第n种化合物的分子第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22.故选B.4.B解析：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R是反,∴I与V的函数关系是正比例函数，故选B.增大而减小.∵A,B,C三个面的面积之比是5:3:1,∴P₁,P₂,8.(1)设h关于p的函数解析式为,把p=1,h=20代(2)把h=25代入得,解得p=0.8.9.设该学生接温水的时间为xs,根据题意，得20x×(60-30)=(280-20x)×(100-60),解得x=8,∵20×8=160(mL).∵280-160=120(mL),∴120÷15=8(s),∴该学生接温水的时间为8s,接开水的时间为8s.10.(1)观察两种场景图可知，场景A对应的函数解析式为y=-0.04x²+bx+c,场景B对应的函数解析式为y=ax+21(a≠0),把(10,16),(20,3)代入y=-0.04x²+bx+c,得解得∴y=-0.04x²-0.1x+21.把(5,16)代入y=ax+21,得5a+21=16,解得a=-1,∴y=-x+21.故场景A对应的函数解析式为y=-0.04x²-0.1x+21,场景B对应的函数解析式为y=-x+21.得x=18.∵20>18,.该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长.11.(1)由题意，得m=0,y=0.∵mo=10,M=50,∴10L=50a,(2)由题意得m=1000,y=50,(10+1000)L=50(a+50),(3)由(1)(2)可得解得(4)由(3)可知l=2.5,a=0.5,∴2.5(10+m)=50(0.5+y),0.2)=0.2n+1,∴L与n的关系式为L=0.2n+1.(3)设用扶手电梯转运m次，则用直立电梯转运(5-m)次，,∴用扶手电梯5次可以运完.根据题意，∴m=3,4,5,∴共有3种转运方案，即用扶手电梯转运3次，直立电梯转运2次或用扶手电梯转运4次，直立电梯转运1次或用扶手电梯转运5次，直立电梯转运0次.等，∴(70-x-y)×1=2y,整理得4中考参考答案|学霸5星5∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x,整理得w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2x²+120x),.w=-2x²+72x+3360(10≤x≤70).任务3:由任务2得w=-2x²+72x+3360=-2(x-18)²+4008.使每天总利润最大.3.任务1:变化量分别为29-30=-1(cm);28.1-29=-0.9(cm);27-28.1=-1.1(cm);25.8-27=-1.2(cm)..每隔任务2:设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=kt+b,∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=-0.1t+30.任务3:(1)w=(30-30)²+(29-29)²+(28-28.1)²+(27-27)²+(2)设h=k₁t+30,∴w=(0·k₁+30-30)²+(10k₁+30-29)²+(20k₁+30-28.1)²+(30k₁+30-27)²+(40k₁+30-2中考提优4真实情境后移x米，这(n+3)个同学之间的距离根据题意，得解得54≤v≤72,∴车速v(km/h)的取值范围是54≤v≤72.(2)设选用A种食品m包，则选用B种食品(7-m)包，根据题意，得10m+15(7-m)≥90,7-m=7-3=4.答：应选用A种食品3包，B种食品4包.(2)当y=213时，213=5x+33,解得x=36,所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是(2)由(1)得y=-x²+4x+160,∵t=y+x²,∴t=-x²+4x+160+解得x=8.6.(1)9060解析：8:00到9:30经过90分钟，9:50到10:50经过60分钟.(2)①解析：根据题意得D1001次列车从A站到C站共需90+60=150(分钟),G1002次列车从A站到C站共需35+60+30=125(分钟),∴150v₁=125v₂,360(千米),∴A站与B站之间的路程为360千米.∵360÷4.8=75(分钟),∴当t=25+75=100时，G∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车.110)]=60,解得t=125.综上所述，当t75或125时，Id₁-d₂I=60.1.C解析：设1班同学的最高身高为xcm,最低身高为ycm,2班同学的最高身高为acm,最低身高为bcm,根据1班180,解得a≥170,故③正确；1班学生的身高不超过180cm,4.D解析：∵反比例函数的图象在第一和第故只有C,D两选项可能符合.由C,D两选项的二次函数的图∴2k<0,∴抛物线y=2kx²-4x+k∴抛物线y=2kx²-4x+k²的对称轴在y轴的左侧.