小学数学平行四边形拔高训练题

小学数学平行四边形拔高训练题平行四边形作为小学阶段几何学习的重要内容，不仅是对三角形知识的延伸，更是后续学习梯形、多边形乃至立体几何的基础。掌握平行四边形的性质并能灵活运用，是提升空间想象能力和逻辑推理能力的关键。本文将通过一系列有梯度的拔高训练题，帮助学生在巩固基础的同时，突破思维瓶颈，感受几何学习的乐趣与挑战。一、夯实基础，温故知新——性质的灵活运用在进入拔高训练之前，我们先来简要回顾平行四边形的核心性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。这些基本性质是解决一切平行四边形问题的出发点。【稍作思考】1.一个平行四边形的一个内角是另一个内角的3倍，你能求出它每个内角的度数吗？2.已知平行四边形的两条邻边长度相差若干，且周长为某个数值，如何求出它的各边长？这类问题看似基础，实则考察学生对“邻角互补”、“对边相等”等性质的理解深度。例如第一题，若设较小的内角为x度，那么较大的内角就是3x度，由于平行四边形邻角互补，故x+3x=180，由此便可轻松求解。二、深化理解，初步拔高——从已知到未知的推理在掌握基本性质后，我们可以尝试解决一些需要进行简单推理和计算的问题。这类题目往往不会直接给出所有条件，需要学生主动挖掘隐含信息。【例题解析】例1：在一个平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O。已知三角形AOB的周长比三角形BOC的周长少了若干厘米（例如3厘米），且平行四边形ABCD的周长为某个数值（例如20厘米）。求这个平行四边形的一组邻边AB和BC的长度。思路点拨：首先，我们要明确平行四边形对角线的性质——互相平分，即AO=OC，BO是公共边。那么三角形AOB的周长是AB+AO+BO，三角形BOC的周长是BC+BO+OC。题目告知前者比后者少3厘米，即(BC+BO+OC)-(AB+AO+BO)=3厘米。由于AO=OC，BO是公共边，化简后可得BC-AB=3厘米。其次，平行四边形的周长是20厘米，那么一组邻边AB+BC=10厘米。现在我们有了两个关系式：BC-AB=3AB+BC=10将这两个关系式联立，就可以求出AB和BC的长度了。这其实是将几何问题转化为了我们熟悉的和差问题。例2：平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC边为两段，长度分别为a和b（a>b）。求平行四边形ABCD的周长。思路点拨：这道题需要我们巧妙地运用“平行线的性质”和“角平分线的定义”。我们可以假设∠A的平分线交BC于点E，即AE平分∠DAB。因为AD平行于BC，所以∠DAE=∠AEB（内错角相等）。又因为AE平分∠DAB，所以∠DAE=∠BAE。因此，∠BAE=∠AEB，这就说明三角形ABE是一个等腰三角形，AB=BE。题目中说AE分BC为a和b两段，且a>b。这里需要思考的是，BE是a还是b呢？因为点E在BC上，所以BE可能是其中一段。如果AB=BE，而在平行四边形中AD=BC，AB=CD。若BE=a，则AB=a，BC=a+b，那么周长就是2*(AB+BC)=2*(a+a+b)=2*(2a+b)。若BE=b，那么AB=b，BC=a+b，但此时AB=b，而BC=a+b>b，AD=BC=a+b，在三角形ABE中，AB=b，BE=b，AE为角平分线，似乎也能成立。但题目给出a>b，通常情况下，角平分线与对边相交，交点的位置会使得与角的两边相邻的线段更长。这里需要我们画图辅助理解，通常情况下，BE应为较长的那段，即BE=a，所以AB=a，BC=a+b。因此周长为2*(a+a+b)=2*(2a+b)。这个结论是否正确，同学们可以自己画图验证一下，这也是几何学习中非常重要的习惯。三、综合运用，挑战自我——多知识点的融合有些平行四边形的题目，不仅仅考察平行四边形本身的性质，还会与三角形、图形的面积、甚至图形的运动（如平移、旋转）结合起来，这就需要我们具备更强的综合运用知识的能力。