直角三角形中的成比例线段射影定理

直角三角形中的成比例线段原来学好数学，一点都不难！射影定理第1页学习目的：本课重点：本课难点：使学生了解射影概念，掌握射影定理及其应用。直角三角形中百分比线段定理在证题和实际计算中有较多应用。你知道吗？例2证法有一定技巧性。第2页一.复习1.已学习了相同三角形判定及直角三角形相同判定方法。今天我们深入学习直角三角形特征。1.勾股定理在Rt中，=90,有_____________________.2.直角三角形相似的判定方法(1)一锐角相等(2)任意两边对应成百分比.大家先回想一下：第3页CADB已知直角三角形ABC，CD垂直AB问：1．图中有几个Rt△?2．有几对△相同？

3．CD=？

AC=？

BC=？AD·DBAD·ABBD·BA第4页求证：直角三角形被斜边上高分成两个直角三角形和原三角形相同。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜AB上高。求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD。∽第5页

直角三角形被斜边上高分成两个直角三角形和原三角形相同。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上高。证实:∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900此结论能够称为“母子相同定理”,今后能够直接使用.∴ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两个三角形相同）同理ΔCBD∽ΔABC∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD∽第6页3.如图，由母子相同定理，得推出：所以：CADB同理，得：第7页CADBAC是AD,AB百分比中项。BC是BD,AB百分比中项。CD是BD,AD百分比中项。那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影概念。第8页二.新课1.射影：（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上影子应是什么？（2）线段留在MN上影子是什么？A’定义：过线段AB两个端点分别作直线l垂线，垂足A’，B’之间线段A’B’叫做线段AB在直线l上正射影，简称射影。ABA’B’l点A'线段AMN.BB’第9页1.射影

点在直线上正射影

从一点向一直线所引垂线垂足，叫做这个点在这条直线上正射影。

一条线段在直线上正射影

线段两个端点在这条直线上正射影间线段。A´AANMNMABA´B´点和线段正射影简称射影第10页讨论：1．线段在直线上射影结果点或线段2．直线在直线上射影结果点或直线第11页各种线段在直线上射影情况：ABA’B’lAA’B’BllAA’BB’如图,CD是斜边AB高线这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，CD是斜边上高AD是直角边AC在斜边AB上射影,BD是直角边BC在斜边AB上射影。CADB2.射影定理：第12页2.射影定理：由复习得：CADB用文字怎样叙述？

直角三角形中成百分比线段第13页直角三角形中,斜边上高线是两条直角边在斜边上射影百分比中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上射影和斜边百分比中项.这就是射影定理2.射影定理：第14页

2.射影定理：CADB1．直角三角形中,斜边上高线是两条直角边在斜边上射影百分比中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上射影和斜边百分比中项;第15页CADB2.射影定理：详细题目利用：依据应用选取对应乘积式。第16页利用射影定理证实勾股定理:射影定理只能用在直角三角形中,且必须有斜边上高3.应用强调:CADB这里犯迷糊，可不行！第17页利用射影定理证实勾股定理:利用勾股定理证实射影定理:CADBAB=(AD＋DB)=AD＋2AD·DB＋DBAC＋BC=ABAC－AD=CDBC－BD=CD第18页探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上高。你能从射影角度来考查AC与AD，BC与BD等关系。你能发觉这些线段之间一些关系吗？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜边上高是两条直角边在斜边上射影百分比中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边百分比中项。ABDC用勾股定理能证实吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·AB第19页总结：已知“直角三角形斜边上高”这一基本图形中六条线段中任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程思想。ABDC第20页1.ABDC直角△ABC中已知:CD=60AD=25

求：BD,AB,AC,BC长BD=144,AB=169,AC=65,BC=156第21页如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC长。例1解:答:CD,AC,BC边长分别为CADB分析：利用射影定理和勾股定理第22页小结:(1)在中,CD为斜边AB上高,图中共有6条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意两条,便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条可求第三条.(3)解题过程中,注意和勾股定理联络,选择简便方法.你都弄懂了吗？第23页【选择题】1、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB上高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段长，就能够求其它线段长.

A、1

B、2

C、3

D、4第24页3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b百分比中项。ab第25页射影定理推广及应用射影定理是平面几何中一个很主要性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证实及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地利用它，常可取到事半功倍效果。普通地，若将定理中直角三角形条件非直角化，亦可得到类似结论（这里暂且称之为射影定理推广）­­­­­­，而此结论又可作为证实其它命题预备定理及联想思绪，熟练地掌握并巧妙地利用，定会在几何证实及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它变式推广上谈谈其应用。第26页一、射影定理

射影定理直角三角形斜边上高是它分斜边所得两条线段百分比中项；且每条直角边都是它在斜边上射影和斜边百分比中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证实略）二、变式推广１．逆用

如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。（证实略）第27页２．普通化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。简称：射影定理变式（2））

如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。（证实略）第28页第29页如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC中点，，E是垂足，求证：

证实：在和中，，

所以～

所以，因为AB=a，BC=b，所以第30页4如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，

DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。求证：CF·AC=CG·BC证实：∵CD⊥AB，DF⊥AC∴△CDF∽△CAD∴CF︰CD=CD︰AC∴CD2=CF·AC

同理可证CD2=CG·BC∴CF·AC=CG·BC第31页例1.如图,在中,分析:欲证

已具备条件要么找角,要么找边.CEADFB第32页证法一：例2.如图,在中,CEADFB第33页本节课小结:如图中共有6条线段，已知任意2条，求其余线段。1、射影定理：利用射影定理时，注意前提条件CADB求边注意联络方程与勾股定理第34页直角三角形两锐角互余勾股定理直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一直角三角形中，30度角所正确直角边等于斜边二分之一及其逆定理。2、小结直角三角形的性质：第35页射影定理（由面积得）两直角边积等于斜边上高与斜边积直角三角形斜边上高线分成两直角三角形与原三角形相同（母子相同定理）2、小结直角三角形的性质：第36页这节课知识，你都听懂了吗？第37页总结：

1、知识：学习了直角三角形中主要百分比式和百分比中项表示式——射影定理。

2、方法：利用射影定理基本图形求线段和证实线段等积式。

3、能力：会从较复杂图形中分解出射影定理基本图形能力。

4、数学思想：方程思想和转化思想。第38页1.从特殊到普通思索方法.数学方法:在研究数学问题时