∵-1<k<0,∴0<k²<1,∴.抛物线y=2kx²-4x+k²与y轴的交选项C符合.故选C.y,随时间t的增大而增大，此时平均价格y₂呈现快速上升趋价格y,随时间t的增大而减小，此时平均价格y₂降趋势，整个变化过程中，平均价格没有超过15元/件，且30天时的平均价格大于5元/件.只有选项A符合这一变化过2.2009年解析：设这位参与者的出生年份对应的四位数为915,∴100m+46+1978-x=915,∴x=1109+100m.∵此时中学生的出生时间应该在2000年后，∴m=9,∴x=2009.故这位参与者的出生年份是2009年.需的时间是A>C;根据C,D与B,C合作所需时间进行对比知，所需的时间是D>B;根据C,D与D,E合作所需时间进行号是C.间为30+10+20=60(min).由题意，得节目A和C演员人数一面，①按照C-B-A-D顺序，则候场时间为(10+2+1)×20+1×10=360(min);④按照B-C-A-D顺10+1)×10+(10+1)×20+1×30=460(min);⑤按照B-C-D-A顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+(10+1)×20+10×10=530(min);⑥按照B-D-C-A顺序，则候场时间为(10+10+1)×10+(10+10)×10+10×20=610(min).360<400<46530<610,∴按照C-A-B-D的先后顺序彩排，候场时间之和最小.个函数的图象都过点(1,a+a²),故选项A,C不符合题意；当67*点M超过点D后，3<l≤4,MD=AM-AD=√31-36.A解析：作PD⊥AC于点D,作QE①由题意得AP=xcm,AQ=√3x,∴PD是线段AQ的垂直平分线，当点M运动到直线A②③④则BN=FN=FB=(3-2x)cm,FM⑤中考提优3分析函数图象-1,1,∴b=2a<0.∵抛物线与y轴交于正半轴，bm+c≤a-b+c(m为任意实数),即am²+bm≤a-b,故②正确；D.当t=0.7s时，s=0,所以小球在平衡位置0处，故D正确.故选C.确；该同学在体育场锻炼了30-15=15(分钟),故②正确；该(千米/分钟),则跑步速度是步行速度的度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为1选C.或4,结合函数图象可得M(4,2√5),故选C.中考提优4函数图象变换将点B的坐标代入y=2x+b得0=12+b,解得b=-12.综上，若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为-12(第1题)(第4题)意可知点B(-m,-n),由勾股定理可得AB=√4m²+4n².易Q',如图所示.联立直线AB及双曲线的解析式，得方程组 5.(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.OE=2,∴0F=√OB²-BF²=√4(2√3,2).设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),则②③②89图③,BD=0P=-t,△OPD的面积等于,解得④∵△OPD的面积等于,解得舍去).模块四一次函数、反比例函数中考提优1一次函数与方程、不等式的关系易知直线经过点A(3,1),则不等式组的解集即为直线y=kx+b在x轴上方和直线下方时x的2.-2<x<2解析：∵一次函数y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-4=-n-2,解得n=2,P(2,-4).又∵直线y=-x-24.(1)函数y=5x+2是函数y₁=x+1,y₂=2x-1的“组合函Y₂=-x+3p的图象相交于点P,∴点P的坐标为(2p+1,p-1).p-1>(m+n)(p-1),∴p-1<0,∴p<1,∴p的取值范围为p<1.中考提优2一次函数综合题设直线AB的解析式为y=kx+b,则解得∴直线AB的解析式为y=x-4,∴x=y+4.设直线AC的解析式为y=mx+n,则横坐标为y+4,点E的横坐标为4+y-2√2y,∴EF=(y+4)-的横坐标为∵0<y<√2,∴∴4<m<3+√2.故选A.B'(0,-2),把点B'向右平移3个单位长度得到C(3,-2),作①②①如图②,过点D作DG⊥y轴于点G,交直线于点H.直线与x轴的交点为,则BQ= HG=BH·3.(1)解方程x²-4x-12=0,得x₁=6,x₂=-2,∴OA=6,即点A∵GE是BC的垂直平分线，∴∠FGB=90°,①②①(3)△EMN的个数为12个，点N的坐标为(0,0)或(8,0)由(2)得AN₁=6,0A=6,∴ON₁=12,∴点N₁3√2,M₆A=√2,∴AN₃=√(√2)²+(√2)8,∴N₃(8,0).同理可求N₄(10,0),N₅(18,∴点N₆与图③中的点N₂重合.同理可知点N,与图③中的③④③①②①二15,解得a=2或a=-2(舍去),等边三角b+2,即b=-1;当l₁过点C时，1=-2+b+2,即b=1,∴.-1≤b≤(2)如图①,设DE与y轴交于点N,作EM⊥OC于点M,则数关系.