【例题解析】例3：已知平行四边形ABCD的面积是S，E是BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F。求三角形ADF的面积。思路点拨：要求三角形的面积，我们通常需要知道底和高。但这道题没有给出具体的边长和高，只知道平行四边形的面积S，所以我们需要通过图形间的关系来求解。首先，因为E是BC的中点，所以BE=EC。又因为AB平行于DF（平行四边形对边平行），所以∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE（内错角相等）。因此，三角形ABE和三角形FCE全等（AAS）。全等之后，AB=FC，AE=EF。平行四边形ABCD中，AB=CD，所以DF=DC+CF=AB+AB=2AB。三角形ADF的面积可以以DF为底，以平行四边形ABCD的高h为高（因为AD平行于BC，所以AD到BC的距离就是平行四边形的高，也是三角形ADF以DF为底时的高）。所以三角形ADF的面积=1/2*DF*h=1/2*2AB*h=AB*h。而平行四边形ABCD的面积S=AB*h，所以三角形ADF的面积等于S。这道题巧妙地利用了全等三角形的性质和平行四边形面积公式，通过等积变换求出了三角形的面积。例4：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，以它的三条边为边长分别向外作三个正方形。现在只知道以AC和BC为边的两个正方形的面积之和是某个数值，能否求出以斜边AB为边的正方形的面积？如果将“正方形”换成“平行四边形”，且这两个平行四边形是在AC和BC边上向外作的任意平行四边形，那么能否在AB边上也作出一个平行四边形，使得它的面积等于前两个平行四边形面积之和？思路点拨：第一问其实就是勾股定理的基本表述，以直角边为边的两个正方形面积之和等于以斜边为边的正方形面积。第二问则是一个更具一般性的问题，也更能体现几何的魅力。答案是肯定的。我们可以这样思考：对于在AC和BC边上任意作出的平行四边形，我们可以将它们的另一边（非AC或BC的边）延长，交于一点，然后通过平移或旋转等方式，构造出与这两个平行四边形面积之和相等的平行四边形。这个过程中，我们会用到“同底等高的平行四边形面积相等”以及“图形的平移不改变面积”等知识。这不仅仅是平行四边形性质的应用，更是对几何变换思想的初步渗透。四、挑战思维，拓展延伸——探索与发现有些关于平行四边形的问题，不仅仅是计算或证明，更需要我们去探索规律，发现新知。【思考题】1.给定不在同一直线上的三个点，我们可以画出多少个平行四边形，使得这三个点是该平行四边形的顶点？请说明理由，并尝试画出这些平行四边形。2.用一根定长的绳子围成一个平行四边形，怎样围才能使它的面积最大？你能发现什么规律吗？（提示：可以先考虑特殊的平行四边形）思路点拨：1.三个点确定一个三角形。要以这三个点为顶点画平行四边形，我们可以将三角形的每一条边都作为平行四边形的一条对角线。对于三角形的一条对角线，我们可以找到唯一的一个点，使得这条对角线的中点也是连接这个点和第三个顶点线段的中点。这样就可以确定平行四边形的第四个顶点。因此，给定三个点，通常可以画出三个不同的平行四边形。2.这道题需要我们结合平行四边形的面积公式（底×高）和周长公式（2×(底+邻边)）。当周长一定时，底和邻边的和是固定的。要使面积（底×高）最大，在底一定的情况下，高要尽可能大。高的大小取决于邻边与底的夹角，当夹角为90度时，高最大，此时平行四边形就变成了矩形。所以，周长一定时，矩形的面积最大，而正方形作为特殊的矩形，当它是正方形时，面积达到最大。这个结论可以通过实际操作和简单的代数推导来验证。五、总结与提升平行四边形的拔高训练，不仅仅是对知识点的简单重复，更是对思维方式的锤炼。通过以上例题和思考题，我们可以看出，解决复杂的平行四边形问题，需要我们：1.牢固掌握基本概念和性质：这是解决一切问题的前提。2.善于观察和联想：将题目中的条件与我们学过的知识联系起来，寻找突破口。3.学会添加辅助线：辅助线是解决几何问题的“桥梁”，如例2中构造等腰三角形，例3中利用延长线构造全等三角形。4.