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黄浦区2024学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷参考答案（2024.12）一、填空题 1． 2． 3．2 4． 5．20 6． 7．11 8． 9． 10． 11．7.3 12．二、选择题 13．B 14．A 15．C 16．C三、解答题17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解（1）连接，易知是的中点．正方体中，由平面，得．又，故平面．（2）过作，交于，连接．由平面平面，得平面，故是直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2．由题意，得．由，得．因为，所以．故直线与平面所成角的大小是．18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解（1）．故该函数的最小正周期为．（2）．由（），解得（）．又因为，考虑区间与（）的交集．只有当时，上述两个集合的交集才非空，且其交集为．因此，函数的单调减区间为．解（1）该校高一学生中，男生共有名，女生共有名．（2）从这66名学生中随机抽取两名都是男生的概率为．（3）设原始的32个数据为、、…、、，其中，，由错误数据的平均数，可得原始数据的平均数（cm）．由，得，故．20．解（1）将，代入的方程，解得．因此．（2）将代入的方程，解得，进而．在Rt△中，．将代入上式，得，即直线的斜率为定值．（3）由双曲线的定义，得，又，得．设点的坐标为，于是由解得，（），故直线的斜率（）．又的渐近线方程为．若存在满足条件的直线，则，即且，解得．因此，当且仅当满足时，存在满足条件的直线．21．解（1）方程有两解，设为、，且，又函数在上的极值点．因为，所以函数在上的极值点既不左偏移也不右偏移．（2），由且，得方程的两个正根为，，于是．，求导，得，令，解得（负根舍）．当时，，函数严格减；当时，，函数严格增，故函数在上的极小值点．，其中，由且，得，故，即．因此，函数在上的极值点右偏移．（3）对求导，得（）．令，解得为函数的唯一驻点．当时，，函数严格增；当时，，函数严格减，故函数有唯一极大值点．由于曲线在点处的切线方程为，因此当时，方程仅有一解，故当时，方程仅有两解，设为、．法一．令，．，求导，得．当时，，得函数在区间上是严格增函数．由及，得，即，又，故．函数在区间上严格减，由、，得，亦即，得证．法二由，即，，可得．要证，即证，亦即证．，不妨设，令，于是（），此时即证

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