设s=ht+b,将和代入得解得②(ii)当PQ//OF时(如图③),过点Q作QG⊥AQ₃③中考提优3反比例函数与一次函数∴k=1×3=3,设直线AB的解析式为y=mx+n,令x=-2,得...B(-2,0),.BC的中点学霸5星|数学九年级(RJ)4.(1)将B(1,3)代入,∴k=3,∴反比例函数n,得4.(1)将B(1,3)代入,∴k=3,∴反比例函数n,得解得∴一次函数的解析式为y=x+2.得∵C(2,3),∴B(2+a,3).∵点D是AB边的中点， (3)点P坐标为(4,3),4=2..反比例函数解析式为又N(n,1)在反比例函数ax+b,∴一次函数的解析式为y=-2x+5.①②①向上平移6个单位长度得到直线直y₂),∴x₁+x₂=8.∵点P为M₁M₂的中点，点P的横坐标为,过点0作OG⊥l₂,∵I₁//L₂,∴M₁N=0G.∵中考提优4反比例函数与几何图形2.(1)如图①,作DE⊥x轴于E.①①(2)设OB=a,则点A的坐标为(a,2√3),如图①,同(1)可得CE=1,DE=√3,可得D(3+a,√3),∵点A,D在同一(3)存在.k=10√3或k=12√3.解析：(i)过点E,过点E,4.(2)如图①,连接AD,EC,由(1)可知DE//AC,∠DEC+∠ECA=180°.∵A,D,E,C四点在同一圆上，∴∠DEC+ ,同理可求得MN= ①②①直线y=-x-1上，直线y=-x-1与函数图象有3个交点(如学霸5星|数学九年级(RJ)值范围是0≤x<3.y₃=y₂-y₁,由题意可知y₃>0,y₃=-x²+(2a+1)[x].①当-1≤x<0,y₃=-x²≤0,不符合题意.③当1≤x<2时-x²+2a+1,在该区间内函数单调递减，故当x取值趋近于23.(1)如图所示.4.(1)①当x>0时，y随x的增大而增大函数有最大值为4(答案不唯一)(2)①设AB所在直线解析式为y=kx+b,将A(-1,4),B(4,为y=-x+3.∵n=3,∴向下平移3个单位长度后，直线l解析式为y=-x.如图①所示，设直线AB与y轴交点的长度即为向下平移的距离n,由①知△CDQ′为等腰直角三中考提优1二次函数的图象性质选填题1.D解析：抛物线y=x²+2x-1=(x+1)²-2向右平移3个单位后得到新抛物为y=(x+1-3)²-2=(x-2)²-2,∴新抛物线的顶点坐标为(2,-2),故选D.y=(x+1)⊗2的最小值为-9.故选B.选D.的函数值越小，∵(-2,y₁),(0,y₂),,而1-(-2)=数的解析式为y=-x²+2x=-(x-1)²+1.∵a=-1<0,图象的选A.时时则b=2,而由x₁<1,x₂>1不能得出对称轴为直线x=1,故B选项不正确，不符合题意；∵抛物线与x轴有2个不同的交点，方程-x²+bx+c=0有两个不相等实数根，即△=b²-4ac>y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1.0)∴x=线y=ax²+bx+c与y轴的交点B在(0,-2),(0,-3)之间，∴-3<c<-2,则abc<0,故①错误.设抛物线与x轴另一个交点为(x,0),∵对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交故②错误∵-3<c<-2,a+b+c=0,b=2a>0,-3<-3a<-2,解点A(1,0)和(-3,0),直线y=x+1过点(-1,0)和(0,1),如图.方程ax²+bx+c=x+1两根m,n满足-3<m<1<n,故④正确.故选B.y=a+b+c=0,故①正确.∵抛物线y=ax²+bx+c(a<0)交x轴于点A(-3,0),B(1,0),∴抛物线对称轴为直线x=-1,∴AC≠BC.∵A(-3,0),B(1,0),∴OA=3即此时的值最小，最小值为线段CH的长.在度得y=x²-6x+12-k,∵y=x²-6x+12-k与x轴有公共点，∴△≥0,即(-6)²-4(12-k)≥0,解得k≥3,故答案为k≥3.中考提优2二次函数的性质解答题∴抛物线的顶点坐标为(1,-1).①②①2.(1)设二次函数的解析式为,把点A(-2,(2)点B平移后的点的坐标为(1-m,9),则9=(1-m)²+(1-m)+3,解得m=4或m=-1(舍去),∴m的值为4.(3)当时，最大值与最小值的差为最大值与最小值的差为,解得n₁=1,中考提优3二次函数的交点(公共点)问题1.(1)∵该抛物线经过点(4,3),∴3=4²-16m+2m+1,解得m=1,∴y=x²-4x+3=(x-2)²-1,∴顶点坐标为(2,-1).(2)∵y=x²-4mx+2m+1=(x-2m)²-4m²+2m+1,.对称轴为∴4=(2m-3-2m)²-4m²+2m+1,解得或m=-1.(2)由(1)得y=-x²+bx=-x²+4x.∵点A(x₁,y₁-x²+2x₁,y₁+h=-(x₁+t)²+4(x₁+t),整理得h=-t²-2x,t+2x₁+4t.2.(1)∵抛物线L:y=ax²-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两2.(1)∵抛物线L:y=ax²-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两x₂=3,∴A(-1,0),B(3,0),则AB=3-(-1)=4.-4),设D(n,n²-2n-3)(0<n<3),则n-3,则直线AD的解析式为y=(n-3)(x+1).