四年级奥数平方差与完全平方公式专题

在小学奥数的学习旅程中，我们常常会遇到一些看似复杂的计算问题。如果能巧妙地运用一些数学公式，就能化繁为简，轻松解决。今天，我们就一同走进“平方差公式”与“完全平方公式”的世界，探索它们的规律，感受数学的简洁之美，并学会如何运用它们来解决实际问题。一、完全平方公式：两数和（或差）的平方我们先来认识“完全平方公式”。想象一下，我们有一个边长为`a`的正方形，它的面积是`a×a`，也就是`a²`。如果我们把这个正方形的边长增加`b`，变成一个边长为`(a+b)`的大正方形，这个大正方形的面积是多少呢？1.公式的推导：从图形到代数我们可以把这个边长为`(a+b)`的大正方形分割成几个部分：一个边长为`a`的小正方形，一个边长为`b`的更小正方形，以及两个长为`a`、宽为`b`的长方形。那么，大正方形的面积就等于这四个部分的面积之和：`(a+b)×(a+b)=a²+ab+ab+b²`简化一下，就得到了：`(a+b)²=a²+2ab+b²`这就是“两数和的完全平方公式”。用文字来描述就是：两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上它们乘积的两倍。同样地，如果我们把边长为`a`的正方形边长减少`b`（假设`a>b`），变成一个边长为`(a-b)`的小正方形，它的面积又该如何表示呢？我们可以从原来的大正方形面积`a²`中减去两个长为`a`、宽为`b`的长方形面积，但是这样一来，位于角落的边长为`b`的小正方形面积就被多减了一次，所以需要再加上它。于是：`(a-b)×(a-b)=a²-ab-ab+b²`简化后得到：`(a-b)²=a²-2ab+b²`这就是“两数差的完全平方公式”。文字描述为：两数差的平方，等于这两个数的平方和，减去它们乘积的两倍。2.公式的记忆与特征这两个公式非常重要，我们要牢牢记住它们的结构特征。对于`(a+b)²=a²+2ab+b²`，展开后是三项：首项的平方`a²`，尾项的平方`b²`，以及首项与尾项乘积的两倍`2ab`，中间用加号连接。对于`(a-b)²=a²-2ab+b²`，展开后也是三项：首项的平方`a²`，尾项的平方`b²`，以及首项与尾项乘积的两倍`2ab`，但中间这项是减号。可以简单记为：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放，和平方加，差平方减”。3.例题解析：运用完全平方公式巧算例1：计算`21²`我们可以把`21`看作`20+1`，那么：`21²=(20+1)²=20²+2×20×1+1²=400+40+1=441`这样计算是不是比直接列竖式计算`21×21`要快一些呢？例2：计算`99²`把`99`看作`100-1`，则：`99²=(100-1)²=100²-2×100×1+1²=____-200+1=9801`这个技巧在计算接近整十、整百数的平方时非常有用。二、平方差公式：两数和与差的乘积接下来，我们学习另一个非常实用的公式——“平方差公式”。如果我们有两个数，一个是`a`与`b`的和，另一个是`a`与`b`的差，它们相乘会得到什么结果呢？1.公式的推导：代数运算的魅力我们直接运用乘法分配律（也叫“FOIL”法则，即先乘第一项，再乘外项，然后乘内项，最后乘末项）来展开`(a+b)(a-b)`：`(a+b)(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b`观察一下，`-a×b`和`+b×a`这两项是不是可以相互抵消？因为乘法满足交换律，`a×b=b×a`，所以`-ab+ab=0`。于是，式子就简化成了：`(a+b)(a-b)=a²-b²`这就是“平方差公式”。文字描述为：两数和与这两数差的乘积，等于它们的平方差。2.公式的几何意义（辅助理解）我们也可以通过几何图形来理解平方差公式。想象一个边长为`a`的大正方形，在它的一角剪掉一个边长为`b`的小正方形（`a>b`）。剩下的图形是一个“L”形。我们可以把这个“L”形沿着一条线剪开，然后拼成一个新的长方形。这个新长方形的长就是`(a+b)`，宽就是`(a-b)`，它的面积当然和原来“L”形的面积相等，也就是大正方形面积减去小正方形面积，即`a²-b²`。所以，`(a+b)(a-b)=a²-b²`。3.例题解析：运用平方差公式速算例3：计算`102×98`仔细观察，`102`可以看作`100+2`，`98`可以看作`100-2`。这不正好符合平方差公式的形式吗？`102×98=(100+2)(100-2)=100²-2²=____-4=9996`一下子就把复杂的两位数乘法变成了简单的减法，是不是很神奇？例4：计算`53×47`同样地，`53=50+3`，`47=50-3`。`53×47=(50+3)(50-3)=50²-3²=2500-9=2491`当两个数相加或相减能得到整十、整百的数时，平方差公式就能大显身手。三、公式的灵活运用与拓展思考掌握了这两个公式的基本形式后，我们还需要学会灵活运用它们解决一些稍复杂的问题，并能进行一些简单的拓展思考。1.公式的逆用有时候，题目不是直接给出`(a+b)²`或`(a+b)(a-b)`的形式，而是给出展开后的结果，让我们判断它是否符合公式的结构。例如：判断`x²+6x+9`是否是一个完全平方。我们看，`x²`是`x`的平方，`9`是`3`的平方，中间项`6x`正好是`2×x×3`。所以，`x²+6x+9=(x+3)²`。又如：`4a²-9b²`，可以看作`(2a)²-(3b)²`，所以它等于`(2a+3b)(2a-3b)`。2.综合运用例5：计算`(2+1)(2²+1)(2⁴+1)`这个题目直接计算会比较繁琐。我们可以利用平方差公式来“凑对”。观察到前面有`(2+1)`，如果我们先乘以`(2-1)`，因为`(2-1)=1`，乘以1不会改变原式的值，但是却能和`(2+1)`组成平方差公式。原式`=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)``=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)`（第一次用平方差）`=(2⁴-1)(2⁴+1)`（第二次用平方差）`=2⁸-1`（第三次用平方差）`=256-1=255`这种“借数”再“还数”的技巧，在很多时候能起到意想不到的效果。四、总结与提升平方差公式`(a+b)(a-b)=a²-b²`和完全平方公式`(a±b)²=a²±2ab+b²`是代数运算中的基础工具，它们不仅仅是用来快速计算的“捷径”，更是培养我们代数思维、简化问题能力的重要载体。在四年级阶段，我们首先要理解公式的来源和结构，能够准确记忆公式；其次要能识别题目中符合公式特征的数字或代数式，熟练运用公式进行计算和化简；最后，要尝试进行一些简单