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2024学年第一学期高三年级学业质量调研数学试卷参考答案与评分标准一.填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．.二.选择题13．A；14．B；15．D；16．A．三. 解答题17．(1)[证明]（1）连接,为中点，为中点，……………2分又平面，不在平面上，平面；…………6分(2)[解]连接,,为中点，，又平面,,……………8分即为所求二面角的平面角.……………10分,,……………12分二面角的大小为.……………14分18．[解]若，当时，，当且仅当时取等号，……………2分当时，，当且仅当时等号成立，………4分所以函数的值域为；……………6分（2）的对称轴为，，，，即，……………10分又，，.……14分19．[解]（1）600名样本中睡眠时长大于等于6小时的人数为450人，频率为,……2分该市所有高三学生日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为人.…4分（2）先求出各区间的中点值分别为：5、7、9.………………6分估计该市所有高三学生日均睡眠时长为小时…………8分（3）按照分层抽样方法，在睡眠充足中抽取的人数为6人，在睡眠良好中抽取的人数为9人,在睡眠不足中抽取的人数为5人.………………10分再从这20人中随机抽取4人，可能的情况有种，设表示事件“这人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生”,所包含的样本点有个，………………12分因此事件的概率是………………14分20．[解]（1）由题意，，，所以，，………………2分因此，双曲线的离心率；………4分（2）由直线与圆相切，得，即，………………6分联立得，即，……8分该一元二次方程的判别式，因此有两个不相等的实数根，且两根之积为，因此两根一正一负，即与双曲线的左右两支各有一个公共点；……10分（3）设，联立，得，得由可得.联立得，得且分别交于左右两支可得………12分又，又四个点在同一直线上，，,，………14分，还可得，，，，化简后可得：，………16分代入后化简可得：，解得，由，得.经检验，此时与两支分别有交点.为唯一满足条件的实数.…………18分21．[解]（1）设为函数的值，则方程有唯一实数解，即有唯一解，………………2分由可得，的值为；………………4分（2）由题意，，………………6分当时，函数在上严格减，在上严格增，在上严格减，在上严格增，若的函数值中不存在值，则，即，解得.………………8分当时，函数在上严格减，在上严格增，显然是值，舍，因此，实数的取值集合为；…………10分（3）必要性：，是上的严格增函数，；………12分充分性：假设不是区间上的严格增函数，则存在，使得，的所有函数值均为值，显然,所以；…………14分①若，因为即，又，构造函数，则，且函数的图像是一连续曲线，由零点存在性定理得：存在使得，即.这与所有函数值都是S值矛盾.…………16分②若（i）若，这与所有函数值都是S值，矛盾;（ii）若:a.若，构造函数，则且函数的图像是一条连续曲线，由零点存在性定理得：存

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