如图①,设直的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数y= ①(3)设D(n,an²-2an-3a),直线AD的解析式为y=k₁(x+1),则an²-2an-3a=k₁(n+1),解得k₁=an-3a,那么直线AD的解5.(1)①=②<③>解析：∵y=x²+bx+c(b<0)与x轴交①(3)设D(n,an²-2an-3a),直线AD的解析式为y=k₁(x+1),则an²-2an-3a=k₁(n+1),解得k₁=an-3a,那么直线AD的解(2)∵x₁=1,2<x₂<3,∴3<x₂+x₁<4,∴3<-b<4,∴-4<b<-3.②②3a=ax²+(-2an-4a)x+6an+3a,整理得(n+1)x=3n+3,解得x=3,∴抛物线L′与L交于定点(3,0).3.(1)将(-2,-2)代入y=x²+2x+c,得4-4+c=-2,解得(2)过点B作BH⊥AC于点H,则∠AHB=90°,由题意得(3)①如图①,记AC,DE交于点M,,得对称轴为直线DE=2DM.∵DE与此抛物线的对称轴重合，,解得m=①的增大而增大，菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线.④⑤④⑥中考提优4二次函数的整数点问题3,解得b=2.令y=0,解得x=-1或x=3,令x=0,得y=3,∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3).设M(m,-m²+2m+3),作MH⊥x轴于点H,,解得或m=-1(舍去),∴点M①②①的增大而增大，∴-1≤n≤0或n>1.△ABC中含(0,1),(0,2),(1,1)三个整数点(不含边界),当W内恰有2个整数中考提优5二次函数与线段1.(1)∵二次函数的图象的顶点为C,∴C(1,4).令解得x=-2或x=4, ,二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为且t≠4.2.(1)∵抛物线y=x²-x+c与x轴交于点A(-1,0),∴线AC上.由抛物线的对称性可得PG=PH,∠MAB=,即的最小值3.(1)∵2a+b=0,a=1,∴b∴抛物线y=ax²-2ax+c的对称轴为直线x=1.∵对称轴与OD²+PD²=OP²,,得,解得PD= .该抛物线的解析式为∵点①②①足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值3,m₂=-1(舍去).∴点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(2,-2).∵点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线y=ax²-2ax+c4.(1)∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,∵B(-1,0),∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4)(a≠0),把C(0,-2)代入可得-2=a(0+1)(0-4),解得∴抛物线的解析式为y=√OC²+OA²=2√5,如图①,当CD₁=AC=2√5时，0C⊥AD₁,AD₃+0A=2√5+4,即D₃(4+2√5,0).综上，点D的坐标为(-4,①④④单位长度得到MG,∴四边形MNAG是平行四边形，∴NA=MG,即.作P(2,-3)关于对称轴直线的对称点为P₁(1,-3),则MP=MP₁.连接P₁G,∴P₁G=,∴NA+MP的最小值故答案②解得C₁对应的函数解析式为y=x²-2x-3.(2)设C₂对应的函数解析式为y=a(x+1)(x-3)(a<0),将点C(0,6)代入，得-3a=6,解得a=-2..:.C₂对应的函数解析式为y=-2(x+1)(x-3),其对称轴为直线的对称轴也为直线x=1,作直线x=1,交直线l于点H,如图则点P的横坐标为t+1,点M的横坐标为2t+1.将x=t+1代入y=-2(x+1)(x-3),得yp=-2(t+2)(t-2),将x=2t+1代入y=(x+1)(x-3),得yM=(2t+2)(2t-2).∵yp=y,∴-2(t+2)·D①②①(3)连接DE,交x轴于点G,过点F作FI⊥ED于点I,过点F析式为y=a(x+1)(x-3)(a<0),∵点D,E分别为二次函数图(x-3)(a<0),得yp=-4,yg=-4a,∴D(1,-4),E(1,6.(1)∵x²-2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0∴A(-1,0),B(3,0).∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于(2)①存在.如图①,过点P作x轴垂线交x轴于点Q,连接设P(m,-m²+2m+3),则BQ=3-m①②①于另一点N,设M(x₁,y₁),N(x得3k₁+m=0,解得m=-3k,∴直线BM的解析式为y=h₁x-3k₁.设直线CN的解析式为y=k₂x+m₁,将C(0,3)代入得m₁=3x+n-3=0,∴x₁+x₂=3,将M(x₁,y₁)代入y=k₁x-3k₁,y=∴(x₁-3)[x₁+(k₁+1)]=0,解得k₁=-1-x₁.将N(x₂,y₂)代入线段最短可得，线段QD+QE的最小值为DE’,∵DE′=√[3-(-3)]²+(9-0)²=√36+81=√117=3√13,∴线段中考提优6二次函数与定点定直线问题式为y=-x²+2x+3.令y=0,则-x²+2x+3=0,解得x=3,则A(-1,0),B(3,0),令x=0,则y=3,M(1,3).设E(m,-m²+2m+3),F(n,-n²+2n+3),由题意知m≠n,且均不为0,2.设直线EF的解析式为y=k₁x+b₁, 式为y=(2-m-n)x+mn+3.又∵直线EF过点M(1,3),解析式为y=k₂x+b₂,把E(m,-m²+2m+3),C(0,3)代入得又∵mn=m+n-2,m(2m-4)=6=0,解得,m₂=2(不符合题意，舍去),∴n=2m- 中考提优7二次函数与面积1.(1)二次函数y=-x²+bx+c的图(2)由(1)可知二次函数解析式为y=-x²-x+2,A(-2,0),Inl=6,∴Inl=4,∴n=±4.当-m²-mPE//OA交AB于点E,则E(m,-m+5),则PE=4m-m²,(第3题)(第2题)(第3题)线(k为常数)经过点D,:代入,解得x₁=-2,4.(1)∵抛物线G:y=ax²-6ax-a³+2a²+1(a>0),∴.抛物线对(2)∵直线l:y=m²x+n过点C(3,1),∴3m²+n=1,如图①,的周长为C₁,△CDB的周长为C₂,且C₁=C₂+2,.点A在点B①②①n,∴∠DCF=45°,∴3t=45+180k(k为自然数),∵0≤t<45,√(x₁+x₂)²-4x,x₂=√36-4(-a²+2a)=√4a²-8a+366x+2.数解析式y=-2x²+8x+c,则0=-2+8+c,∴c=-6.抛物线的为y=-2x²+8x-6,则yu=-2×2²+8×2-6=2,∴ ①②①6.(1)∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两x²-x-2.直线BC的解析式为y=kx+m(k≠0).(3)根据(2),设点D的横坐标为t,DE的长l=-t²+2t(0<中考提优8二次函数与角度0),∴OC=OA=3,∴C(0,3),将A,B,C的坐标分别代入y₁=ax²+bx+c,得解得解析式为y₂=(x-1)²-4,即y₂=x²-2x-3.(2)如图①,将点F向右平移2个单位至F',则FF′=2,F'(-4,0),过点D作直线l₂的对称点为D',连接F'N,F'D',ND',①∴ND=ND'.∵y₂=(x-1)²-4,∴直线l₂的解析式为x=1.线l₂:x=1,∴.H'(2,-2),设直线PE的解析式为y=kx+bk≠线PE的解析式为y=2x-6,联立得x²-2x-作HN得QT²+TN²=NK²+KE²,∴m²+(2m)²=(2-4m)²+1²,解得m=或m=1(舍去),∴x²-2x-3,整理得11x²-20x+9=0,解得或x=1(舍去),②③②③线MT,过N′作线MT,过N′作N′T⊥MT于T,同理可得∠N'MT=∠ABC,设(2)如图①,延长PE交x轴于点G,过P作PH//y轴交BE①①(2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0), 析式为y₁=k₂x,直线ED的解析式为y₂=k₃x-5,联立,设xg=e,xp=f,x₆=g,∴ef=-5,·(f-g).∵ET·FS=GS·TG,1.(1)∵抛物线y=ax²+kx-3与x轴交于点A(-3,0)和点Bx²+2x-3.x²+2x-3=(x+1)²-4,则D(-1,-4),对称轴为直线x=-1,直线AC的解析式为y=k₁x+b₁,代入A(-3,0),C(0,-3),解得∴直线AC的解析式为y=-x- ①②①(3)存在.点N的坐标为(-1,√14)或(-1,-√14)或(-1,-√17-3(舍去).综上所述，点N的坐标为(-1,√14)或(2)由题意得物线C₂上.点E作EH⊥直线1,垂足为点H,过点B作BG⊥直线l,垂足(AAS),∴DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,∴点E(2,2),②当∠DBP为直角时，如图②,同理可得△BGE≌△DHB(AAS),DH=3=BG,BH=1=GE,∴点E(- 标为(2,2)或(-1,3).3.(1)将A(-1,-4),B(3,4)代入y=ax²+bx+c得②-①,得8a+4b=8,即2a+b=2.所以方法1:由a²+2(y₁+y₂)a+4y,y₂=0,得(a+2y₁)(a+2y₂)=0.可而A,B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此有两个公共点.方法2:由a²+2(y₁+y₂)a+4y₁y₂=0,得(a+2y₁)(a+2y₂)=0.可,即b²-4ac≥2a².因为a≠0,所以b²-4ac>0.所以此函数图象与x轴必有两个公共点.方法3:由a²+2(y₁+y₂)a+4y₁y₂=0,可得或当当象与x轴必有两个公共点.(3)存在.因为a>0,所以该函数图象开口向上.由2a²+2(y₁+由2a²-2(y₃+y₄)a+y³+y²=0,y₃=y₄=a.所以直线AB,CD均与x轴平行.由(2)可知该函数bx+c=-a的两根为x₁,x₂,可得同理ax²+bx+c=a的两根为x₃,x₄,可得CD=|x₃-x₄I=同理ax²+bx+c=0的两根为x₅,x₆,可得m·.由于m>1,结合图象与计算CD,m·EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3,则此三角形必定为两锐角分别为的斜边.解得(负值已舍去)>1,符合要求.所以,此时该函数的最小值简得b²-4ac=8a²>4a²,符合要求.所以此时该函数的最小值4.(1)把O(0,0),A(4,0),B(1,3)代人y=ax²+bx+c(a≠0),得,解得.二次函数的解析式为y=-x²+4x.设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0),则(2)①设P(m,-m²+4m)(1<m<4),则D(m,-m+4),y=-x²+4x,得3=-x²+4x,解得x₁=1(舍去),x₂=3,m=3,①②①,解得m₁=2,m₂=1(舍去),∴-m²+4m=4,中考提优10二次函数与特殊四边形1.(1)∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1-x+3.设C(m,-m²+2m+3)(0<m<3),√2m,BC²=m²+(-m²+2m)².当以B,C,D,E3m=√2m,解得m=0(舍去)或m=3-√2,此时菱形的边长为即m²+(-m²+2m)²=(-m²+3m)²,解得m=2或m=0(舍去),2.(1)将A(-3,-1),B(0,2)代入y=-x²+bx+c,得解得∴抛物线的函数解析式为y=-x²-2x+2.∴△CDM∽△ODB,设直线AB的解析式为题意知xμ-x₆=xʙ-xg=1,∴x₆=2,∴G(2,4).3.(1)把,B(2,1)代入y=ax²+x+c得解得∴这个二次函数的解析式为解得(2)∵C(m+1,y₁),D(m+2,y₂)都在该二次函数的图象上，,当当∴点N的纵坐标为-2t²-2t+1+t=-2t²-t+1,即N(0,-2t²-t+∴P(-3t,-2t²+1).把P(-3t,-2t²+1)代入得-2t²+1=,解得(舍去),∴⑤如图⑤,构造矩形HGJI,过点P作PK⊥IJ于点K,易得∴HN=PG=MJ=IQ,PH=GM=QJ=N得-2t²+PH=GM=3t,∴M(2t,-2t²+2t+1),N(0,-2t得-2t²+⑤∴M(-2t,-2t²-2t+1),N(0,-2(舍去),中考提优11二次函数与圆的综合题(1)∵二次函数y=x²-6x+8的图象与x轴分别交于点A,B或x=4,∴A(2,0),B(4,0).3)²-r²=m²-6m+8,解得r=±1.∵r>0,r=1.中考提优12二次函数与一次函数、反比例函数(2)设直线BC的解析式为y=dx+e(d≠0),∵直线BC经过BC直线BC平移得到直线1,且直线l与y轴交于点E(0,n),∴直线双曲线经过点M(m+1,m+3),∴k=(m+1)(m+3)=m²+2m²-8m-6=0,由△=0,即(2n)²-4(-2m²-8m-6)=0,化简得整理得x²-4x-4-2n=0,∴△≥0,即16+16+8n≥0,∴n≥-4.当n=-4时，直线与抛物线有且只有一个交点F(2,-3).①②①n≤1或n=-4.②(I)当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M(m+(Ⅱ)如图⑤,当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.中考提优13新定义——函数 (2)①y=x²-2kx+4k+5=(x-k)²-k²+4k+5,∴抛物线C₂的顶5=0时，解得x=-1或x=5,抛物线C。与x轴交于(-1,0),(2)∵.设点,则B(a,3).(3)①∵y₂=xy₁=x(-x+4)=-x²+4x得m=1或m=4.②∵y₂=-x²+4x=-(x-2)²+4,∴.抛物线y₂的对称轴为直线(-m+4)=-m²+5m-4>0,解得1<m<4,∴.AB=-m²+4m-(-m+4-m-m=4-2m,∴y=2(AB+BC)=2(-m²+5m4²+14×4-16=8,∴R(1,4),P(2,4),Q(4,8).∵当①②①的两根分别为m₃,m4,∴学霸5星|数学九年级(RJ)③或t₂-t₁=3-2√2.(2)由(1)知抛物线的焦点F的坐标为(0,1),∵点P(xo,y%)(x₀>0)到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，点P作PG⊥准线l于点G,结合题意和(1)中结论可知PG=PF=d₁+1,线的焦点坐标为F(0,0),准线l的方程为y过点P作PG⊥准线l于点G,结合题意和(1)中结论可知②③②中考提优1数学文化ac-bc)=2[(c²-ac)+b(a-c)]=2(c-选D.角形，令a=3,b=4,c=5.选项A:d=a+b-c=2,选项B:选项C;d=√2(c-a)(c-b)=2,选项D;d=(第2题)(第1题)(第2题)DF=4x,则(3x)²+(4x)²=10²,解得x=2(啥去负值),所以AF=6,DF=8.因为外部的四个直角三角形全等，所以DE=AF=6,所以EF=DF-DE=8-6=2,故①正确.因为Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，所以3FG²,整理得6FG²+FG·AG-AG²=0,则64.0.1解析：连接OC,∵A0=2,∠AOB=90°,∴OB=2,②①②边形ACLM的面积.∴PH=PC,∴∠CHG=∠LCH,由(1)得△AC是平行四边形.由(2)知四边形ACLM是平行四边形，由(1)知AD=LC,∴□ADJK的面积=□ACLM的面积=正方形ACHI的面积.如图③,延长EB交LG于点Q,同理有口KJEB的面面积+正方形BFGC的面积=□ADJK的面积+□KJEB的面③④③径画弧交IH于点M,在MA的延长线上取AD=AM,作□ADEB,作射线LC交AB于点K,交DE于点J,由图可知射线LC把□ADEB分成口ADJK和□BKJE,根据同底等高可得□BCGF的面积相等(Q是直线EB与FG的交点),故平行四边形ADEB的面积等于平行四边形ACHI,BFGC的面积之和.中考提优2跨学科融合中考提优1尺规作图背景题NB.∵AC=CD=DE,∴AM=MN=NB,∴这一画图过程体现的线OP为∠AOB的平分线；第3个题图由作图痕迹可知，CP=CO,∴∠COP=∠CPO,∴∠POB=∠COP,图可知EF垂直平分线段AB.∵四边形ABCD是正方形，中考提优2尺规作图∴∠ACB=90°.∵,可以假设BC=3k,AB=5k,②①②∠EDF=180°-75°=105°.综上所述，∠EDF的度数为75°中考提优3仅无刻度直尺作图得到点C和点D点M₁;取圆与网格线的交点D和格点H,连接DH并延长网格线相交于点M₂;连接M₁M₂,分别与AB,AC相交于点N,P,则点M,N,P即为所求.①②①4.(1)①点M即为所求作的点.②点P即为所求作的点.(2)点M,N即为所求作的三等分点；(3)点Q即为所求作的点.B仅圆规作图中考提优4仅圆规作图弧交半圆于点E,以点B为圆心，以DE为半径画弧交半圆于为圆心，以AB为半径画弧交半圆于点E,以点E为圆心，于点H.圆于点D,以点D为圆心，以AB为半径画弧交半圆于点所示.模块八全等与相似的经典模型F,使得AE=EF,连接CF,∵BD=2,CD=∴△ABE≌△FCE(SAS),∴AB=CF.由三角形三边关系可(3)如图②,延长GE至点M,使得EM=点M作MN⊥CD,交CD的延长线于点N.∵E为AD中点，EG=EM,∴△AEG≌△DEM(SAS),∴∠E中考提优2半角模型CF的中点G,连接EF,EG,过点A作AN⊥BC于点N,如图.√AB²-AN²=3,∵BC=6.∵∠ACB∴△CEF为直角三角形.∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,√CF²-EC²=√3x,∴6-3x=√3x,∴x=3-√3,∴DE=√3x=(第1题)180°-∠BGE=180°-45°=135°.设DH=DF=x,则AH=AD-XX点H,连接NH.由旋转的特征得AE=AF′,BE=DF',∠BAE=∠DAF'.由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE,AF',EF=F'F,AF=AF,∴△AEF≌△AF'F(SSS),∴∠EAF=∴EF=HE.过点H作HO⊥CB交CB的延长线于点0,过点HBE=BM,∴(GH+BE)²+(BE-GH)²=EF△BE'C',连接E'D.过点E作EG⊥BC,垂足为G,过点E’作E'G'⊥BC′,垂足为G'.过点E’作E'F//BA,过点D作DF//BC交AB于点H,E'F,DF交于点F.由旋转的特征得BE=BE',③中考提优3对角互补模型解析：∵正方形ABCD的对角线AC,BD交于点0,学霸5星|数学九年级(RJ)O'N.等边三角形ABC的中线AD,CH相交于点② 中考提优4手拉手模型AA2.(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE,②由①得△CAE∽△BAD,∴∠ACE=∠ABD.∵∠AGC=(3)①如图，连接BF,CE,∵在等边△ABC别是△BEF,△BCE的中位线角形.②延长CE交MN于点P,交BF于点0,如图.∵△ACE≌中考参考答案学霸5星4.(1)BE=CF(SAS),∴BE=CF,∠ABE=∠ACF,设AC,BD交于点0.PD=2AF,(第4题)(第5题)(第4题) BC于点H,∵∠B=45°,AB=3√2,∴中考提优5十字架模型①②①点C作CN⊥AB,垂足为点N,交BF于③即中考提优6一线三等角模型CF=h,AF=7-3=4,所以EF=6-4=2,在直角△CEFFG⊥BD,交BD的延长线于点G,如图②,∵AH⊥BD,FG1AH⊥HD,∴△ADH是等腰直角三角形，∴作点B关于FH的对称点B′,连接B'C,过点C作CQ⊥FG于0),B(4,0).QH⊥BM于点H,过点H作DE⊥y轴于点D,过点B作BE⊥,设DH=a,FG=b,则PB=3b,∵FP=4,∴GP=4-b,∵FQ解得∴直线MB的解析式为y=,联立解得x₁=4(舍去),综中考提优1单线段最值(第1题)(第2题)(第1题)点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,∵等边△ABC的(小，即BE的最小值为BE'的长.∵∠CE₀E′=EH⊥BC于点H,则四边形ABHE是矩最小值为6.由折叠的性质可得DE=接DF,由折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF,DE=D'E,DF=CF=x,则BF=DF=8-x,∴(8-x)²=x²+6²,AD=8,∠A=∠ADC=90°,AD//BC.∵点E为AD的中点，①②①线交BC于点N,交MF于点P.则设AE=x,BF=y.∵四边 点M作MG⊥EF,垂足为点G,∵四边形ABCD是矩形，△GMN'(AAS),MG=AM=5,∴点N′在平行于AB,且与AB(第2题)(第1题)(第2题) 的对称点Q,连接PQ,BQ,则BP+CP=BP+PQ,当点B,P,Q三√(4√2)²+(2√10)²=6√2,∴AM+ME的最小3.A解析：取AB的中点G,连接PG,如图①,∵四边DC//AB,∴DF//AG,∴四边形AGFD是平行四边形，(第4题)(第5题)直线l于点C,连接AC,PA′,则可知AC=A'C,A'A⊥l,∴PO+√OA²+AA'²=√3²+4²=5...PO+PA的最小值为5.B关于EF的对称点B′,作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB′,由题意得,AE=9-4=5(cm),PF,CF,过点F作FH⊥BC于点H,∵点I是△ABC的内心，**(第8题)(第9题)(第8题)OD,AD=AB=3.∵∠BAD=60°,∴△ABD是∵点0关于AB的对称点是点F,∴OF⊥AB,OG=FG,∴∠FOE=90°,∴由勾股定理，得EF=√OF²+0E²=10.②③④解析：若EM=EN,∵MN⊥①①②③②EH,∵BC//DF,FH//CD,∴四边形CDFH是平行四边形，∴当E,F,H三点共线时，EH+HF有最小值为EF的长，得GL=8,AL=8√3,KF=4,DK=4√3(第1题)B(4,0),C(0,4).①②①,设,则,M(0,t+1),或A(-4,0),∴AO=4,∴OB=1,∴B(1,0),把点B,D坐标代入解得.抛物线的解析式为y=x²+2x-3.称轴对称，E(2,5),∴BE²=(1-2)²+(0-5)²=26.设点F(1,①当BF=BE时，如图①所示，∴,即(1+1)²+(0-a)²=26,解得a=±√22,∴点F的坐标为(-1,√①②①②当EF=BE时，如图②所示，∴EF²=BE²,即(2+1)²+所示.④③④中考提优4费马点问题.△BDA≌△BFE(SAS).√BE²+BC²=√7.(2)连接AF,由(1)得△ABD≌△ACE,CE=BD,∠ACE= 接AP,BP,CP,将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到①②①形ACI,连接CH,BI,则交点P为求作的点，易得△AHC≌③④③4.(1)①等边②两点之间线段最短③120°④A的长，此时的点P为该三角形的“费马点”,∴∠BPC+∠P'PC=180°,∠A'P'C+∠PP'C=180°,∴∠BPC=120°,∠BCP+∠PCP′=90°,由旋转的性质可知AC=A'C√BC²+A'C²=√4²+3²=5,∴PA+PB+PC=5.①②①中考提优5逆等线问题(2)过点P作PP′⊥AB,交x轴于点P′,在Rt△AOC中，∴△BCDの△GAE且相似比为1:2,则设AC边上的高为h,则tan∠EAG=7,过点G作GN⊥x轴于点N,则 ,即CE+2BD的最小值2.(1)∵抛物线y=-x²+bx过点B(4,-4),∴-16+4b=-4,抛物线于点D,垂足为H,连接PC,OD.∵点P在y=-x上，∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M,Q,B三点共线时①中考提优6①中考提优6胡不归问题在AB延长线上截取BH=BG,连接(第2题)(第3题)CH⊥AB于点H.由题意知AF平分∠BAC,∵∠ACB=90°,∴当C,P,Q三点共于点D,连接CO并延长交AB于点F,连的最小值为CF的长度.0,则y=-6,∴C(0,-6),即OC=6,∵A(3,0),∴OA=3.∵点P(3)如图②,作PN⊥x轴交BC于点N,过点N作NE⊥y轴于中考提优7阿氏圆问题1.(1)∵抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4,∴A(1,0),∴直线AD的解析式为y=x-1.将A(1,0),B(5,0)代入y=为y=x²-6x+5.或联立方程组解得∴点M的坐标为(4,-3);②当∠ADM=90°时，或y=ax²+bx(a≠0),将C(2,-3),B(8,0)代入y=ax²+bx得∴顶点坐标为A(4,-4),设直4√2,AB=√AF²+BF²=√[0-(中考提优8线段比、周长和面积最值①②①②设CP=n,则AP=√AC²+CP²=√641)(x+3),把C(0,-3)代入得-3=a(0-1)(0+3),解得a=1,线y=-2x+m经过点A,∴0=-2×1+m,解得m=2.(2)由(1)得直线AF的解析式为y=-2x+2,∵直线y=-2x+2D(0,2),联立解得∵点E在②①②y=1的对称点E’,连接E'F′与直线y=1交-10),延长FF'交线段EE′于点W.∵FF′与直线y=1平行，∴FW⊥EE'.∵在Rt△EWF中，由勾股定理得EF=